5. Это определение означает, что  a  есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к  a  при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого  > 0  можно найти такое число N,  что начиная с  n > N  все члены последовательности расположены внутри интервала ( a a  ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | u_n  | Mдля всех  n . Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу  a  приувеличении порядкового номера  n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгоеопределение.

6.

Вопрос 1 «Числовые множества»

Под ним понимается совокупность объектов, объединенных по какому либо признаку. Объекты, из которых состоит множество называют его элементами. Множества обозначаются загл.лат. буквами: А,В, Х,У. их элементы малыми: а,в,х,у. Множество не содержащее не одного элемента называют- пустым. Элементы множества записывают в фигурных скобках, в которых они перечисляются или записываются их общее свойство. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент А является элементом В. А включает В или В включает А. Множество А и В называют равными или совпадающими А=В если АсВ ВсА, то есть состоит из одних и тех же элементов. Объединением(или суммой) множеств А и В называют множества каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеству А или В.

R- множество действительных чисел. Оно состоит из рациональных и ироциональных чисел.

Рациональные числа можно выразить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. ¼= 0,25 1/3=0,333

Числа, не являющиеся рациональными называются- ироциональными. Их представляют в виде бесконечно не периодической десятичной дроби.

Введение множества комплекстных чисел связано с тем, что в множестве действительных чисел не выполняется извлечение корня четной степени из отрицательного числа. Комплекстным числом z – называют упорядоченную пару чисел x:y

Алгебраическая формула комплекстного числа z=x+iy. Где x- действительная часть, а y- мнимая часть, i- мнимая единица. Если x=0, то z=iy – число мнимое, если y=0, то z=x- действительное число.

Вопрос 2 « Числовые промежутки. Окрестность (.)

а,в действительные числа а<в. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел имеющие следующий вид.

[a:в]={x:а<x<в}- отрезок

(а:в)={x:а<x<в}-интервал

[а:в) –полуоткрытые интервалы

(а:в] – полуоткрытые интервалы

(-бесконечность:в)= {x:x<в} – бесконечные интервалы

а,в называются левым и правым концами промежутка. Пусть Х0 любое действительное число в (.) на числовой прямой. Окрестностью (.) называют любой интервал (а:в) содержащий эту точку в частности интервал (Х0-Е: Х0+Е) Е>0 – эпсилан окрестностью (.) Х0 число Х0- называют центром, эпсилан – называют радиусом.

21. Уравнение касательной и нормали Если точка Мо (хо ;уо) точка касания , то угловой коэффициент касательной = f '(xо) пользуясь уравнением прямой проходящую через точку Мо в заданном направлении к у-уо =К(х-хо) Запишем уравнение касательной  У-уо = F '(ХО) (Х-ХО)  Прямая перпендикулярна касательной в точке в точке касания наз. Нормальной кривой в этой точке. Она перпендикулярна касательной следовательно Кнорм= -1 : Ккас (угл. Коэф) Кнорм= -1: Ккас = -1: f '(хо)

У-уо= -1 :-f '(хо)* (х-хо) уравнения норм. проходящей через точку Мо (f '(х)не равна 0) 22. Правила дифференцирования  Пусть u=u(x) V=V(x) 1. (u плюс минус v)= u 'плюс минус v ' 2. (uv) '=u 'v+v 'u , в частности (cu) '= cu ' то есть постоянную можно вынести за знак производной 3. (u:v) '= u 'v-v 'u : v в квадрате 4. Дифференцирование сложной функции У= f(u) u=f(x) Y 'x=Y 'u*U 'x 5. Если у=f(х) х=f(y) следовательно У 'х= 1 : Х 'у

Задача о скорости движущейся точки.  

Пусть s = s (t) представляет закон  прямолинейного движения материальной точки.  

Это уравнение выражает путь s, пройденный  точкой, как функцию времени t.  

Обозначим через Δs путь, пройденный за промежуток времени Δt от момента t до t + Δt , т. е.  Δs  = s(t + Δt ) - s (t). Отношение  называется средней скоростью точки за время от t до t + Δt.  

Чем меньше Δt, т. е. чем короче промежуток времени от t до t + Δt, тем лучше средняя скорость характеризует  движение точки в момент времени t. Поэтому  естественно ввести понятие скорости v в данный  момент t, определив ее как предел средней  скорости за промежуток отt до t + Δt, когда Δt→ 0:  

Величина v называется мгновенной  скоростью точки в данный момент t.  

Задача о касательной к данной кривой.  Пусть на плоскости хОу дана кривая уравнением у = f (х). Требуется провести  касательную к данной кривой в данной точке . Так как точка касания дана, то для решения задачи потребуется найти только угловой коэффициент искомой касательной, т. е. tg φ — тангенс угла наклона касательной к  положительному направлению оси Ох (рис.).  Через точки и проведем секущую  Из рис. видно, что угловой коэффициент tg α секущей равен отношению — , где  Угловой коэффициент касательной к  данной кривой в точке можно найти на  основании следующего определения:  касательной к кривой в точке называется прямая ,  угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей , когда .  Отсюда следует, что   

12. Первый и второй замечательные пределы

При вычислении переделов выражений содержащих тригонометрические функции часто используют предел =1, который называется первым замечательным пределом.

Рассмотрим предел =e, заменим в этой формуле =;==>=e.

Эти 2 равенства называются вторым замечательным пределом.

11. Признаки существования пределов

Не всякая ограниченная функция имеет предел.

Например: y=sin x; x→∞ не имеет предела.

Для выяснения вопроса о существовании предела использование определения предела не всегда удобно. Проще это сделать с помощью признаков существования пределов.

1) о пределе промежуточной функции

Если функция f(x) заключена между функциями φ(x) и g(x) стремящимися к одному и тому же пределу, то она стремится к этому же пределу.

2) о пределе монотонной функции

Если функция f(x) монотонна и ограничена при x<или приx>, то существует левый пределили правый предел.

30. (Правило Лопиталя).

Пусть функции иудовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки;

2) ив этой окрестности;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем

31. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

В определении функции у=ƒ(х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида у=х³/5-5х+7, значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у=sinx, у=ln(1+х) при любых (допустимых) значениях аргумента? Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=ƒ(х), ее заменяют многочленом Р_n(х) степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

24.  Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

45. Функции нескольких переменных: основные понятия, предел и непрерывность

Опр. Если каждой паре значений переменных хи у из множества Д по закону f соответствует одно значение переменной z из множества Е , то переменная z назыв. Функцией от 2-х переменных ху. Z=f(x:y)

Д-область определения ф-ии и представляет из себя множество точек плоскости. Е-область значений ф-ии и явл числовым промежутком

Опр. Окрестностью точки М_о(х_о;у_о) назыв. круг с центром в этой точке причем радиус круга назыв. Радиусом окрестности.

Опр. Точка назыв. Внутренней точкой области , если найдется такая окрестность этой точки ,которая лежит в этой области.

Опр.: точка назыв граничной точкой области если в любой её окрестности есть точки принадлежащие не принадлежащие этой области.

Опр: Область назыв замкнутой ,если она состоит из внутренних и граничных точек.

Опр: область назв. Открытой ,если граница не принадлежит этой области.

Опр: Графиком ф-ии 2-х переменных явл. Поверхность в пространстве уравнением которой будут уравнения этой фун-ии.

Опр: число в называется пределом функции двух переменных при М→, если их разность является БМВ, обозначается: в=↔ /в-f(x;y)/ →0(БМВ), ели /в-f(x;y)/ →α, альфа БМВ. Если М→, х→, y→,то - Двойной предел . Замечание: для двойного предела, справедливы те же свойства пределов, так же как и для функции одной переменной. Вычисление двойного предела: ) Опред: функция двух переменных называется непрерывной в точкеесли функция существует в этой точке и значение пределов в этой точке равно значению функции в этой же точке.

44. Несобственные интегралы: интеграл по бесконечному промежутку, интеграл от неограниченной функции. Признаки сходимости несобственных интегралов

Ин интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от разрывных функций называют несобственными.

1) несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Определяются по средствам предельного перехода =(1)

=(2)

=, гдеc-произвольное действительное число

2) несобственные интегралы от функции с бесконечными разрывами

Также определяется по средствам предельного перехода.

Если функция y=f(x) имеет бесконечный разрыв в точке c [x=c ∈ [a, b]) и непрерывна во всех других точках этого отрезка, то

=+

Несобственные интегралы называют сходящимися или расходящимися в зависимости от того существует или нет определение их пределы соответствующих определённых интегралов.

Признаки сходимости несобственных интегралов

В некоторых случаях нет необходимости вычислять несобственный интеграл, а достаточно лишь знать, сходится он или расходится. В таких случаях часто бывает полезным сравнить данный несобственный интеграл с другим несобственным интегралом, сходимость или расходимость которого известна. Приведём без доказательства теоремы, устанавливающие признаки сходимости или расходимости, основанные на сравнении несобственных интегралов.

Теорема 1: Пусть в интервале [a,+) функцииf(x) и (x) непрерывны и удовлетворяют неравенствам 0≤(x)≤f(x). Тогда:

а) если интеграл сходится, то сходится и интеграл

б) если интеграл расходится, то интегралтакже расходится.

Теорема 2: Пусть функции f(x) и (x) в интервале [a, b) непрерывны и удовлетворяют неравенствам 0≤(x)≤f(x), а в точке x=b имеют разрыв. Тогда:

а) если интеграл сходится, то сходится и интеграл

б) если интеграл расходится, то интегралтакже расходится.

3-4. Если задана функция , которая определена на множествеи принимает значения в множестве, то есть, функцияотображает множество в, то

• этот факт коротко записывают в виде или.

• область определения функции (множество) обозначается, или;

• область значений функции (множество) обозначается(), или().

• Наличие функциональной зависимости между элементом и элементомнаиболее часто обозначается как

,

или

;

• реже используется обозначение без скобок ,или,

• а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: или;

• также существует и операторное обозначение , которое можно встретить вобщей алгебре.

• в лямбда-исчислении Чёрча.

• Функции нескольких аргументов

• 

• График функции двух переменных:

• Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

• Если множество представляет собойдекартово произведение множеств , тогда отображениеоказывается-местным отображением, при этом элементы упорядоченного набораназываются аргументами (данной-местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

• где .

• В этом случае означает, что.

• Способы задания функции

• Аналитический способ[

• Функция как математический объект представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно как множество упорядоченных пар, например: есть функция. Однако, этот способ совершенно непригоден для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции: степенная, линейная, показательная, логарифмическая и т. п.).

• Для задания функции пользуются выражением: . При этом,есть переменная, пробегающая область определения функции, а— область значений. Эта запись говорит о наличии функциональной зависимости между элементами множеств.х и y могут пробегать любые множества объектов любой природы. Это могут быть числа, векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги. Поясним на примере:

• Пусть имеется множество яблоко, самолет, груша, стул и множество человек, паровоз, квадрат. Зададим функцию f следующим образом: (яблоко, человек), (самолет, паровоз), (груша, квадрат), (стул, человек). Если ввести переменную x, пробегающую множество и переменную y, пробегающую множество, указанную функцию можно задать аналитически, как:.

• Аналогично можно задавать числовые функции. Например: , где х пробегает множество вещественных чисел, задает некоторую функцию f. Важно понимать, что само выражениене является функцией. Функция, как объект, представляет собой множество (упорядоченных пар). А данное выражение, как объект, есть равенство двух переменных. Оно задает функцию, но не является ею.

• Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным.

• Графический способов

• Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть — вещественная функция n переменных.

• Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис (). Каждой точке функции сопоставим вектор:. Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующегоаффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.

• Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим «школьное» определение графика функции.

• Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.

• Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвертой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

Числовая последовательность — это последовательностьэлементов числового пространства. Пусть— это либо множество вещественных чисел, либо множество комплексных чисел. Тогда последовательностьэлементов множестваназываетсячисловой последовательностью

Суммой числовых последовательностей иназывается числовая последовательностьтакая, что.

Разностью числовых последовательностей иназывается числовая последовательностьтакая, что.

Произведением числовых последовательностей иназывается числовая последовательностьтакая, что.

Частным числовой последовательности и числовой последовательности, все элементы которой отличны отнуля, называется числовая последовательность. Если в последовательностина позициивсё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность.

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространствепределом последовательности называется элемент, в любойокрестностикоторого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Свойства ограниченных последовательностей[править | править исходный текст]

• Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.

• Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.

• Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.

• У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.

• Для любого наперёд взятого положительного числа все элементы ограниченной числовой последовательности, начиная с некоторого номера, зависящего от, лежат внутри интервала.

• Если за пределами интервала лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности, то интервалсодержится в интервале.

• Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последователи

• Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.

• Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности

Свойства бесконечно малых последовательностей

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

• Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

• Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

• Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

• Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

• Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

• Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

• Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.

• Если — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность, которая является бесконечно малой. Если жевсё же содержит нулевые элементы, то последовательностьвсё равно может быть определена, начиная с некоторого номера, и всё равно будет бесконечно малой.

• Если — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность, которая является бесконечно большой. Если жевсё же содержит нулевые элементы, то последовательностьвсё равно может быть определена, начиная с некоторого номера, и всё равно будет бесконечно большой.