Рабочая тетрадь по линейке

Найдите длины и скалярные произведения следующих пар геометрических векторов на плоскости (в пространстве). Найдите также углы между ними

8. ~x1 = (1; ¡1);			~x2 = (¡3; 2) 9.			~x1 = (1; 3);	~x2 = (1; ¡2)		10.	~x1 = (2; 6); ~x2 = (¡7; 0)
11.	~x1	= (2; ¡1;	0);	~x2	= (0; 1; ¡3)	12.	~x1	= (1; ¡2; 0);	~x2	= (0; 2; ¡3)
13.	~x1	= (1; ¡1;	0);	~x2	= (0; 3; ¡3)	14.	~x1	= (5; ¡2; 0);	~x2	= (0; 1; ¡3)
15.	~x1	= (1; ¡4;	0);	~x2	= (0; 1; ¡5)	16.	~x1	= (1; ¡1; 0);	~x2	= (1; 2; ¡3)

При каких значениях параметров ®, ¯ и

° сумма двух первых векторов параллельна (соответ-

ственно перпендикулярна) разности двух других

17.

~x1 = (®; ¡1; 0);

~x2 = (0; 1; ¡¯);

~x3 = (2; ¡1; 0);

~x4 = (0; ¡°; ¡3)

18.

~x1 = (2; ¡1; ¡®);

~x2 = (3¯; 1; ¡3);

~x3 = (1; ¡1; 0);

~x4 = (0; 2°; ¡1)

19.

~x1 = (1; ¡2; 0);

~x2 = (0; 3®; ¡3);

~x3 = (¯; ¡1; 0);

~x4 = (¡°; 1; ¡3)

Не делая чертежей, решите следующие задачи

20.

Чему равно выражение

~

если

j~aj = 1,

~

~

j~a + 4bj,

jbj = 3 и

j~a ¡ bj = 2.

21.

Чему равно выражение

~

если

j~aj = 3,

~

~

j~a ¡ bj,

jbj = 2 и

j~a + 2bj = 4.

22.

Чему равен угол между векторами

~

и

~

если

j~aj = 1,

~

~x = ~a + b

~y = ~a ¡ b,

jbj = 2 и угол

между векторами ~a

и ~b равен 45±.

23.

Чему равен угол между векторами

~

и

~

если

j~aj = 3,

~

~x = ~a + 2b

~y = 4~a ¡ b,

jbj = 1 и угол

между векторами ~a

и ~b равен 90±.

24.При каком значении параметра ¸ проекции вектора ~a = (3; ¸; ¡1) на оси, определяемые векторами ~e1 = (2; ¡1; 0) и ~e2 = (¡1; 1; 4) совпадают?

25.При каком значении параметра ¸ проекции вектора ~a = (1; ¸; ¡3) на оси, определяемые

векторами ~e1 = (2; ¡3; 0) и ~e2 = (¡1; 2; 1) отличаются друг от друга в два раза?

~	~
26. При каком ¸ векторы ~x = ~a + ¸b	и ~y = ~a ¡ ¸b будут перпендикулярны друг другу,
~
если j~aj = 3, jbj = 5?

При помощи аппарата векторной алгебры докажите следующие хорошо известные геометрические факты

27.Средняя линия треугольника параллельна его основанию и равна его половине.

28.Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.

29.Диагонали ромба перпендикулярны друг другу.

30.Диагонали прямоугольника равны друг другу.

31.Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен 90±.

32.Верна теорема косинусов.

~~ ~

33.Медианы треугольника ¢ABC удовлетворяют равенству AD + BE + CF = 0.

34.Вписанный угол вдвое меньше центрального угла, опирающегося на ту же самую дугу окружности.

11

8АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Найдите расстояние между следующими парами точек
1. A(¡1; 3); B(0; ¡6)	2. C(2; ¡1); D(¡7; 0)	3. G(¡1; 0); H(1; ¡6)

Разделите отрезки, заключенные между следующими парами точек, в отношении 1:6

4. A(¡7; 3); B(0; ¡4) 5. C(4; ¡8); D(¡10; ¡1) 6. G(¡1; 2); H(6; ¡12)

Напишите все возможные уравнения прямой (параметрическое, каноническое, общее, с угловым коэффициентом, нормальное) по двум ее заданным точкам

7. A(¡7; 3); B(0; ¡4) 8. K(4; ¡8); P (¡10; ¡1) 9. M(¡1; 2); N(6; ¡12)

Напишите все возможные уравнения прямой (параметрическое, каноническое, общее, с угловым коэффициентом, нормальное) по ее заданной точке и направляющему вектору

10.

A(¡6; 4);

~s(2; ¡4)

11. C(7; ¡8);

~s(¡9; 0)

12. G(¡3; 1); ~s(5; ¡15)

Найдите все попарные углы между следующими прямыми на плоскости

13.

y = 2x

¡

6

14.

x = 3

¡

t; y = 1 + 3t

15. 3x + 5y

¡

11 = 0

16.

x ¡ 1

= y + 4

3

2

Найдите расстояние от точки A(0; 1) до следующих прямых

17.

y = 5x

¡

7

18.

x = 3

¡

5t; y = 10 + 3t

19. x + 4y

¡

8 = 0

20.

x ¡ 6

= y + 3

2

3

Через точку M(4; ¡1) проведите прямые, параллельные и перпендикулярные следующим прямым

21.

y = 5x

¡

17

22.

x = 3

¡

8t; y = 11 + 3t

23. x + 4y

¡

11 = 0

24.

x ¡ 6 = y + 3

¡2

3

Найдите площади треугольников, заданных своими вершинами, а также уравнения всех их высот, медиан и биссектрис

25.

A(1; 8); B(¡3; 0); C(3; ¡5)

26. A(0; 6); B(4; 1); C(6; 12)

27. A(1; 5); B(2; ¡1); C(6; 5)

Найдите координаты точек, симметричных точке A(¡6; 1) относительно следующих прямых

28.

y = 5x

¡

7

29. x = 3

¡

5t; y = 10 + 3t

30. x + 4y

¡

8 = 0

31.

x ¡ 6 = y + 3

2

3

Определите особенности взаимного расположения следующих прямых

32.

y = 5x

¡

7

33. x = 3

¡

t; y = 10 + 5t

34. x + 5y

¡

8 = 0

35.

x ¡ 6

= y + 3

2

3

На основании AD трапеции ABCD найдите точки M и N такие, что ¤MBCD параллело-

грамм, а площадь 4ABN составляет половину от площади исходной трапеции

36.

A(0; 0); B(8; 0); C(14; ¡6); D(10; ¡10)

37. A(1; ¡1); B(5; 11); C(17; 17); D(21; 9)

Напишите уравнение и определите тип кривой второго порядка, проходящей через следующие точки (на самом деле достаточно знать пять точек)

p

p

1

3

38.

(1

2

; §

2

); (2; §1);

(3; 0)

39. (2; §4);

(0; 0); (3;

§2 3)

40.

(¡4; 0);

(¡2; §1);

(4; §2)

41. (§2; 4);

(§2p

; 6);

(2p

; 2)

2

2

12

9АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через заданные три точки
1.	A(1; ¡1; 2); B(0; 1; ¡1); C(¡1; 0; 5)		2. D(2; ¡1; 1); F (0; ¡2; 1); E(3; 0; ¡1)
3.	N(3; ¡1; 2); M(1; 1; ¡1); H(¡1; 1; 5)		4. K(1; ¡3; 1); L(1; ¡2; 1); P (3; 1; ¡1)
Составьте общее уравнение плоскости по			ее нормали и одной из ее точек
5.	~n(3; ¡8; 1); A(1; ¡1; 2)	6. ~n(1; 1;	¡1); B(2; ¡1; 1)	7. ~n(¡1; ¡1; 10); C(1; ¡1; 2)

Составьте общее уравнение плоскости по ее нормали и расстоянию до начала координат

8. ~n(3; ¡8; 1); ½ = 5 9. ~n(1; 1; ¡1); ½ = 11 10. ~n(¡1; ¡1; 10); ½ = 2

Составьте уравнение прямой по двум ее точкам в пространстве (параметрическое, в каноническом виде и в виде системы двух линейных уравнений)

11.	A(1; ¡1; 2);	B(0; 1; ¡1)	12. C(¡1; 0; 5); D(2; ¡1; 1)	13.	F (0; ¡2; 1);	E(3; 0; ¡1)
14.	G(3; ¡1; 0);	H(0; ¡1; 1)	15. K(1; 0; ¡5); L(1; 2; ¡1)	16.	M(0; 2; ¡1);	N(¡3; 0; 1)

Составьте уравнение прямой по ее направляющему вектору и одной из ее точке в пространстве (параметрическое, в каноническом виде и в виде системы двух линейных уравнений)

17.	~s(1; ¡1; 2);	A(0; 1; ¡1)	18. ~s(¡1; 0; 5); B(2; ¡1; 1)	19. ~s(0; ¡2; 1); C(3; 0; ¡1)
20.	~s(3; ¡1; 0);	D(0; ¡1; 1)	21. ~s(1; 0; ¡5); E(1; 2; ¡1)	22. ~s(0; 2; ¡1); F (¡3; 0; 1)

Составьте уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости

23.	A(¡1; 2; 3);	4x + 5y + 6z ¡ 7	= 0	24.	B(1; ¡2; 3);	7x ¡ 5y ¡ 6z ¡ 4 = 0
25.	C(¡1; 2; ¡2);	3x + 2y + z ¡ 7	= 0	26.	D(1; ¡2; 1);	x ¡ 2y ¡ 8z ¡ 3 = 0

Составьте уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум заданным прямым (одна из них задана в канонической, а вторая в параметрической форме)

27.

A(1; 2; 3);

x ¡ 1

= y ¡ 2

= z ¡ 3

;

x = 2

¡

t; y = 3 + 2t;

z = 5t

¡

¡

4

5

6

¡

¡

28.

B(2;

1; 3);

¡4

5

= z

¡6

x =

¡

2 + t;

y = 3

5t; z = 1

3t

x

2

= y ¡ 1

3

;

¡

= y ¡ 1

¡

29.

C( 1; 2; 3);

x ¡ 2

= z ¡ 3

;

x = 2 + 8t;

y = 1 + 2t; z = 8

¡

t

¡

2

3

5

Составьте уравнение плоскости, проходящей через заданные прямую и точку вне ее

29.

x = 3 + t; y =

4 + 2t; z = 5t;

A(1; 2; 3)

30.

x ¡ 2

= y ¡ 1

= z ¡ 3

;

B(2; 3; 1)

¡

¡

1

2

1

= y + 2

¡

31.

x =

¡

3 + t; y = 2t;

z = 3

¡

5t;

C(1; 2; 0)

32.

x ¡ 1

= z + 3

;

D(1; 3; 2)

¡

3

2

1

Составьте уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой

33. A(1; 2; 3);	x = 3 + t; y = 4 + 2t; z = 5t	34. B(2; 3; 1);	x ¡ 2	= y ¡ 1	= z ¡ 3
¡	¡		1	2	¡	1

13

35.

C(1;

¡

2; 0); x =

¡

3 + t; y = 2t;

z = 3

¡

5t

36. D(1; 3; 2);

x ¡ 1

= y + 2 = z + 3

3

2

1

Найдите углы между двумя прямыми в пространстве

37.

x ¡ 1

= y + 2

= z + 3

;

x =

¡

3 + t; y = 2t; z = 3

¡

5t

3

2

1

38.

x ¡ 3

= y ¡ 6

= z ¡ 43;

x ¡ 3 = y ¡ 6

= z ¡ 43

2

1

3

7

¡3

11

39.

x + 1

=

y

2

=

z

3

;

2x ¡ 3y + 5z = 7

3

¡2

¡1

(

x + 6y

¡

3z = 4

¡

¡

Найдите углы между прямой и плоскостью

40.

x ¡ 1

= y + 2

= z + 3

;

x + 2y

¡

3z + 4 + 8 = 0

3

2

1

41.

x ¡ 3

= y ¡ 6

= z ¡ 4

;

x = 1

¡

t1

+ t2;

y = 6 + t2; z = t1

¡

3t2

2

1

3

42.

x + 1

= y ¡ 2

= z ¡ 3

;

4x

¡

2y + 3z

¡

11 = 0

3

¡

2

1

Найдите точки, симметричные точке M(0; 0; 0) относительно следующих плоскостей

43.

6x + 2y ¡ 9z + 121 = 0

44. 6x + 2y ¡ 9z + 121 = 0

45.

6x + 2y ¡ 9z + 121 = 0

46.

x = 1 ¡ t1 + t2; y = 6 + t1;

z = 3 ¡ t2

47. x = 3 + 2t1 ¡ t2;

y = 3 + t1 + t2;

z = 5

Одна из плоскостей содержит ось OX, другая ось OY. Найдите угол между ними, если извест-

но, что они проходят через заданную точку

48.

A(1; ¡2; 0)

49. A(1; 2; ¡3)

50.

A(¡2; 1; ¡3)

51. A(3; ¡2; 1)

Запишите уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую перпендикулярно другой заданной плоскости

52.

x ¡ 1

= y + 2

= z + 3

;

x + 2y

¡

3z + 4 + 8 = 0

3

2

1

53.

x ¡ 3

= y ¡ 6

= z ¡ 4

;

x = 1

¡

t1 + t2;

y = 6 + t2

; z = t1

¡

3t2

2

1

3

54.

x + 1

= y ¡ 2

= z ¡ 3

;

4x

¡

2y + 3z

¡

11 = 0

3

¡

2

1

Определите, пересекают ли следующие плоскости отрезок, ограниченный точками A(3; ¡2; 1) и

B(¡2; 5; ¡1)

55.

3x ¡4y + 5z ¡5 = 0 56.

x = 1 ¡t1 + t2; y = ¡1 + t2; z = t1 ¡t2

57. ¡x ¡3y + 5z + 6 = 0

Какие геометрические объекты отвечают следующим системам уравнений? Изобразите их на чертеже в изометрической проекции.

8

x1

+ 2x2

+ 5x3

= 6

8 2x1

x2

+ x3

= 1

>

2x1

¡ 3x2

¡ 4x3

= ¡2

>

x1

+ x2

¡ x3

= ¡1

>

x1

5x2

9x3

= 8

>

x1

= 0

>

¡

¡

¡

>

58.

<

59.

<

¡

>

3x1

¡ x2

+ x3

= 4

>

x2

¡ 2x3

= ¡2

>

>

>

>

>

>

>

>

:

:

14

	>	2x1 ¡ x2 + 2x3 = 1			>		2x1 ¡ x2 + 4x3 =			4
	>	3x1 + 2x2 + 3x3 = 5			>		3x1 + 2x2 + 6x3 = 20
	>				>
	<	x1 + 3x2 + x3 = 4			<		x1 + 3x2 + 2x3 = 16
60.	8			61.	8
	>	x1 ¡ 4x2 + x3 = ¡3			>		x1 ¡ 4x2 + 2x3 = ¡12
	>				>
	>				>
	>				>
	>				>
	:				:
62.	8	3x1	x2 + 3x3 = 6	63.	8		x1 + x2 ¡ x3 = ¡1
		6x1	¡ 2x2 + 6x3 = 12			2x1		¡	x2 + x3 =	1
	>		¡		>
	<	¡3x1 + x2 ¡ 3x3 = ¡6			<	¡x1 + x2 ¡ 2x3 = ¡2
	>				>
	:	2x1 + x2 + 3x3 = 6			:		x1 + x2 ¡ x3 = ¡4
	>				>
								¡
	<				<
64.	8	4x1	+ 2x2 + 6x3 = 12	65.	8		2x1		x2 + x3 =	4
	:				:				x2 ¡ 2x3 = ¡8
	> ¡2x1 ¡ x2 ¡ 3x3 = ¡6				>

Найдите все возможные попарные углы и расстояния между геометрическими объектами из задач 58 65.

Определите центр и радиус сферы, проходящей через заданные четыре точки

66.A(1; 0; 1); B(1; 5; ¡1); C(3; ¡1; 1); D(1; 0; 0)

67.A(1; 2; 1); B(3; 1; ¡1); C(1; 1; 4); D(0; 0; 3)

Найдите точки этих сфер, наиболее близкие к плоскостям

68. x ¡ 3y + z ¡ 20 = 0

69. 6x ¡ y + 2z ¡ 17 = 0

70. ¡x + 3y ¡ 2z ¡ 21 = 0

Выполните чертеж в изометрической проекции.

10 ЛИНЕЙНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Вгеометрическом пространстве найдите разложение вектора x¹ = (1; ¡1; 3) по следующим базисам:

1.u1 = (1; 1; 1); u2 = (1; 1; 2); u3 = (1; 2; 3) 2. u1 = (2; 1; ¡3); u2 = (3; 2; ¡5); u3 = (1; ¡1; 1)

3.u1 = (1; 2; 1); u2 = (2; 3; 3); u3 = (3; 7; 1)

Вгеометрическом пространстве найдите разложение вектора x¹ = (¡1; 3; 2) по следующим базисам

4.u1 = (1; 1; 1); u2 = (1; 1; 2); u3 = (1; 2; 3) 5. u1 = (2; 1; ¡3); u2 = (3; 2; ¡5); u3 = (1; ¡1; 1)

6.u1 = (1; 2; 1); u2 = (2; 3; 3); u3 = (3; 7; 1)

Геометрический вектор x¹ имеет координаты (1; ¡1; 2) относительно базиса u1 = (¡1; 2; ¡1), u2 = (1; ¡1; 1), u3 = (1; 2; ¡1). Найдите его координаты относительно базисов

7. u1 = (1; 1; 1); u2 = (1; 1; 2); u3 = (1; 2; 3) 8. u1 = (2; 1; ¡3); u2 = (3; 2; ¡5); u3 = (1; ¡1; 1) 9. u1 = (1; 2; 1); u2 = (2; 3; 3); u3 = (3; 7; 1)

Геометрический вектор x¹ имеет координаты (¡1; ¡1; 3) относительно базиса u1 = (1; ¡2; ¡1), u2 = (2; ¡1; 1), u3 = (1; 2; ¡1). Найдите его координаты относительно базисов

15

10. u1 = (1; 1; 1); u2 = (1; 1; 2); u3 = (1; 2; 3) 11. u1 = (2; 1; ¡3); u2 = (3; 2; ¡5); u3 = (1; 1; 1) 12. u1 = (1; 2; 1); u2 = (2; 3; 3); u3 = (3; 7; 1)

Найдите матрицы прямого и обратного перехода от координат геометрических векторов относительно первого базиса к их координатам относительно второго базиса

13.u1 = (1; 1; 1); u2 = (1; 1; 2); u3 = (1; 2; 3); u01 = (¡1; 2; ¡1); u02 = (1; ¡1; 1), u03 = (1; 2; ¡1)

14.u1 = (1; 2; 1); u2 = (1; 1; ¡1); u3 = (1; 2; 2); u01 = (¡1; 1; 1); u02 = (¡1; ¡1; 1), u03 = (1; 2; 1)

15. u1 = (3; 1; 1); u2 = (1; 1; 2);	u3 = (1; 2; 4);	u0	= (	¡	1; 2; 1);	u0	= (1;	1; 1), u0 = (1; 1;	¡	1)
		1			¡	2	¡	3
В пространстве P3 всех многочленов степени не выше 3 найдите координаты многочлена
относительно базисов	f(x) = 1 ¡ 3x + 2x2 ¡ x3
16. 1; x; x2; x3; : : : ; xn	17. 1;	x ¡ 2;			x2 ¡ 2x + 1;		x3 + x2 ¡ x + 1

18.1; (x ¡ 1); (x ¡ 2)2; (x ¡ 3)3

Впространстве Pn всех многочленов степени не выше n найдите координаты многочлена

			f(x) = a0 + a1x + a2x2 + : : : + anxn
относительно базисов
19.	1;	x; x2; x3; : : : ; xn	20. 1; x ¡ 1; x2 ¡ x; x3 ¡ x2; : : : ; xn ¡ xn¡1
21.	1;	(x ¡ 1); (x ¡ 1)2; (x ¡ 1)3; : : : ; (x ¡ 1)n

При помощи процедуры Грама Шмидта постройте ортонормированные базисы 3-х мерного пространства матриц-строк на основе следующих обычных базисов:

22. u1 = (1; 1; 1); u2 = (1; 1; 2); u3 = (1; 2; 3) 23. u1 = (2; 1; ¡3); u2 = (3; 2; ¡5); u3 = (1; 1; 1) 24. u1 = (1; 2; 1); u2 = (2; 3; 3); u3 = (3; 7; 1)

Выясните, какие из следующих подмножеств векторов являются подпространствами соответствующих линейных пространств:

25.все векторы геометрического пространства с целочисленными координатами

26.все векторы геометрического пространства с концами на двух из его осей

27.все векторы геометрического пространства, помещающиеся в единичную сферу

28.все векторы геометрического пространства, параллельные некоторой плоскости

29.все векторы геометрического пространства, не параллельные некоторой плоскости

30.все векторы геометрического пространства, сумма координат которых равна нулю

31.все векторы геометрического пространства, сумма координат которых равна 1

32.все многочлены из Pn степени не ниже 2

33.все многочлены из Pn нечетной степени

34.все многочлены из Pn, содержащие только нечетные степени

35.все многочлены из Pn, содержащие только четные степени

36.все многочлены из Pn, принимающие в нуле значение нуль

16

37.все многочлены из Pn, принимающие в нуле значение 1

38.все нижне/верхне-треугольные матрицы одной размерности

39.все симметричные квадратные матрицы одной размерности

40.все кососимметричные квадратные матрицы одной размерности

41.все перестановочные матрицы одной размерности

Найдите размерность и базисы подпространств линейных оболочек следующих систем векторов в соответствующих пространствах матриц-строк

42.	a1	= (1; 0; 0; ¡1);	a2	= (2; 1; 1; 0);	a3	= (1; 1; 1; 1);	a4	= (1; 2; 3; 4);	a5	= (0; 1; 2; 3)
43.	a1	= (1; 0; 1; ¡1);	a2	= (1; 1; 1; 0);	a3	= (1; 1; 1; 1);	a4	= (1; 2; 1; 4);	a5	= (1; 1; 1; 3)
44.	a1	= (1; 1; 0); a2 = (1; 1; ¡1); a3 = (2; 0; ¡1); a4 = (1; 5; 2), a5 = (1; ¡1; ¡1)

Найдите размерность и базисы суммы и пересечения двух подпространств линейных оболочек, одна из которых порождена векторами faig, а другая векторами fbkg

45.	a1	= (1; 2; 0; 1);	a2	= (1; 1; 1; 0);	a3	= (0; 1; ¡1; 1);	b1 = (1; 0; 1; 0);	b2 = (1; 3; 0; 1)
46.	a1	= (1; 1; 1; 1);	a2	= (2; 0; 2; 0);	a3	= (1; ¡1; 1; ¡1);	b1 = (1; 2; 0; 2);	b2 = (1; 2; 1; 2)
47.	a1	= (1; 2; 0; 1);	a2	= (1; 1; 1; 0);	b1 = (1; 0; 1; 0); b2 = (3; 1; 3; 1); b3 = (1; 3; 0; 1)

Предложите отображения изоморфизма для геометрического пространства векторов и следующих линейных пространств:

48.пространство 3-х мерных матриц-строк

49.пространство всех квадратных трехчленов f = ax2 + bx + c

11 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Какие из перечисленных ниже отображений являются линейными операторами? Из каких пространств в какие они действуют?

1.Проектирование геометрического вектора на заданную прямую в плоскости.

2.Проектирование геометрического вектора на заданную плоскость в пространстве.

3.Поворот на плоскости (по часовой стрелке) геометрического вектора на заданный угол.

4.Поворот на плоскости (по часовой стрелке) геометрического вектора на заданный угол с последующим проектированием на заданную прямую.

5.Поворот на плоскости (по часовой стрелке) геометрического вектора на заданный угол с последующим его растяжением в два раза.

6.Умножение слева всех матриц-столбцов с n элементами на фиксированную матрицу размерности m £ n.

7.Деление всех ненулевых векторов геометрического (линейного) пространства на свою длину (норму).

8.Умножение всех векторов геометрического (линейного) пространства на свою длину (норму).

9.Взятие производной от многочлена степени не выше n.

17

10.Взятие определенного интеграла от непрерывной функции на отрезке [0,1].

11.Расчет суммарной стоимости набора из n потребительских благ (цены фиксированы).

12.Расчет приведенной стоимости для серии из n платежей, равномерно распределенных по времени.

13.Расчет приведенной стоимости для серии из n платежей, распределенных по времени неравномерно.

14.Значение производственной функции Кобба Дугласа Y = K1=3L2=3, где аргументами являются капитал K и трудовые ресурсы L.

15.Значение вектора конечной продукции Y как функции от вектора валового выпуска продукции X в модели межотраслевого баланса Леонтьева X + AX = Y , где A технологическая матрица (фиксирована, имеет порядок n £ n).

Укажите, какие из приведенных формул определяют линейные операторы, действующие из пространства R3 в R4, и выпишите их матрицы в том же базисе, относительно которого даны координаты x и y = Ax

16.Ax = (x2 + x3; 2x1 + x3; 3x1 ¡ x2 + x3; x3)

17.Ax = (x1; 1 ¡ 2x1 + x3; x3 + 2; 0)

18.Ax = (x1 ¡ 3x3; 2x1 ¡ 3x2; x1 ¡ 2x2 + 4x3; 0)

19.Ax = (x2 + x1x3; x1 + x3x2; 3x1 ¡ x2 + 1; x1x2x3)

20.Ax = (x1 ¡ x2 ¡ x3; x1 + x2 + x3; x1 ¡ x2 + x3; x1 + x2 ¡ x3)

21.Ax = (x1 ¡ x2 ¡ x3; 1=x1 + x2 + x3; x1 ¡ 1=x2 + x3; x1 + x2 ¡ 1=x3)

Постройте матрицу линейного оператора A : R3 ! R3, а также матрицу обратного и сопряженного к нему операторов, если известно, что он переводит векторы e1, e2 и e3 в следующие три вектора

22.y1 = (4; ¡1; 0); y2 = (1; 0; ¡1); y3 = (0; ¡1; 1)

23.y1 = (2; ¡3; 1); y2 = (1; ¡1; 0); y3 = (0; ¡2; 1)

24.y1 = (1; ¡2; 0); y2 = (3; 1; ¡1); y3 = (0; ¡3; 1)

Постройте матрицу линейного оператора A : R3 ! R3, а также матрицу обратного и сопряженного к нему операторов, если известно, что он переводит следующие три вектора в орты e1, e2 и e3 соответственно

25.y1 = (4; ¡1; 0); y2 = (1; 0; ¡1); y3 = (0; ¡1; 1)

26.y1 = (2; ¡3; 1); y2 = (1; ¡1; 0); y3 = (0; ¡2; 1)

27.y1 = (1; ¡2; 0); y2 = (3; 1; ¡1); y3 = (0; ¡3; 1)

Что изменится в ответах к задачам 22 27, если поменять порядок векторов-ортов в них на противоположный?

Постройте матрицу линейного оператора A : R3 ! R3, если известны образы трех фиксированных векторов исходного пространства

28.	(2; 3; 5)	A	A	A
		¡! (1; 1; 1);	(0; 1; 2) ¡! (1; 1; ¡1);	(1; 0; 0) ¡! (2; 1; 2)
29.	(2; 0; 3)	A	A	A
		¡! (1; 2; ¡1);	(4; 1; 5) ¡! (4; 5; ¡2);	(3; 1; 2) ¡! (1; ¡1; 1)

18

30.	A	A	A
	(3; 0; 2) ¡! (2; 1; ¡2);	(2; 4; 1) ¡! (1; 3; ¡1); (5; 1; 1) ¡! (1; ¡1; 0)
Пусть операторы-ответы к задачам 28 30			обозначены как A, B и C соответственно. Найдите
матрицы следующих операторов
31.	D = A + B + C 32.	F = A ± B ± C	33. G = A¡1 + B ± C 34. H = A ± (B ¡ 2C¤)

Выпишите матрицы следующих линейных операторов относительно заданных базисов

35.Проектирование геометрического вектора на биссектрису 1-го координатного угла декартовой плоскости.

36.Поворот на декартовой плоскости (по часовой стрелке) геометрического вектора на заданный угол '. Какие действия производят операторы, обратный и сопряженный к данному?

37.Поворот на декартовой плоскости (по часовой стрелке) геометрического вектора на заданный угол ' с последующим проектированием на биссектрису 2-го координатного угла.

38.Поворот на декартовой плоскости (по часовой стрелке) геометрического вектора на заданный угол ' с последующим его растяжением в два раза.

Найдите все собственные значения и отвечающие им собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе следующими матрицами

39.	0	5	¡3	3	1	40.	0	¡4	4	0	1	41.	0	5	¡7	3	1	42.	0	1	¡4	9	1
		2	¡1	2				0	1	0				4	¡5	2				4	¡5	7
	@ ¡1		0	¡2 A			@ ¡2		1	2 A			@ 6		¡9	4 A			@ ¡4		0	5 A

Найдите размерность и базисы образа, ядра и ортогонального дополнения к ядру линейного опе-

ратора A : R4 ! R3,					заданного своей матрицей
43.	A =	@	1	¡4	0	2	A	44.	A =	@	1	4	0	¡2	A		45.	A =	@	2	¡4	0	0	A
			¡5	1	0	¡1					¡1	0	0	1						¡1	0	0	2
		0	¡0	¡1	1	3	1			0	0	¡1	1	3	1				0	0	1	¡1	¡3	1
46.	A =	0	¡0	¡2	1	¡3	1	47.	A =	0	1	¡1	¡1	¡3		1	48.	A =	0	0	2	¡1	¡3	1
			2	¡1	0	1					0	1	1	2						1	¡5	0	1
		@ ¡3		2	0	1 A				@ ¡1		0	1	2 A					@ ¡1		1	0	2 A

Проверьте совпадение суммы размерностей ядра и его ортогонального дополнения с размерностью исходного пространства.

12 КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Найдите симметричные матрицы следующих квадратичных форм

1.f = x21 + x22 + 3x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3

2.f = x21 ¡ 2x22 + x23 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3

3.f = x21 ¡ 3x22 ¡ 2x1x2 + 2x1x3 + 6x2x3

4.f = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4

5.f = x21 + 2x22 + x24 + 4x1x2 + 4x1x3 + 2x1x4 + 2x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4

19

Запишите квадратичные формы, отвечающие следующим матрицам (возможно, несимметричным)

	0	1	1	1	1		0	3	0	1	1		0	2	1	0	1			1		1	0		1
																			B	0		0	¡1		1	C
6.	@	1	1	1	A	7.	@	0	1	1	A	8.	@	1	3	1	A	9.	0	1		3	0	¡2		1
									¡						¡				B	1	¡	2	1	¡	2	C
																			@							A

Методом выделения полного квадрата приведите следующие квадратичные формы к каноническому виду и решите вопрос об их знакоопределенности

10.f = x21 + 5x22 ¡ 4x23 + 2x1x2 ¡ 4x1x3

11.f = 4x21 + x22 + x23 ¡ 4x1x2 + 4x1x3 ¡ 3x2x3

12.f = x1x2 + x1x3 + x2x3

13.f = 2x21 + 18x22 + 8x23 ¡ 12x1x2 + 8x1x3 ¡ 27x2x3

14.f = ¡12x21 ¡ 3x22 ¡ 12x23 + 12x1x2 ¡ 24x1x3 + 8x2x3

15.f = 2x21 + 3x22 + 4x23 ¡ 2x1x2 + 4x1x3 ¡ 3x2x3

P		P	18. f =	P	x2	+	P
16. f = n	aiajxixj	17. f = n¡1 xixi+1		n			n	xixj
i=1		i=1		i=1	i		i<j

Опираясь на собственные числа матрицы коэффициентов, найдите сигнатуру соответствующих квадратичных форм. Решите вопрос об их знакоопределенности

19.	0	1	¡1	1		1	20.	0	0	¡1	¡1	1	21.	0	0	3	¡1	1	22.	0	3	3	0	1
		1	1	1					3	0	0				2	0	0				1	3	0
	@ 1		1	1 A				@ 0 ¡1			2 A			@ 0 ¡1			1 A			@ 0		0	¡1 A
23.	0	1	2	1	1		24.	0 ¡0		3	¡1	1	25.	0	0	3	¡1	1	26.	0	0	3	0	1
		1	1	1				@	1	0	0				2	0	0				4	0	1
	@ 1 1 1 A								0 ¡1		2 A			@ 0 ¡1			1 A			@ 1		0	¡1 A

Решите вопрос о знакоопределенности следующих квадратичных форм на основе критерия Сильвестра

27.f = x21 + x22 + 3x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3

28.f = x21 ¡ 2x22 + x23 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3

29.f = x21 ¡ 3x22 ¡ 2x1x2 + 2x1x3 + 6x2x3

30.f = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4

31.f = x21 + 2x22 + x24 + 4x1x2 + 4x1x3 + 2x1x4 + 2x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4

Проверьте свои выводы по задачам 27 31 с помощью отыскания собственных чисел соответствующих матриц, а также при помощи метода выделения полных квадратов.

20