- •Науково-методичне видання
- •Рекомендовано науково-методичною радою
- •Вінницького національного аграрного університету
- •Протокол№___від «___»_____________ 2011 р.
- •Лінійна алгебра
- •1.2 Системи лінійних рівнянь та методи їх розв’язків.
- •Розділ 2 Аналітична геометрія
- •2.1. Вектори, типи добутків векторів та методи їх розв’язування.
- •2.2 Пряма на площині
- •2.3. Пряма та площина у просторі
- •Розділ 3 Математичний аналіз
- •3.2 Похідна функції та її обчислення
- •3.4 Неозначений інтеграл. Основні методи інтегрування.
- •I Метод заміни змінної в неозначеному інтегралі.
- •V. Інтегрування тригонометричних функцій.
- •3.5 Означений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •3.4 Неозначений інтеграл. Основні методи інтегрування.
- •I Метод заміни змінної в неозначеному інтегралі.
- •V. Інтегрування тригонометричних функцій.
- •3.5 Означений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •Варіанти завдань для самостійного розв’язку Завдання 1
- •Завдання 2
- •Завдання 3
- •Завдання 4
- •Завдання 5
- •Завдання 6
- •Завдання 7
- •Завдання 8
- •Завдання 9
- •Завдання 10
- •Завдання 11
- •Завдання 12
Розділ 3 Математичний аналіз
Границя функції
Практичне обчислення границь функцій базується на наступних теоремах:
Тоді:
1.
2.
3. при
4. для будь-якого
Приклад 1.
Знайти
Розв'язок.
Приклад 2.
Знайти
Розв'язок. 0скільки границі чисельника i знаменника при Х→2 рівні нулю, то маємо невизначеність виду . "Розкриваємо" цю невизначеність, розклавши чисельник i знаменник на множники i скоротивши їх далі на спільний множник (х - 2):
В одержаному дробі знаменник вже не прямує до нуля при х→2, тому можна використати теорему про границю частки:
Отже
Приклад З.
Знайти .
Розв' язок. Тут ми також маємо невизначеність виду . Домножимо чисельник i знамениик дробу на вираз, спряжений до чисельника (позбавимося від ірраціональності в чисeльникy):
Приклад 4.
Знайти
Розв'язок. Чисельник i знаменник дробу - нескінченно великі функції,тому тут має місце невизначеність . Розкриємо цю невизначеність. Поділимо чисельник і знаменник дробу на старшy степінь х, тoбтo на x2:
Залишилося використати властивість границь, а також те, що функції і - нескінченно малі при :
Практичне обчислення границь функцій базується також на наступних важливих границях та наслідкax із них:
Нескінченно мaлi (нескінченно великi) y точці x0 функції f(x) i φ(х) називають еквівалентними нескінченно малими (нескінченно великими), якщо . При цьому записують f(x) ~ φ(х), х→хo. Враховуючи границі (1) - (6) та інші, дістанемо основні еквівалентностi при х→0.
sinx ~ x |
ax -1 ~ x In a |
ex -1 ~ x |
arcsinx~x |
ln(1+ x) ~ x |
(1+x)α-1~αx |
tgx~x |
arctgx~x |
1-cosx~
Приклад 5.
Знайти .
Роза'язок. Оскільки , то тут ми також маємо capaвy з невизначеністю виду 1∞, для розкриття якої нам буде потрібна одна із форм другої чудової границі. Тоді
Приклад 6.
Знайти
Розв'язок. Поділимо чисельник і знаменник дробу на x. Будемо мати
Приклад 7.
Знайти
Розв'язок. Зробимо заміну y=2x i застосуємо границю (4), одержимо:
Приклад 8.
Знайти
Розв'язок. Maємо:
Завдання 6
0бчислити границі (не користуючись правилом Лопіталя)
3.2 Похідна функції та її обчислення
Наведемо правила, що найчастіше використовуються при обчисленні похідних:
1) похідна вiд сталої: С' = 0;
похідна суми: (u + v)' = u' + v';
пoxiднa добутку:
(uv)'= u' • v + uv', зокрема (сu)' = cu';
похідна частки:
зокрема
похідна складної функцій:
де
похідна функції y= f(х), заданої параметрично системною х= x(t),
у = у(t), t є (α; β):
7) похідна степенево-показникової функції:
8) похідна неявно заданої функції F(х,у) = 0: похідна по x від обох частин рівності F(х,у) = 0, вважаючи y функцією від x, i одержане рівняння розв'язати відносно y' .
Основні формули диференціювання запишемо y вигляді наступної таблиці:
1. зокрема,
2.
3.
4. 5.
6. 7.
8. 9.
10. 11.
Логарифмічно похідною функції y = f(x) називають похідну від логарифма цієї функції, тобто . Застосування попереднього логарифмування часто спрощує обчислення, оскільки y' = y (ln y)'.
Приклад 1.
Знайти похідну функції
Розв'язок. Логарифмуючи задану рівність, дістанемо
.Користуючись логарифмічною похідною, маємо
Звідки:
Приклад 2.
Знайти похідну степенево-показникової функції
Розв'язок. Згідно з правилом 7) при tgx > 0 зхаходимо:
Приклад 3.
Знайти похідну неявно заданої фyнкцiї y:
хз + уз = sin(x - 2у).
Розв'язок. Диференціюємо обидві частини рівняння i враховуємо, що y - є функція від х(тому, наприклад, (уз )'x = 3у2• y' ), одержимо:
3х2 +3y2y'=cos(x-2y)(1-2y') або 3х2+3y2y'=cos(х-2у)-2у'cos(х-2у)
Звідси знаходимо y':
Зу2 •у'+2у' • cos(x-2y) = cos(x-2y) -3х2
у'(Зу2+2соs(х-2у) = cos(x-2y) -3х2,тобто
Приклад 4.
Переконатися в тому, що функція y= е3х + x2 є розв'язком рівняння y' - Зу + 3х2 - 2x = 0.
Розв'язок. Оскільки похідна заданої функції , то підставляючи значения y' i y в задане рівняння, дістанемо тотожність 0 0, що й доводить дане твердження.
Зауважимо, що похідна f'(x) від функції f(х) називаеться також похідною першого порядку. Похідна від функції f' (x) називаеться похідною другого порядку вiд функції (х) i позначається (x).
Аналогічно визначається похідна третього порядку, яка позначається .
Приклад 5.
Знайти , де
Розв΄язок. Знаходимо першу похідну:
Звідси одержимо другу похідну - , а потім і шукану третю: .
Завдання 7
У прикладах a), б), в) знайти пoхідну вказаної функції, a y прикладі г) показати, що функція задовольняє вкaзане співвiдношення.
Дослідження функції методами диференціального числення та побудова їх графіків.
При побудові графіка даної функції доцільно користуватися наступною схемою;
1) знайти область визначення функції;
2) дослідити функцію на парність, непарність і періодичність;
3) знайти точки перетину графіка функції з осями координат;
4) знайти проміжки знакосталості функції;
5) знайти асимптоти;
6) знайти проміжки зростання і спадання, екстремуми;
7)знйти проміжки опуклості вниз та вгору, точки перетину.
Зауваження. У деяких випадках зручно змінювати порядок указаних пунктів.
Приклад.
Провести повне дослідження функції y= і побудувати її графік.
Розв΄язок.
Область визначення функції – вся числова вісь, крім точок x = -2 і x = 2, тобто . Функція неперіодична. Дослідимо її на парність і непарність:
Отже, дана функція непарна i її графік симетричний відносно початку координат. Тому далі будемо досліджувати функцію тільки при x 0 Знайдемо точки перетину графіка з осями координат:
з віссю Оy гpафік перетинасться при x = 0, звідси y = (0) = 0, тобто М(0;0) - точка перетину з віссю Оy;
з віссю Ox графік перетинається, якщо f(x) = 0, тобто , звідки х= 0. Таким чином, M ( 0;0 ) - єдина точка пеpетинy гpафiка з осями координат.
Знаходимо проміжки знакосталості функції:
i оскільки ми розглядаємо тільки
випадок x 0, то одержуємо 0< x< 2.
Аналогічно f(x) < 0 при x > 2.
Далі, =+∞, =-∞ тобто пряма х = 2 – вертикальна асимптота. Звідси, в силу симетрії, випливає, що пряма х=-2 – також вертикальна асимптота.
Знайдемо похилі асимптоти:
k===-1,
b====0, тобто пряма y=-x-похила асимптота при x→+∞ (те саме i при х ). Горизонтальних асимптот графік намає. Знайдемо проміжки монотонності i екстремуми функції, досліджуючи першу похідну:
Звідси видно (див. рис. 1), що при х0 функція має максимум в точці
(причому ), зростає на (0;2) i () і спадає на
Рис. 1
Щоб визначити проміжки опуклості і точки перегину, обчислимо другу похідну:
Звідси зрозуміло, що при x функція випукла вropy ( тобто < 0) на (2;+ ) i випукла вниз (тoбтo f "(х) > 0) на (0;2), x = 0 - точка перегину.
Враховуючи проведено дослідження, будуємо графік функції при x0, a потім симетрично відображаємо його віднoсно початку координат (див. pиc.2).
Рис.2
Завдання 8
Дослідити методами диференціального числення функції та побудyвати їх графіки.