v0.5.7.final / 08

1 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Величина

COVxy M (X mx )(Y my ) 0

называется корреляционным моментом, моментом связи или ковариацией

случайных величин Х и Y

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

2Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

4.1Этапы регрессионного анализа

1.Определение оценок коэффициентов регрессии МНК

2.Определение значимости коэффициентов регрессии, т.е. существенного отличия их от нуля с помощью t – критерия Стьюдента

3.Определение адекватности уравнения регрессии с помощью F – критерия Фишера

4.2 Определение числовых характеристик случайных величин измерений выходной переменной

my M Y x - вектор математических ожиданий

Для дисперсий yi и y j справедливо:
y2	M yi	my 2	i 1,...n
i		i

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

3 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию
произведения	Yi my	Yj my
		i	j

COVyi y j	M		myi
		Yi		Yj	my j
i 1,...n;		j 1,...n;			i j

Для независимых нормально - распределённых случайных величин Yi и Yj

COVyi y j 0

Для нормально-распределённых случайных величин вместо размерной

величины	COV	целесообразно пользоваться коэффициентом корреляции:
	yi y j

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

4 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

ryi y j				COVyi		y j	i	1,...n;	j 1,...n
				y	y	j
					i
Для линейно-зависимых случайных величин yi и y j
							ryi y j	1
А для независимых -							ryi y j	0
		y2	в n экспериментальных точках создаётся матрица
Для дисперсий

дисперсий – ковариаций:

COVy M y my y my T

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

5 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

M y1 my 2

M y1 my y2 my

1

1

2

M y

M y

m

yn

y m

m

yn

y

m

y2

n

1

y1

n

2



M y m y m
	1 y1 n			yn
		2
	M yn myn

В результате матрица дисперсий - ковариаций для экспериментальных значений

yi имеет вид:

					y2
					1
				COVy2 y1
	COVy
				COV		yn y1

Если принять два допущения:

COVy y			COVy y
2	1	2		1	n
			COVy2 yn
y2
				2
COV	yn y2
				yn

•	о независимости измерений COVy y	0	i j
	i	j
			2
•	об однородности дисперсии, т.е. несущественном отличии yi			и их равенстве
		2
		y

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

6 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

то получается диагональная матрица дисперсий - ковариаций для измеряемых значений y с одинаковыми дисперсиями y2

COVy y2 E

4.3. Определение оценок дисперсий коэффициентов регрессии

Поскольку a - случайная величина, распределённая по нормальному закону,

ma M a .

По аналогии составим матрицу дисперсий-ковариаций для a:

COVa M a ma a ma T

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

7 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

		2
		a0		COVa0a1	COVan am
	COVa1a0			2	COVa1am
				a1
	COV			COV		2
		a a	0	a a		a	m
		m		m 1

В соответствии с формулой для оценок коэффициентов уравнения регрессии

ˆ			э	m Lm
a Ly				a			y

Для определения элементов матрицы дисперсий-ковариаций необходимо подставить два последних выражения в матричную формулу

Если в результате подстановки матрица дисперсий - ковариаций получится диагональной, то коэффициенты регрессии можно считать статистически независимыми

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

8 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Выполним эту подстановку

M

L

y

m

y

m

T

M

L

y m

COV

L

L

L

a

y

y

y

M L y my y my

L

T

T

LM y my y my T L

T

LCOV

y

L y my
			T

LT

T

T

1

T

T

1

Lσ2

E L

σ2

y

y

E

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

9 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

T

Поскольку COVy σ2y E , а матрица ( ) 1 симметрична,

					T				1
COV σ2
	a y

Назовём обратную матрицу ( T ) 1 корреляционной матрицей

C00

C01

C0m

1

T

C10

C11

C1m

C

.

Cm0

Cm1

Cmm

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

10 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Тогда

C

C

C

2

COV

COV

σ

00

01

0m

a0

2 a0a1

a0am

C

C

C

COV

σ

COV

m

2

2

10

11

1m

a a

a

a a

COV σC σ

1 0

1

1

a y

y

C

C

COV

2

C

m0

m1

mm

COV

σ

a a

0

a a

a

m

m

m 1

откуда следует:

• для дисперсий коэффициентов регрессии

σ2		σ2C	jj	, j 0, 1, ..., m
a	j	y

• для ковариаций коэффициентов регрессии

COV	σ2C	ji	, j, i 0, 1, ..., m;	i j
a a	y
j i

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования