- •Науково-методичне видання
- •Рекомендовано науково-методичною радою
- •Вінницького національного аграрного університету
- •Протокол№___від «___»_____________ 2011 р.
- •Лінійна алгебра
- •1.2 Системи лінійних рівнянь та методи їх розв’язків.
- •Розділ 2 Аналітична геометрія
- •2.1. Вектори, типи добутків векторів та методи їх розв’язування.
- •2.2 Пряма на площині
- •2.3. Пряма та площина у просторі
- •Розділ 3 Математичний аналіз
- •3.2 Похідна функції та її обчислення
- •3.4 Неозначений інтеграл. Основні методи інтегрування.
- •I Метод заміни змінної в неозначеному інтегралі.
- •V. Інтегрування тригонометричних функцій.
- •3.5 Означений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •3.4 Неозначений інтеграл. Основні методи інтегрування.
- •I Метод заміни змінної в неозначеному інтегралі.
- •V. Інтегрування тригонометричних функцій.
- •3.5 Означений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •Варіанти завдань для самостійного розв’язку Завдання 1
- •Завдання 2
- •Завдання 3
- •Завдання 4
- •Завдання 5
- •Завдання 6
- •Завдання 7
- •Завдання 8
- •Завдання 9
- •Завдання 10
- •Завдання 11
- •Завдання 12
V. Інтегрування тригонометричних функцій.
1. Розглядаються інтеграли вигляду
А)Якщо , тоді
Б)Якщо , тоді
В)Якщо , тоді
Г)Якщо R- довільна функція тоді застосовують універсальну тригонометричну підстановку , звідки.
2.Розглядаються інтеграли .
А)Якщо >0 ,тоді
Б)Одне із чисел m чи n-непарне, наприклад, ,тоді
тобтоспрощує підінтегральний вираз.
В) Перетворення добутку тригонометричних функцій в суму згідно відомих співвідношень:
;
;
.
Приклад 4.
,функція під інтегралом непарна по sinx, тоді , отже
=.
Завдання 9
Знайти неозначені інтеграли.
3.5 Означений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
Запис вигляду називають означеним інтегралом (інтегралом з означеними границями). Якщо дляіснує первісна,тоді справедлива формула Ньюьона-Лейбніца:
Заміна змінної в означеному інтегралі виконується так
.
Формула інтегрування частини матиме вигляд .
Приклад1
.
Приклад 2
Дослідження функції методами диференціального числення та побудова їх графіків.
При побудові графіка даної функції доцільно користуватися наступною схемою;
1) знайти область визначення функції;
2) дослідити функцію на парність, непарність і періодичність;
3) знайти точки перетину графіка функції з осями координат;
4) знайти проміжки знакосталості функції;
5) знайти асимптоти;
6) знайти проміжки зростання і спадання, екстремуми;
7)знйти проміжки опуклості вниз та вгору, точки перетину.
Зауваження. У деяких випадках зручно змінювати порядок указаних пунктів.
Приклад.
Провести повне дослідження функції y= і побудувати її графік.
Розв΄язок.
Область визначення функції – вся числова вісь, крім точок x = -2 і x = 2, тобто . Функція неперіодична. Дослідимо її на парність і непарність:
Отже, дана функція непарна i її графік симетричний відносно початку координат. Тому далі будемо досліджувати функцію тільки при x 0 Знайдемо точки перетину графіка з осями координат:
з віссю Оy гpафік перетинасться при x = 0, звідси y = (0) = 0, тобто М(0;0) - точка перетину з віссю Оy;
з віссю Ox графік перетинається, якщо f(x) = 0, тобто , звідки х= 0. Таким чином, M ( 0;0 ) - єдина точка пеpетинy гpафiка з осями координат.
Знаходимо проміжки знакосталості функції:
i оскільки ми розглядаємо тільки
випадок x 0, то одержуємо 0< x< 2.
Аналогічно f(x) < 0 при x > 2.
Далі, =+∞, =-∞ тобто пряма х = 2 – вертикальна асимптота. Звідси, в силу симетрії, випливає, що пряма х=-2 – також вертикальна асимптота.
Знайдемо похилі асимптоти:
k===-1,
b====0, тобто пряма y=-x-похила асимптота при x→+∞ (те саме i при х ). Горизонтальних асимптот графік намає. Знайдемо проміжки монотонності i екстремуми функції, досліджуючи першу похідну:
Звідси видно (див. рис. 1), що при х0 функція має максимум в точці
(причому ), зростає на (0;2) i () і спадає на
Рис. 1
Щоб визначити проміжки опуклості і точки перегину, обчислимо другу похідну:
Звідси зрозуміло, що при x функція випукла вropy ( тобто < 0) на (2;+ ) i випукла вниз (тoбтo f "(х) > 0) на (0;2), x = 0 - точка перегину.
Враховуючи проведено дослідження, будуємо графік функції при x0, a потім симетрично відображаємо його віднoсно початку координат (див. pиc.2).
Рис.2
Завдання 8
Дослідити методами диференціального числення функції та побудyвати їх графіки.