3.7. Изокоста (прямая равных издержек). Правило минимизации издержек фирмы.

В соответствии с производственной функцией фирма стремится произвести максимальный объем продукции. Но существуют ограничения: цены факторов производства: – цена труда,– цена капитала заданы рынком,– общие издержки фирмы. Фирма расходует все имеющиеся в ее распоряжении средствана покупку труда в количествеи капитала в количестве. Тогда бюджетное ограничение производителя имеет вид:или. Это уравнение изокосты (isocost line) (рис. 19а). Ее наклон отрицателен и равен соотношению цен факторов производства.

Точки на изокосте представляют все возможные сочетания затрат факторов производства, имеющие одинаковую рыночную стоимость.

При перемещении изокосты 2 в положение линии 3 цена капитала растет. На линиях 1 и 2 цены труда и капитала одинаковы.

Фирма может производить продукцию в точке в объеме, или в точкев объеме. Выпуск- максимально возможный. В точкеизокоста касается изокванты. В этой точке наклон изокосты равен наклону изокванты. Наклон изокванты измеряется, а наклон изокосты. Приравняв наклоны изокосты и изокванты, получим условие минимизации издержек:или. В данном случае будут минимальными средние общие издержки фирмы, так как при заданном объеме использованных ресурсов в денежной форме получен максимально возможный объем выпуска.

3.8. Производство с двумя переменными факторами.

Теорию фирмы можно изложить либо с помощью предельных категорий (классический подход), либо с помощью линейного программирования. Эти подходы являются взаимодополняющими.

Используя предельные категории, рассмотрим деятельность фирмы в коротком периоде, когда ее организационная структура остается стабильной. Производится один продукт с помощью двух факторов, производственная функция . В условиях чистой конкуренции фирма покупает факторы производства по ценам и , и продает продукт по цене . Задача состоит в том, чтобы найти такую комбинацию и, при которой получают максимум прибыли:

Необходимое условие максимума прибыли - равенство первых частных производных нулю: . Отсюда находим:

; . (3.3)

В полученных условиях представляет предельный продукт труда, а- предельный продукт капитала в денежной форме. Из условий максимизации прибыли следует, что фирма увеличивает объем производства до тех пор, пока предельный продукт каждого фактора в денежной форме станет равным цене соответствующего фактора, т.е. предельным издержкам на ресурс. Последние равны цене соответствующего ресурса.

Из уравнений (3.3) определяем расходуемые количества икак функции цени. Запишем необходимое условие максимума прибыли в виде:

или .

Оно означает, что для достижения максимума прибыли необходимо, чтобы предельная норма технологического замещения факторов MRTS была равна заданному соотношению их цен.

Достаточное условие максимизации прибыли заключается в том, что для любого отклонения, при котором (или) дифференциал второго порядка.

. (3.4)

Положение фирмы, характеризуемое уравнениями (3.3) и (3.4), достигается в два этапа. Во-первых, если наряду с ценами изадан объем выпуска, которые представляют собой ограничения в деятельности фирмы, тогда величины затрачиваемых факторовиопределяются таким образом, чтобы минимизировать издержки производства при условии.

Решение может быть таким. Из выразим как функцию и заданного. Тогда. Подставляемв функцию издержек, и она становится функцией от одной переменной, т.е.. Приравниваем к нулю первую производнуюи находимK. Убедимся, что найденное действительно является минимальной величиной затрат капитала. Зная, из находим. Но этот метод не всегда применим. Не всегда бывает легко с помощью производственной функции выразить одну переменную через другую, напримерчерез. В таких случаях пользуются методом множителей Лагранжа.

Запишем условия максимизации прибыли, если продукт реализуется на рынке несовершенной конкуренции. Заданы функции предложения ресурсов и спроса на продукцию фирмы.

Функция спроса имеет однородную форму , где,- цена продукта,- ценовая эластичность спроса. Если, то цена продукта становится постоянной величиной и имеем условия совершенной конкуренции. Обратная функция спроса, где. Валовой доход фирмы. Если, то валовой доход является постоянным, не зависящим оти. Это значит, что объем производства является заранее заданной величиной, а, следовательно, и ценав выражении () также постоянна.

Функции предложения труда , капиталатакже однородны,и,и- эластичности предложения факторов производства,и, соответственно, ставка заработной платы и процент на единицу капитала.

Определим и, соответствующие предложению труда и капитала при названных условиях. Тогда, где. Затраты труда и капитала равны:.

Запишем функцию Лагранжа для экономической прибыли:

, где - множитель Лагранжа.

Необходимые условия максимизации прибыли:

Последнее уравнение добавляется, если является переменной величиной. Из системы уравнений находим:

Если , то

Если , то

Определим факторные цены в условиях несовершенной конкуренции:

Полученные выражения отражают характер зависимости заработной платы и ставки процента от рыночных параметров – цены товара, ценовой эластичности спроса на товар, ценовой эластичности предложения труда и капитала, а также предельной производительности труда и капитала. Решая систему уравнений, представляющую необходимое условие максимизации прибыли, находим значения , , и .

Достаточное условие максимизации прибыли <0. Если оно выполняется при найденных значениях, , и , то фирма получает максимальную прибыль.

Задания для практических занятий

1. Определить отдачу от масштаба для следующих производственных функций: .

2. Выпуск продукта задается формулой , где- количество единственного используемого ресурса. Определить предельный продукт ресурса для.

3. Дана производственная функция . Найти предельный продукт труда(предельную производительность труда), предельный продукт капитала(предельную производительность капитала) при. Определите предельную норму замещения капитала трудом () при расходе ресурсов.

4. Какого типа производственная функция характеризует производственный процесс, в котором эластичность замещения факторов производства неизменна?

1. Определить эластичность замены одного фактора производства другим для производственных функций: .

2. Технология производства продукта в 2000 году воплощалась в производственной функции , в 2001 году – в функции. Как следует охарактеризовать технический прогресс в таком случае? Прии? Прии?

3. Траектория увеличения выпуска стала более крутой. Причиной этого может быть

• технический прогресс, расходующий капитал и экономящий труд;

• повышение цены капитала, так как потребление капитала увеличивается;

• повышение цены труда, так как труд замещается капиталом.

4. Если в результате технологических нововведений выпуск при неизменном количестве ресурсов возрастает, иснижаются, причемснижается быстрее, чем, то

- нововведения технически неэффективны;

• средний продукт труда снижается;

• средний продукт капитала снижается;

• имеет место капиталоинтенсивный технический прогресс. Какое утверждение верно?

5. Компания использует только эффективные способы производства. Недавно она внесла изменения в процесс производства, в результате которых увеличилась, хотя выпуск не изменился. Это означает, что капиталоемкость производства понизилась, возросла, не изменилась; могла снизиться, могла возрасти, но изменилась; капиталоемкость продукциипонизилась. Найдите верный ответ.

10. Наборы ресурсов (11,6), (8,8) имеют стоимость 40 руб. каждый. Определить цены труда , капиталаи наклон изокосты.

11. Дано: производственная функция фирмы , издержки составляютруб., цена трударуб., цена капиталаруб. Найти равновесный набор ресурсов, при котором издержки фирмы на единицу продукции минимальны.

12. Производственная функция фирмы . Цена труда, цена капитала, цена продукта. Определить значенияи, при которых прибыль фирмы максимальна.