5. Движение машины под действием заданных сил

В настоящей главе рассмотрена задача определения момента инерции маховых масс машины по заданному коэффициенту неравномерности хода машины.

Будем рассматривать механизмы с жесткими звеньями и с одной степенью подвижности, а силы, действующие на механизм, считаем известными в каждом положении механизма.

Основные понятия и термины

Уравнение движения

Для механизмов с одной степенью подвижности наиболее простое решение получается при использовании уравнения движения машины в виде

ΔТ = Т – Т₀ = ΣА,

т.е. приращение кинетической энергии ΔТ механизма при переходе из начального положения в рассматриваемое равно сумме работ всех внешних сил, действующих на звенья механизма. При этом

Σ А = А_ДВ + А_С + А_G , (5.1)

где А_ДВ , А_С и А_G – работа соответственно сил движущих (А_ДВ > 0), сил сопротивления (А_С < 0) и сил тяжести.

Динамическая модель механизма

В общем случае пользоваться уравнением (5.1) сложно, так как механизм может иметь много звеньев с различными массами и скоростями: на звенья действуют различные силы. Для механизмов с одной степенью подвижности удобно использовать одномассовую динамическую модель механизма (рис. 5.1).

При исследовании этой мо­дели принимают следующие допущения: все звенья считаются абсолютно твердыми, кинематические па­ры недеформируемыми. Зазоры в парах отсутствуют.

На рис. 5.1, а изображена кинематическая схема кривошипно-ползунного рычажного механизма с жесткими звеньями и одной степенью свободы. Движение всех звеньев такого меха­низма полностью определяется законом движения (φ, ω, ε) начального звена ОА, где φ – угол поворота; ω – угловая скорость, а ε – угловое ускорение начального звена.

Для отыскания этого закона движения с учетом сил F_C и M_C, действующих на механизм, используют одну из двух представленных на рис. 5.1 динами­ческих моделей.

Рис. 5.1. Динамические модели механизма с жесткими звеньями:

а− кинематическая схема механизма;бив– динамические модели механизма

На рис. 5.1, в представлена динамическая модель, в которой масса всех звеньев заменяется приведенным моментом инерции I_пр диска, жестко связанного со звеном ОА. Силы, действующие на механизм в этом случае, заменяются приведенными моментами сил М_С ^пр и М_D ^пр . При использовании обеих динамических моделей (рис. 5.1,б и 5.1,в) результаты расчета закона движения звена ОА будут одинаковы.

Приведенной массой m_пр называется такая условная масса, сосредоточенная в точке приведения, кинетическая энергия которой равна сумме кинетических энергий приводимых звеньев в данном положении механизма:

.

При приведении масс к вращающемуся звену (рис. 5.1,в) удобнее пользоваться понятием приведенного момента инерции I_np относительно оси вращения звена приведения:

,

где m_i , I_{S i} – масса и осевой момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс i -го звена; V_{S i} , ω_i – соответственно скорость масс i -го звена и угловая скорость

i -го звена; V_A – скорость точки приведения; ω_ОА – угловая скорость звена приведения.

Приведенной силой (моментом) называют условную силу (момент), которая, будучи приложена к звену приведения, развивает мощность Р, равную мощности приводимых сил и моментов в рассматриваемом положении механизма.

Величина приведенной силы, направленной по скорости точки приведения, равна

Приведенный момент силы равен

где F_k – величина приводимой силы, приложенной в точке k механизма;

V_к – скорость точки k; α_k – угол между векторами и. M_k – момент, приложенный к звену k; ω_k – угловая скорость k- го звена.

Из формул следует, что приведенная масса и приведенная сила зависят от отношения квадратов скоростей приводимых звеньев к квадрату скорости звена

приведения. Таким образом, приведенная сила и приведенная масса являются функцией обобщенной координаты.

Режимы движения машины

На рис. 5.2 показана графическая зависимость скорости ω на­чального звена механизма с одной степенью свободы от времени t. Полное время движения машины можно разделить на три участка, соответствующих следующим режимам движения.

Рис. 5.2. Тахограмма движения начального звена механизма

Разгон, в процессе которого происходит постепенное возрас­тание скорости начального звена от нуля до среднего значения ω_ср. Энергети­ческую характеристику этого периода: А_D > A_C.

При установившемся движении скорость начального звена периодически изменяется около одного и того же среднего значения ω_ср. Минимальный промежуток времени, по истечении которого начальное звено возвращается в первоначальное положение, имея первоначальное значение скорости, называется циклом установившегося движения. Энергетическая характеристика этого режима движения за цикл установившегося движения: А_D = A_C .

Выбег характеризуется постепенным уменьшением скорости начального звена от среднего значения ω_ср до нуля. Энерге­тическая характеристика выбега: А_D < A_C .

Для машин, в которых преобладает установившийся ре­жим движения, одним из критериев работоспособности является коэффициент δ неравномерности установившегося движения

δ = (ω_max − ω_min)/ ω_ср,

где ω_max, ω_min , ω_ср – соответственно максимальное, минимальное и среднее значения угловой скорости начального звена за цикл.

Определение момента инерции маховых масс машины

методом Мерцалова

Приведенный момент инерции J_м машины можно представить как сумму двух слагаемых

J_м = J_c + J_v ,

где J_v – приведенный момент инерции звеньев механизма, связанных со звеном приведения переменным передаточным отношением;

J_c – приведенный момент инерции звеньев, связанных со звеном приведения постоянным передаточным отношением (маховых масс машины).

Кинетическую энергию машины представим как сумму

Т_м = Т_c + Т_v,

где Т_v ≈ ω_ср² J_v /2 ; ω_ср – средняя угловая скорость звена приведения при установившемся движении.

Изменение кинетической энергии Т_c возможно только за счет изменения угловой скорости ω звена приведения.

∆Т_c = ∆Т_м – Т_v.

Экстремальные значения кинетической энергии маховых масс соответственно равны Т_c.max = ω _max ² J_c /2 ; Т_c.min = ω _min² J_c /2,

где ω _max и ω _min – максимальное и минимальное значение угловой скорости начального звена за цикл установивше­гося движения

ω _max = ω_ср (1+ [δ] /2); ω _min = ω_ср (1– [δ] /2),

где [δ] = (ω _max– ω _min) / ω_ср – допускаемый коэффициент неравномерности установившегося движения машины, заданный в исходных данных на проектирование.

Из совместного решения зависимостей четырех последних уравнений получим приведенный момент инерции маховых масс

J_c = (Т_c.max – Т_c.min) / ([δ] ω_ср²).

Последовательность действий при определении момента инерции J_c маховика по методу Мерцалова

– Для всех положений механизма внутри цикла установившегося движения рассчитать и построить график «М_С – φ» приведенных моментов М_С сил сопротивления в зависимости от угла φ начального звена (см. рис. 5.3,а).

Рис. 5.3. Определение момента инерции маховых масс машины методом Мерцалова

– Методом графического интегрирования построить график приращения работ «А_С – φ» сил сопротивления за цикл (рис. 5.3,б). Соединяем начало и конец этого графика прямой. Эта прямая представляет собой график приращения работы «А_Д – φ» движущих сил за цикл. По этим графикам, замеряя разность ординат (А_Д – А_С) для каждого положения механизма, строим диаграмму разности работ, одновременно являющуюся диаграммой приращения кинетической энергии «∆Т_М – φ» машины с маховиком. Обозначим масштаб этой диаграммы μ_Т.

– Для ряда последовательных положений механизма внутри цикла установившегося движения рассчитать и построить в масштабе μ_J график приведенных моментов инерции «J_v – φ» звеньев механизма (рис. 5.3, в). Этот график представляет собой диаграмму кинетической энергии «Т_v – φ» звеньев, изображенную в масштабе μ_Тv.

μ_Тv = μ_J ω_ср² /2,

где ω_ср – средняя угловая скорость начального звена приведения при установившемся движении.

– В масштабе μ_Т строим диаграмму изменения кинетической энергии «∆Т_const– φ_пр» маховых масс (рис. 5.3, г).

∆ Т_c = ∆Т_м – Т_v.

Замеряя по оси ординат расстояние между самой верхней и самой нижней точками этой диаграммы, находим отрезок СD.

Затем определяем момент инерции маховых масс:

J_c= (CD) μ_Т /([δ] ω_ср²).

Выбор электродвигателя

При выборе электродвигателя учитывается ряд требований: режим работы механизма, вид тока (переменный или постоянный), надежность и экономичность электромеханической системы и т.д. В рамках настоящего курсового проектирования задача выбора электродвигателя решается ограниченно и состоит в подборе его марки по табл. 5.1, исходя из его требуемой мощности Р.

Требуемая мощность электродвигателя, кВт:

Р_дв.тр = А_ц n₁ /(60000 ñ η ) ,

где A_ц – работа, производимая выходным звеном за цикл установившегося движения: A_ц = (KL) μ_Т , (рис. 5.3, б);

n₁ – частота вращения кривошипа, мин^–1;

ñ – число оборотов начального звена за время одного цикла;

η – КПД машины. Ориентировочно примем КПД машины η = 0,8.

По требуемой мощности из табл. 5.1 выбирается асинхронный электродвигатель серии 4А с ближайшей большей стандартной мощностью при заданной синхронной скорости. В табл. 5.1 указаны также величины скольжения S, %, и mD²∙10^{– 4}, кг ∙ м².

Таблица 5.1. Электродвигатели асинхронные серии 4А закрытые, обдуваемые

Мощьность Р, кВт	Синхронная частота вращения nс, мин ^–1
	3000			1500			1000			750
	Типоразмер	S, %	mD^210^-4 кг ∙м^2	Типоразмер	S, %	mD^210^-4 кг ∙м^2	Типоразмер	S, %	mD^210^-4 кг ∙м^2	Типоразмер	S, %	mD^210^-4 кг ∙м^2
0,09	50А2	8,7	0,98	50В4	8,7	1,3
0,12	50В2	9,7	1,07	56А4	8,3	28
0,18	56А2	6,7	16,6	56В4	9	31,5	63А6	11	69,4
0,25	56В2	7,7	18,6	63А4	8	49,5	63В6	11	86	71В8	9,3	74
0,37	63А2	8,3	30,5	63В4	9	52	71А6	9	67	80А8	10	135
0,55	63В2	8,6	36	71А4	7,3	55	71В6	10	81	80В8	6,7	162
0,75	71А2	5,3	39	71В4	7,3	57	80А6	8,5	485	90LA8	6,7	270
1,1	71В2	6,3	42	80А4	5,4	129	80В6	8	184	90LB8	6,7	345
1,5	80А2	4,2	73	80В4	5,8	133	90L6	6,4	294	100L8	6,7	520
2,2	80В2	4,3	85	90L4	5,1	224	100L6	5,1	524	112MA8	6,7	700
3,0	90L2	3,3	104,1	100S4	4,4	347	112MA6	4,7	700	112M8	6,7	1000
4,0	100S2	3,4	237	100L4	4,7	450	112MB6	5,1	800	132S8	4,1	1700
5,5	100L2	2,5	300	112M4	3,7	700	132S6	3,3	1600	132M8	4,1	2300
7,5	112M2	2,3	400	132S4	3	1100	132M6	3,2	2300	160S8	2,5	5500
11	132M2	2,1	900	132M4	2,8	1600	160S6	2,7	5500	160M8	2,5	7200
15	160S2	2,1	1900	160S4	2,3	4100	160M6	2,6	7300	180M8	2,5	10000
18,5	160M2	2	2100	160M4	2,2	5100	180M6	2,7	8800	200M8	2,3	16000
22	180S2	1,9	2800	180S4	2	7600	200M6	2,8	16000	200L8	2,7	18100
30	180M2	1,9	3400	180M4	1,9	9300	200L6	2,1	18100	225M8	1,8	29500
37	200M2	1,8	5800	200M4	1,7	14700	225M6	1,8	29500	250S8	1,5	46200
45	200L2	1,8	6700	200L4	1,6	17800	250S6	1,4	46200	250M8	1,4	54500

После выбора электродвигателя определяется частота n_д вращения его вала, общее передаточное число u привода и приведенный момент инерции J_пр привода по следующим формулам:

n_д = n_с (1 – 0,01 S %), мин ^–1;

u = n_д / n;

J_пр ≈ 1,7 (mD²) u², кг ∙м²,

где mD² – произведение массы ротора двигателя на квадрат его диаметра, указанное в табл. 5.1.

Величина момента инерции J_мхв маховика

J_мхв = J_c – J_пр .

При расчете маховых масс по методу Мерцалова исходят из предположения, что приведенный момент сил движущих в течение цикла является постоянным. В действительности момент на валу двигателя при установившемся движении тем больше, чем меньше его угловая скорость. Поэтому полученное значение J_мхв приведенного момента инерции маховика является несколько завышенным.

Уточнение расчета выполняется методом последовательных приближений. Из первого приближения находится зависимость угловой скорости ω₁ звена приведения от его угла φ₁ поворота. Затем для каждого положения механизма определяется приведенный момент движущих сил. Далее проводятся все описанные ранее действия по методу Мерцалова, в результате которых находится уточненное значение момента инерции маховика.