molfizБІО2011кін_вар

n

Загальні теоретичні відомості по визначенню коефіцієнта теплопровідності твердих тіл до лабораторних робіт 2.3, 2.4

Більшість фізичних явищ у природі і техніці, як правило, супроводжується зміною температури тіл у просторі та часі. Тому температура тіла є функцією координат х, у, z i часу t:

T f( x,y,z,t ).

Сукупність миттєвих значень температур в усіх точках простору або тіла,

що	розглядається,		називають
температурним		полем.	Графічно
температурне		поле	зображають
ізотермічними		поверхнями,	які	є

геометричним місцем точок з однаковими температурами. Лінії перетину ізотермічних поверхонь з будь–якою площиною (рис. 2.3.1) будуть ізотермами в околі цієї площини з температурами

(2.3.1)

grad T

Т+2 Т

Т+ Т

Т

	Т- Т
	Т-2 Т
q

Рис. 2.3.1

t,t t,t 2 t,...,t n t,	n 0,1,2,3,....	T
Якщо порівняти відношення різниці температур			між
ізотермами до відстані між ними в напрямку її нормалі		n iз від-
ношенням до відстаней r	у інших напрямках, то очевидно,		що

найбільший перепад температури на одиницю довжини буде спостерігатися у напрямку нормалі (рис.

2.3.2): r

Т+ Т

	T		T	.	(2.3.2)	r
	n		ri
						n
Зміна температури					у просторі
характеризується					градієнтом		Т
температури grad T. Він визначається як						о
						Рис. 2.3.2
вектор, спрямований по нормалі до
ізотермічної поверхні в напрямі збільшення температури і чисельно
дорівнює:
					21

gradT			T		n.				(2.3.3)
			n
З математичного аналізу відомо, що
	T				T		T
grad T			i			j		k .	(2.3.4)
	x				y		z

Отже, градієнт температури – це вектор, який вказує напрямок найшвидшого зростання температури. Для одновимірного випадку маємо:

	dT		(2.3.5)
grad T		i

dx

Зміна температури тіл відбувається при теплообміні між ними. У термодинаміці під теплообміном або теплопередачею розуміють процес передачі певної кількості теплоти між частинами тіла або тілами з різними температурами. Кількісною характеристикою цього процесу є кількість теплоти. При теплообміні виконується закон збереження кількості теплоти:

Q1 Q2 .	(2.3.6)
де Q1 – теплота, яку перше тіло віддає другому,Q2 -Q1 – теплота,
яку друге тіло отримує від першого.
Якщо C1 ,C2 ,m1 ,T1 ,T2 – відповідно питомі	теплоємності

маси та початкові температури тіл, між якими відбувається процес теплообміну, то:

Q1	C1m1(T1 T ),	(2.3.7)
Q2	C2m2(T T2 ),	(2.3.8)
де T – кінцева температура тіл.
Із рівнянь (2.3.6), (2.3.7), (2.3.8) маємо:
C1m1(T1 T ) C2m2(T T2 ).		(2.3.9)

Рівняння(2.3.9)називаютьрівняннямтепловогобалансу.Якщов процесітеплообмінузмінюєтьсяагрегатнийстанречовиниабодіють внутрішніджерелатеплоти,тоурівняннітепловогобалансунеобхідно врахуватитеплоту,якапоглинаєтьсяабовиділяєтьсявцихпроцесах.

Тепловий потік – це вектор, який вказує напрямок переносу теплоти і чисельно дорівнює кількості теплоти, перенесеної за одиницю часу від гарячої частини тіла до холодної. Його модуль дорівнює:

22

	q	Q	(2.3.10)

Векторна фізична величина, яка чисельно дорівнює кількості теплоти, що переноситься через одиницю площі в нормальному напрямку за одиницю часу, називається густиною теплового потоку. Модуль густини теплового потоку дорівнює:

	jq		Q		q	(2.3.11)
			S		S

Розрізняють три типи теплопередачі: конвективний теплообмін, теплове випромінювання та теплопровідність.

Конвективний теплообмін – передача енергії потоком рідини чи газу внаслідок різних густин їх шарів. Передача теплоти при цьому здійснюється за рахунок переміщення та змішування гарячих і холодних шарів рідини або газу. Тепловіддача конвекцією – дуже складний процес, який залежить від багатьох факторів: природи виникнення і режиму руху, швидкості руху , фізичних і хімічних властивостей середовища – густини , в'язкості , теплоємності

C , форми поверхні , її геометричних розмірів 1, 2 , 3 , темпе-

ратури Tc поверхні стінки, температури газу (рідини) T . Кількість

теплоти, що передається при конвективному теплообміні, є функцією таких основних параметрів:

Q f( , Tc, T, , n, C, , 1, 2, 3)

(2.3.12)

Інтенсивність конвективного теплообміну в основному залежить від товщини пограничного шару рідини біля стінки і від температурного градієнта в ньому. Визначити взаємозв'язок між цими параметрами дуже важко. Тому в основу практичних розрахунків тепловіддачі покладено формулу Ньютона-Ріхмана:

Q S(Tc Tг ) ,

(2.3.13)

де – коефіцієнт конвективної тепловіддачі (він показує потужність теплового потоку, який проходить крізь 1 м2 поверхні при різниці температур між стінкою та рідиною 1К) – його розмірність (Вт/м2 К), – проміжок часу.

Вивчення процесу теплопередачі при конвекції зводиться до визначення коефіцієнта теплообміну , який досить ускладнюється, оскільки залежить від багатьох параметрів. Ця залежність встановлюється експериментально, при моделюванні цих процесів.

23

Теплове випромінювання – це процес поширення теплової енергії за допомогою електромагнітних хвиль. Цей процес описується законами Кірхгофа, Стефана-Больцмана, Ламберта, Планка.

При теплопровідності відбувається процес передачі внутрішньої енергії від одного тіла до іншого без виконання роботи, тобто відбувається обмін кінетичною енергією молекул при їх зіткненнях. Розрізняють стаціонарну (grad T = const) і нестаціонарну (grad Т const) теплопровідність.

Стаціонарний процес описується рівнянням Фур'є, згідно з яким питомий тепловий потік (за рахунок теплопровідності) від гарячої до холодної стінки тіла дорівнює:

jq qradT,	(2.3.14)
де – коефіцієнт теплопровідності. Відповідно тепловий потік між
ними
q gradTS .	(2.3.15)
Для одновимірної стінки модуль теплового потоку та його
густина дорівнюють:
q T S ,	(2.3.16)
x
jq T .	(2.3.17)
x
Розглянемо нескінченну плоску однорідну стінку (рис. 2.3.3) з
площею поперечного перерізу S , товщиною x , температурою на її
торцевих поверхнях T1,T2 ,(T1 T2 ).
	T
jq	dx
T1
	jq
T2
	grad T
	X
	l
Рис. 2.3.3. Плоска однорідна теплопровідна стінка

Вважаючи, що бічна поверхня стінки абсолютно нетеплопровідна, знайдемо кількість перенесеної теплоти через поперечний переріз стінки за час , для цього помножимо ліву та праву частини рівняння Фур'є на S dx

	jqS dx S dT								(2.3.18)
	і проінтегруємо його в напрямі теплового потоку від x1 до x2 і за
	температурою від T1			до T2 :
	x2							T2
	JqS dx S dT .								(2.3.19)
	x1							T1
	Урахувавши, що Q jqS , x x2								x1 – товщина
	стінки, T2 T1 (T1			T2 ) T, T T1 T2					різниця температур
	між стінками, маємо:				T
	Q							S .	(2.3.20)
					X
	Ми отримали рівняння Фур'є в інтегральній формі:
	R	x				,			(2.3.21)
	ВеличинуR назвемо термічним опором стінки. Із рівнянь
	(2.3.20), (2.3.21) маємо:
	Q		T				S .		(2.3.22)
				R
	Знайдемо розподіл температури за товщиною однорідної стінки

з теплоізольованою бічною поверхнею (рис. 2.3.3). Нехай (T1 T2 ).

Виділимо елемент стінки товщиною dxi (i 1,2,3....n). При усталеному режимі модуль теплового потоку в кожному шарі буде однаковий, тому що q = const. Для довільного шару dx, на основі

рівняння Фур'є, враховуючи, що T1 T2 маємо:
qdx dT .	(2.3.23)

Інтегруючи останній вираз, знайдемо розподіл температур за товщиною однорідної стінки (або довжини стержня):

25

dT			q	dx
або
T	q	x C,			(2.3.24)

де С – стала інтегрування.

Отже, температура за товщиною стінки розподіляється за лінійним законом. Сталу інтегрування С легко знайти з початкових умов. Ураховуючи, що при X 0,T T1 , із попереднього рівняння

маємо C T1 .

Температура на віддалі Х від гарячої поверхні стінки дорівнює:

T T		q	x T		q	x.	(2.3.25)
1			2

Розглянемо стінку (яка має два шари з коефіцієнтами теплопровідності 1, 2 та товщинами l1 ,l2 ). Нехай температура гарячої поверхні стінки T1, холодної T2 , а на межі між ними – T12

(рис. 2.3.4).

Обидва шари стінки пронизує тепловий потік q, який складає:

T

T1	T12	q

q

T2

1 2

x

l1

l2

Рис. 2.3.4. Двошарова плоска теплопровідна стінка

26

q	1		T1 T12															S ,											(2.3.26)
										l1
q					2				T12					T2									S .						(2.3.27)
														l2
Із рівнянь (2.3.26), (2.3.27) випливає:
							1			T							2			T
T								l1				1						l2				2
12												1
																	2					,							(2.3.28)
											l						l
										1						2
q									T1 T2														S		T1	T2		S ,	(2.3.29)
								1								2									R
																										R
																						1					2
								1								2

де R1, R2 – термічні опори стінок.

За проміжок часу через стінку пройде кількість теплоти

Q		T1	T2				S	T1	T2		S .	(2.3.30)
		1			2			R R
						1				2
		1		2

Із рівняння (2.3.30) видно, що термічні опори в напрямку теплового потоку додаються. Термічний опір багатошарової плоскої стінки дорівнює сумі опорів її окремих шарів:

	n	n	i
	R Ri			,	(2.3.31)
	i 1	i 1	1

де n – число шарів стінки, i – номер шару. Густина теплового потоку через стінку

j			T1 Tn	.	(2.3.32)
	q		Ri

Перепад температури на i-му шарі

T		Ri	(T T		).	(3.3.33)
		R
i			1	n

Очевидно, що якщо Ri R , то перепад температури на такому шарі досить малий.

27

Лабораторна робота 2-3 Визначення коефіцієнта теплопровідності металів

Прилади та матеріали: установка для визначення коефіцієнта теплопровідності металів, термопари, мілівольтметр, секундомір, мірний стакан.

Мета роботи: визначити коефіцієнт теплопровідності міді.

Принцип роботи установки. (Теоретичні відомості див. с.21-27)

Метали мають високу теплопровідність, тому для визначення коефіцієнта їх теплопровідності зручно застосувати метод порівняння теплового потоку. Схему лабораторної установки для визначення коефіцієнта теплопровідності металів наведено на рис. 2.3.5.

T4

T3 3 T2 2 T1 1

	4	5	ooooooo
			ooooooo
		6
			l

Рис. 2.3.5–Схема установки для визначення коефіцієнта теплопровідності металів: 1–нагрівач, 2–мідний стержень, 3–холодильник, 4–посудина з холодною водою, 5–кран, 6–мірний стакан.

За допомогою термопар T1 ,T2 фіксується перепад температури на металевому стержні, а диференційною термопарою T34 – між

холодильником та холодною водою у посудині. При ввімкненому електронагрівнику установки через її холодильник повільно пропускається вода. При усталеному режимі теплообміну кількість теплоти, що передається від нагрівника через стержень з

28

теплоізольованою бічною поверхнею до холодильника дорівнює кількості теплоти, яка витрачається на нагрівання проточної води

	Q		T1 T2		S ,		(2.3.34)
	Q cm(T3			T4 ),			(2.3.35)
де – коефіцієнт теплопровідності (Вт/м∙К), S – площа поперечного
перерізу	стержня,l–	віддаль		між		корольками	диференційної
термопари	T12 , T1 T2 T12 –					перепад температури		між
контрольними точками		стержня, T3 T4 T34 –					перепад	темпе-

ратури між холодильником установки та холодною водою у посудині, c– теплоємність води, m – маса води, що пройшла через холодильник за час ,m V ( – густина води, V–об'єм ).

З рівнянь (2.3.34), (2.3.35) легко отримати робочу формулу для розрахунку коефіцієнта теплопровідності досліджуваного металу:

λ cρ	(T3 T4 )V l	cρ	T34V l	.	(2.3.36)
	(T1 T2 )S
			T12S

Порядок виконання роботи та обробка результатів експерименту

1.Увімкнути електронагрівник лабораторної установки. Відкривши кран 5 (рис. 2.3.5), відрегулювати ним витрати води– 10 - 20 краплин за хвилину.

2.Після встановлення усталеного режиму теплопередачі (при

стабілізації перепадів температури) записати значення T12 і T34

та зафіксувати час, протягом якого в мірному стакані збереться 100150 мл води. Під час досліду відлік температури слід проводити не менше трьох разів (на початку, в середині і по закінченню досліду). Дані занести в таблицю 2.3. 1.

3.Не змінюючи параметрів установки (перепаду температури та швидкості потоку води), провести ще дві серії досліду. Одержанні дані занести в таблицю 2.3.1.

4.Знайти середнє значення результатів експерименту для кожної серії вимірювань. За середніми значеннями виміряних величин

розрахувати за формулою (2.3.36) . Визначити за формулою (2.3.21) термічний опір стержня. Оцінити їх похибки.

29

Контрольні питання

1.Основні поняття теплопередачі: кількість теплоти, тепловий потік, перепад і градієнт температури стінки та її повний термічний опір.

2.Типи теплопередачі: теплопровідність, теплове випромінювання, конвективний теплообмін та їх фізична суть.

3.Явища переносу в газах: теплопровідність, в'язкість, дифузія. Закони Фур'є, Ньютона та Фіка для явищ переносу. Фізична суть коефіцієнтів переносу, зв'язок між ними та одиниці вимірювання.

4.Рівняння Фур'є для плоскої одношарової стінки. Розподіл температур за товщиною стінки. Термічний опір стінки. Багатошарова теплопровідна стінка, розподіл температур за товщиною плоскої багатошарової стінки

5.Конвективний теплообмін. Закон Ньютона-Ріхмана.

Таблиця 2.3.1.

Результати експерименту та їх обробки

C=

=

S =

l =

№

Т1,

Т2,

Т34,

V,

,

,

,

R,

,

м2К

пор.

К

К

К

М3

с

Вт

%

%

Вт

м К

30