2.2 Пряма на площині

Пряма лінія на площині ХОУ - множника точок М (х;у), що задовольняють рівняння , де А, В, D – задані коефіцієнти прямої, причому

Рівняння прямої, що проходить через точку Мо (х_о; у_о) і має вектор нормалі має вигляд:

А(х—х_о)+В(у—у_о) = 0 (1)

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки М₁(х₁;у₁) i М₂(х₂;y₂) таке:

(2)

Piвняння прямої, що проходить через данy точку М₀(х_о;у_о) y зaданомy напрямку

y - y_o = k(x—x_o) (3)

де k = tgα — кутовий коефіцієнт прямої, α — кут між прямою i віссю ОХ.

Якщо прямої i задані рівняннями з кутовим коефіцієнтами і , то кут між ними обчиcлюється по формулі:

Умова паралельності прямих i має вид k₁ = k₂ , a yмoвa їх перпендикулярності Якщо прямі ₁ і ₂ задані загальними рівняннями A₁х+ В₁y+C₁ =0 і A ₂x+В₂y+C₂=0 , то величина кута між ними обчислюється по формyлі

умова їх паралельності

умова їх перпендикулярності A₁A₂+B₁B₂=0.

Відстань d від точки M₀(x_0;y₀) до прямої A_x+B_y+C=0 обчислюється по формулі

Приклад 1.

Дано трикутник із вершинами A(1,-2), В(5;4) i С(-2;0). Скласти рівняння медіани СМ, висоти BN та бісектриси AP.

Разв'язок. Якщо М(х₁;у₁) — середина сторони АB, то і звідси М(3;1).

Тeпер рівняння медіани CM знайдемо як рівняння прямої, що проходить через дві точки С(-2;0) i М(3;1). Маємо за формулою (2):

Оскільки висoта BN проходить через точку B i має вектор нормaлі то за формулою (1) дістанемо рівняння прямої BN:

- 3(х- 5) + 2(y-4)=0 aбo Зх-2y-7=0.

Для визначення рівняння прямої AP скористаємося властивістю бісектриси :

Маємо тому

.

Оскільки точка P(x;y) ділить відрізок ВС y відношенні то за формулами , дістанемо і тоді,

Отже, рівняння бісектриси AP, знайдемо як рівняння прямої, що проходить

через дві точки A(1;-2) i (формула 2).

Маємо

або або

Завдання4

Знайти рівняння висоти, медіани i бісектриси тpикутника зі сторонами

2.3. Пряма та площина у просторі

Будь-яке рівняння першого степеня відносно координат точки простору відображає площину. Коефіцієнти при зміннихА, В, С є компонентами вектора, перпендикулярного до площини.

Кут між двома площинами івизначається за формулою:

.

Умовою їх паралельності є: , а перпендикулярності —.

Відстань від точки до площини можна знайти за формулою: .

Пряма у просторі може бути визначена як перетин двох площин:

або канонічним рівнянням:

,

де — напрямний вектор прямої,— точка, що лежить на прямій.

Пряму у просторі можна задати також параметричним рівнянням:

де t — параметр, або рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки і:

.

Звичайно, всі рівняння відповідають прямій у просторі і між ними існує певний зв’язок.

Площина і пряма у просторі можуть перетинатися під деяким кутом , який визначається за формулою:

.

У разі виконання умови: пряма і площина па- ралельні, а якщо— перпендикулярні. Умовою того, що пряма лежить на площині, є виконання співвідношень:

Приклад 1.

Скласти рівняння площини, що проходить через вісь ОZ і утворює з площиною кут 60, і знаходження її відстані до точки .

Розвязок.

Рівняння шуканої площини можна записати у вигляді , тому що вона проходить через вісьOZ. Використаємо другу умову задачі: , з якої одержимо рівняння:або. Остаточно маємо, що умовам задачі задовольняють дві площини:і. ТочкаА лежить на першій площині, тому що , а відстань її до другої площини.

Приклад 2.

Знайти напрямний вектор прямої

і кути, які вона утворює з осями системи координат.

Розвязок.

Вектори іперпендикулярні до відповідних площин, що задають рівняння прямої, тому напрямний вектор прямоїрозташований перпендикулярно до кожного з векторів.Згідно з означенням векторного добутку векторів

Тобто: або. Кути з осями знайдемо за формулами:;.

Приклад 3.

Показати, що прямі

і

перетинаються, і написати рівняння площини, в якій вони роз- ташовані.

Розвязок.

Дві прямі будуть лежати на одній площині, коли їх напрямні вектори іі векторбудуть компланарними. Точкалежить на першій прямій, а— на другій. Вектор. Напрямний вектор .. Отже, прямі лежать на одній площині. Для запису рівняння цієї площини знайдемо вектор. Точкалежить на цій площині. Отже, маємо: або остаточно:.