Рабочая тетрадь по линейке
.pdfУральский государственный университет Экономический факультет
Кафедра информатики и экономического моделирования
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Составил проф. Л.Д.Попов
Екатеринбург - 2010
1МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ С НИМИ
Найдите сумму матриц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
µ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
¶ |
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
0 |
¶ |
|
|
|
|
|
µ |
3 |
|
1 |
¶ + µ |
1 |
1 |
¶ + |
|
1 |
|
0 |
¶ |
|||||||||
1. |
4 |
¶ + µ ¡1 |
|
|
|
|
|
2. |
3 |
|
¡3 ¶ + µ |
7 1 |
|
|
|
3. |
1 |
¡2 |
7 2 |
µ 3 ¡5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
0 |
|
|
|
1 |
|
¡0 2 |
|
¡1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
2 |
¡0 2 1 |
1 |
|
|
|
5. |
0 ¡3 0 2 1 0 ¡4 3 2 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
¡ |
|
|
|
3 |
1 0 |
|
|
2 |
1 |
¡ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 1 |
|
|
|
|
1 0 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
@ ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
|
3 |
A |
|
|
|
|
|
|
B |
|
1 |
0 |
3 |
C |
¡ B |
|
1 |
|
3 |
0 |
C |
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
¡ |
1 |
0 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 1 0 |
|
3 0 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|||||||||||||||
Вычислите произведение матрицы на число(а) |
|
|
|
|
|
|
@ ¡ |
|
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. 5 |
|
0 |
¡ |
4 0 5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
7. |
0 ¡1 |
¡1 ¡3 1 |
( 4) |
|
|
|
8. |
|
2 |
|
¡4 |
|
2 |
|
|
0 |
5 |
|
1 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
¡ |
|
|
1 |
¡ |
|
|
4 |
||||||||||||||||
|
|
|
¢ |
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
B |
4 |
|
2 |
|
1 |
|
C |
¢ ¡ |
|
|
|
|
|
|
¡ ¢ |
@ |
|
0 |
|
|
0 |
|
A |
¢ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 2 7 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
¡0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
¡ |
2 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Транспонируйте матрицы |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
¡ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
0 |
|
5 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
3 |
|
1 |
||||
|
|
|
0 ¡1 |
|
|
|
|
2 ¡3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 ¡2 |
|
0 |
||||||||||||||||||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
7 |
|
1 |
C |
|
|
|
|
@ |
|
|
¡ ¡ |
A |
|
|
|
|
B |
|
1 |
|
|
3 |
|
0 |
C |
||||||||
|
0 1 |
|
|
|
|
3 |
|
¡0 |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
2 |
¡ |
1 |
A |
|
|
|
|
0 0 |
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
B |
|
3 |
|
|
2 ¡7 |
C |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|||||
Найдите скалярные произведения векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ¡5 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
1 |
|
|
¡ |
1 |
|
2 |
|
|
0 |
|
5 |
1 |
|
|
|
|
14. |
1 |
¡ |
1 |
2 |
|
|
0 |
¡5 |
1 |
|
|
|
15. |
|
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ ¢ |
@ |
|
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
¢ ¢ |
@ |
|
1 |
A |
|
|
|
|
|
³ |
|
¡ |
|
|
|
|
´ ¢ B |
|
1 |
C |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
C |
||||||||||
Вычислите произведения матрицы на вектор-строку слева |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ ¡ |
|
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
2 |
|
|
¡1 |
|
1 |
|
|
17. |
1 |
0 |
|
|
¡1 |
|
2 |
|
|
|
|
18. |
|
1 |
0 |
0 |
2 |
|
1 |
|
¡7 |
|
¡5 |
||||||||||||||||||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
¢µ |
|
|
|
¡ |
|
¶ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
1 |
C |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
1 |
|
|
|
9 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢B ¡0 |
|
|
2 |
|
|
7 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
||
19. |
|
|
¡ |
1 |
|
3 |
|
|
µ |
1 |
|
¡1 |
|
|
|
|
2 |
|
¶ |
|
20. |
¡ |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
|
¡7 |
¡5 |
|
21. |
|
1 |
3 |
|
µ |
1 |
|
¡1 |
¶ |
|||||||||||||||||||||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
¢ |
0 |
|
|
|
2 |
|
¡ |
1 |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¢B |
0 |
|
|
3 |
|
8 |
C |
|
|
|
¡ |
¡ |
|
|
¢ |
2 |
|
¡ |
7 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислите произведения матрицы на вектор-столбец справа |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
¡7 ¡5 1 |
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 ¡1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
B |
|
3 |
1 |
|
|
1 |
C |
0 |
|
|
1 |
|||||||||||
22. |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
¡1 |
|
1 |
|
|
|
23. |
µ |
2 |
¡5 |
7 |
¶ |
0 |
|
|
24. |
|
0 |
3 |
|
|
8 |
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
9 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
@ ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A@ |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ A |
|
|
|
|
B |
¡0 |
2 |
|
|
7 |
C |
@ A |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ¡ |
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
10 1 |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
0 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
7 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
B |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
C |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
µ |
1 |
¡1 |
¡ |
¶ |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
25. |
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
26. |
|
|
1 |
|
9 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
0 |
1 |
¡7 |
|
¡5 |
1 |
@ |
|
|
3 |
A |
|
|
|
@ |
0 |
¡2 |
1 |
A@ |
¡5 |
A |
|
|
27. |
|
|
2 |
@ |
|
5 |
A |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2
Вычислите произведения матриц |
¡7 ¡5 1 |
||||||||||||||
|
0 0 0 0 1 0 |
10 ¡1 |
1 |
||||||||||||
30. |
B |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
CB |
0 |
3 |
1 |
1 |
C |
|||
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
2 |
5 |
1 |
|||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
CB |
1 |
¡0 |
2 |
|
C |
||
|
B 0 0 0 0 1 |
CB |
7 C |
||||||||||||
|
B |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
CB |
2 |
0 |
3 |
8 |
C |
|||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A@ |
|
|
|
|
|
A |
|
32. |
0 |
0 |
|
1 |
¡2 |
0 |
10 |
¡1 |
|
1 |
¡7 |
¡5 |
1 |
||
|
B |
1 |
|
0 |
|
1 |
0 |
CB |
0 |
|
3 |
1 |
1 |
C |
|
|
0 0 |
|
1 |
1 |
7 |
|
2 |
5 |
1 |
||||||
|
B |
|
|
|
¡ |
|
|
CB |
|
¡ |
|
|
|
C |
|
|
@ |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
A@ |
2 |
0 |
3 |
8 |
A |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
34. |
0 |
|
2 |
|
1 |
0 |
0 |
10 |
¡1 |
|
1 |
¡7 |
¡5 |
1 |
|
|
B |
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
CB |
0 |
|
3 |
1 |
1 |
C |
|
|
¡1 0 0 1 |
7 |
|
2 |
5 |
1 |
|||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
CB |
|
¡ |
|
|
|
C |
|
|
@ |
|
1 |
|
0 |
1 |
0 |
A@ |
2 |
0 |
3 |
8 |
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
36. |
0 |
|
2 |
|
1 |
1 |
0 |
10 |
¡1 |
|
1 |
¡7 |
¡5 |
1 |
|
|
B |
|
1 |
|
0 |
0 |
1 |
CB |
0 |
|
3 |
1 |
1 |
C |
|
|
¡1 1 0 1 |
7 |
|
2 |
5 |
1 |
|||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
CB |
|
¡ |
|
|
|
C |
|
|
@ |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
A@ |
2 |
0 |
3 |
8 |
A |
||
|
0 |
|
4 |
|
0 ¡3 1 |
|
1 |
2 |
0 ¡1 |
|
|||||
|
B |
|
1 |
|
0 |
|
3 |
C |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
38. |
|
0 |
¡2 |
|
1 |
¡4 |
0 |
¡3 |
2 |
||||||
|
|
3 |
|
0 |
|
1 |
|
3 |
2 |
0 |
6 |
|
|||
|
B |
¡3 |
|
1 |
¡0 |
C |
@ |
|
¡ |
|
|
|
A |
||
|
B |
|
C |
|
|
|
|
||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
¡ |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
¡0 0 2 0 |
10 ¡1 |
1 |
¡7 ¡5 1 |
||||||||||||
31. B |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
CB |
|
0 |
3 |
1 |
1 |
C |
||
3 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
2 |
5 |
1 |
|||||
B |
|
|
|
0 0 0 1 |
CB |
|
1 |
¡0 |
2 |
|
|
C |
||||
B 0 |
|
|
CB |
|
7 C |
|||||||||||
B |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
CB |
|
2 |
0 |
3 |
8 |
C |
||
@ |
0 |
|
|
|
|
|
|
A@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
33. |
0 |
|
¡1 |
0 |
0 |
10 |
¡1 |
¡1 |
¡9 |
¡5 |
|
1 |
||||
|
B |
1 |
|
|
3 |
0 |
0 |
CB |
|
3 |
1 |
1 |
0 |
|
C |
|
|
0 |
|
|
2 0 1 |
|
7 |
2 |
5 |
0 |
|
||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
CB |
|
|
¡ |
|
|
|
C |
|
|
@ |
0 |
|
|
1 |
1 |
0 |
A@ |
|
2 |
3 |
8 |
|
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
35. |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
¡2 |
10 |
¡1 |
¡1 |
¡9 |
¡5 |
|
1 |
|||
|
B |
1 |
|
0 |
0 |
|
3 |
CB |
|
3 |
1 |
1 |
0 |
|
C |
|
|
0 |
0 0 |
|
1 |
|
7 |
2 |
5 |
0 |
|
||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
CB |
|
|
¡ |
|
|
|
C |
|
|
@ |
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
A@ |
|
2 |
3 |
8 |
|
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
37. |
0 |
2 |
|
1 |
0 |
¡2 |
10 |
¡1 |
¡1 |
¡9 |
¡5 |
|
1 |
|||
|
B |
1 |
|
0 |
0 |
|
3 |
CB |
|
3 |
1 |
1 |
0 |
|
C |
|
|
0 |
1 0 |
|
1 |
|
7 |
2 |
5 |
0 |
|
||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
CB |
|
|
¡ |
|
|
|
C |
|
|
@ |
1 |
|
0 |
1 |
|
1 |
A@ |
|
2 |
3 |
8 |
|
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
39. |
0 |
|
2 |
¡4 |
¡ |
3 |
¡0 |
1 |
0 |
4 |
¡3 |
0 |
1 |
|||
|
@ |
|
5 |
|
1 |
|
0 |
3 |
|
|
B |
1 |
0 |
3 |
C |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
0 |
1 |
|
|
1 |
2 |
¡5 |
||||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
C |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ ¡ |
|
|
A |
||
Вычислите следующие степени |
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
cos ® |
|
|
sin ® |
|
n |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
: : : |
1 |
1 |
3 |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
40. |
µ |
3 |
¡4 |
¶ |
|
41. |
µ |
5 ¡2 |
¶ |
|
|
42. |
|
µ sin ® |
|
¡cos ® ¶ |
|
|
|
|
|
|
43. |
B |
|
1 |
1 |
|
1 : : : 1 |
C |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
:: :: :: |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
: : : |
1 |
C |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
Вычислите выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
44. |
|
¡ |
0 |
0 |
0 1 |
10 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
8 |
0 |
0 |
2 |
|
¡1 |
1 |
¡ |
1 |
|
¡ |
|
9 |
|
|
3 |
|
0 |
1 |
9 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
0 1 0 |
0 1 0 |
T |
> |
1 0 |
|
|
0 |
3 |
0 |
|
|
0 |
¡0 |
|
3 |
> ¢ |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 0 0 |
|
1 0 0 |
|
|
< |
|
|
1 3 |
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
12 21 |
|
0 |
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
@ |
|
|
|
A@ |
|
|
|
|
A > @ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
A > @ A |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
45. |
|
|
1; |
|
0; |
1 |
|
0 |
|
0 |
1 |
1 0 |
0 |
|
2 |
¡1 |
1 0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
+ |
1 |
|
0 |
¡4 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¢ > 0 |
0 1 0 |
1 0 |
|
0 |
0 1 0 |
|
|
2 |
|
0 |
¡0 |
|
|
|
6 |
1 > |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
¡ |
|
|
|
¢ |
< |
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
T |
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
T |
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
12 |
|
|
|
0 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> @ |
|
|
|
|
A @ |
|
|
|
|
|
A @ |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
A > |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
¡1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
46. |
|
¡2 ¢ |
|
2 1 |
¡1 1 |
0 |
¢ B |
|
|
1 |
|
5 |
1 |
|
0 |
C |
¢ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
¢ (¡2) ¢ ³¡ |
4 |
´ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
7 |
¡0 |
3 |
|
1 |
¡ |
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
¡ |
|
|
|
|
|
¢ |
B |
|
|
1 |
|
2 |
0 |
|
1 |
C |
|
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
1 |
|
2 |
¡1 |
|
0 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ ¡ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3
2ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Вычислите определители непосредственно
1. |
¯ |
|
3 4 |
|
¯ |
|
|
2. |
¯ |
¡2 4 |
¯ |
|
|
3. |
¯ |
3 |
¡ |
4 |
¯ |
|
|
|
4. |
¯ |
4 |
|
¡3 |
¯ |
||||||
|
¯ |
¡ |
2 |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
1 |
3 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
2 |
0 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
1 |
|
2 |
¯ |
|||||
|
¯ |
|
1 |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|||||||||
|
¯ |
|
1 3 |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
1 2 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
2 |
¡ |
1 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
1 |
|
3 |
¯ |
|||||
6. |
¯ |
¡ |
|
|
¯ |
|
|
7. |
¯ |
¡2 5 |
¯ |
|
|
8. |
¯ |
3 |
8 |
¯ |
|
|
|
9. |
¯ |
4 |
|
¡ |
|
¯ |
||||||
¯ |
|
3 2 |
|
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¡3 |
¯ |
|||||||||||||
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
¯ |
|
1 2¯ |
1 |
¯ |
|
¯ |
1 |
|
2 ¯3 |
¯ |
|
|
¯ |
¯1 3 |
|
|
3¯ |
¯ |
|
|
¯ |
1¯ |
|
|
2 4 |
¯ |
||||||
11. |
|
|
4 |
1 |
5 |
12. |
¯ |
3 |
|
5 |
2 |
13. |
2 |
2 |
|
|
5 |
14. |
|
4 |
|
|
0 |
5 |
¯ |
|||||||||
|
|
¯ |
¡3 2 7 |
¯ |
|
¯ |
3 |
¡2 1 |
¯ |
|
|
¯ |
3 2 |
¡1 |
¯ |
|
|
¯ |
4 |
|
|
2 1 |
¯ |
|||||||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¡ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
1 2 0 |
¯ |
|
¯ |
1 |
|
2 3 |
¯ |
|
|
¯ |
1 0 |
|
|
3 |
¯ |
|
|
¯ |
1 |
|
|
2 0 |
¯ |
|||||||
16. |
|
¯ |
|
4 |
1 |
5 |
¯ |
17. |
¯ |
3 |
|
5 |
0 |
¯ |
18. |
¯ |
2 |
2 |
|
|
5 |
¯ |
19. |
|
¯ |
4 |
|
|
0 |
5 |
¯ |
|||
|
|
¯ |
¡3 2 7 |
¯ |
|
¯ |
3 |
¡0 1 |
¯ |
|
|
¯ |
0 2 |
¡1 |
¯ |
|
|
¯ |
0 |
|
|
2 1 |
¯ |
|||||||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¡ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
Вычислите¯ |
определители¯ ¯ |
разложением¯ |
по строке¯ |
(столбцу)¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|||||||||||||||||||||
21. |
|
¯ |
2 |
¡1 |
1 |
¯ |
22. |
¯ |
4 |
|
1 |
2 |
¯ |
23. |
¯ |
5 |
|
3 |
|
1 |
¯ |
|
24. |
¯ |
4 |
3 |
|
1 |
¯ |
|
||||
|
|
¯ |
3 |
|
2 1 |
¯ |
|
¯ |
¡1 1 |
3 |
¯ |
|
¯ |
3 |
¡3 1 |
¯ |
|
|
¯ |
5 2 |
¡1 |
¯ |
|
|||||||||||
|
|
¯ |
1 |
|
2 |
1 |
¯ |
|
¯ |
1 |
|
2 |
2 |
¯ |
|
¯ |
1 |
|
3 |
|
3 |
¯ |
|
|
¯ |
1 |
1 |
|
3 |
¯ |
|
|||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¡ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¡ |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
1 |
|
1 3 |
¯ |
|
¯ |
1 2 |
1 |
¯ |
|
¯ |
1 |
|
1 3 |
¯ |
|
|
¯ |
1 1 |
|
3 |
¯ |
|
|||||||||
26. |
|
¯ |
4 |
¡1 |
3 |
¯ |
27. |
¯ |
4 |
|
1 |
3 |
¯ |
28. |
¯ |
4 |
|
3 |
|
1 |
¯ |
|
29. |
¯ |
4 |
3 |
|
1 |
¯ |
|
||||
|
|
¯ |
1 |
|
2 1 |
¯ |
|
¯ |
¡3 2 |
1 |
¯ |
|
¯ |
3 |
¡1 1 |
¯ |
|
|
¯ |
1 2 |
¡1 |
¯ |
|
|||||||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¡ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¡ |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
1 |
1 |
|
|
3 |
¯ |
|
¯ |
1 2 |
0 |
¯ |
|
¯ |
1 |
|
0 3 |
¯ |
|
|
¯ |
1 0 |
|
3 |
¯ |
|
|||||||
31. |
|
¯ |
4 |
0 |
|
|
3 |
¯ |
32. |
¯ |
4 |
|
0 |
3 |
¯ |
33. |
¯ |
4 |
|
3 |
|
0 |
¯ |
|
34. |
¯ |
4 |
3 |
|
0 |
¯ |
|
||
|
|
¯ |
0 |
2 |
|
¡1 |
¯ |
|
¯ |
¡3 2 |
1 |
¯ |
|
¯ |
3 |
¡1 3 |
¯ |
|
|
¯ |
2 2 |
|
1 |
¯ |
|
|||||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¡ |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
1 |
0 |
|
|
3 |
¯ |
|
¯ |
1 2 |
0 |
¯ |
|
¯ |
1 |
|
0 3 |
¯ |
|
|
¯ |
1 0 |
|
3 |
¯ |
|
|||||||
36. |
|
¯ |
4 |
0 |
|
|
3 |
¯ |
37. |
¯ |
4 |
|
0 |
3 |
¯ |
38. |
¯ |
4 |
|
3 |
|
0 |
¯ |
|
39. |
¯ |
4 |
3 |
|
0 |
¯ |
|
||
|
|
¯ |
0 |
2 |
|
¡1 |
¯ |
|
¯ |
¡3 2 |
0 |
¯ |
|
¯ |
3 |
¡0 1 |
¯ |
|
|
¯ |
0 2 |
|
1 |
¯ |
|
|||||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¡ |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯¯
5.¯¯¯ 7 4 ¯¯¯
¡3 2
¯¯
¯¯ 7 5 ¯¯
¯¡3 3 ¯10.
15. |
|
¯ |
3 |
5 |
|
0 |
¯ |
|
|
|
¯ |
5 |
2 |
|
1 |
¯ |
|
|
|
¯ |
1 |
5 |
|
3 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¡ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
1 |
0 |
|
3 |
¯ |
|
20. |
|
¯ |
3 |
5 |
|
0 |
¯ |
|
|
|
¯ |
0 |
2 |
|
1 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¡ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
25. |
¯ |
3 |
|
|
1 |
3 |
¯ |
|
|
¯ |
1 |
|
|
2 |
1 |
¯ |
|
|
¯ |
1 |
|
|
2 |
1 |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¡ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
1 |
|
|
2 |
1 |
¯ |
|
30. |
¯ |
4 |
|
|
1 |
3 |
¯ |
|
|
¯ |
1 |
|
|
2 |
1 |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¡ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
1 |
|
|
2 |
0 |
¯ |
|
35. |
¯ |
4 |
|
|
0 |
3 |
¯ |
|
|
¯ |
2 |
|
|
2 |
1 |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¡ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
1 |
|
|
2 |
0 |
¯ |
|
40. |
¯ |
4 |
|
|
0 |
3 |
¯ |
|
|
¯ |
0 |
|
|
2 |
1 |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¡ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
Вычислите определители 21–40 путем приведения их к треугольному виду. Аналогичным образом вычислите определители, приведенные ниже
41. |
¯ |
1 |
1 |
1 |
¡3 |
¯ |
42. |
¯ |
¡1 |
1 |
2 |
|
3 |
¯ |
43. |
¯ |
2 |
1 |
1 |
|
3 |
¯ |
44. |
¯ |
¡1 |
3 |
1 |
3 |
¯ |
||
|
¯ |
1 |
1 |
2 |
¡1 |
¯ |
|
¯ |
|
2 |
1 |
2 |
¡1 |
¯ |
|
¯ |
3 |
1 |
2 |
¡1 |
¯ |
|
¯ |
|
4 1 2 |
¡1 |
¯ |
||||
|
¯ |
1 |
1 |
3 |
1 |
¯ |
|
¯ |
|
1 |
1 |
3 |
|
1 |
¯ |
|
¯ |
1 |
1 |
3 |
|
1 |
¯ |
|
¯ |
|
1 |
1 |
3 |
1 |
¯ |
|
¯ |
1 |
1 |
3 |
1 |
¯ |
|
¯ |
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
¯ |
|
¯ |
¡1 1 1 |
|
2 |
¯ |
|
¯ |
¡1 3 1 |
1 |
¯ |
|||||
|
¯ |
¡ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
¡ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
||
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
1 |
2 |
2 |
1 |
¯ |
|
¯ |
|
1 |
0 |
|
3 |
0 |
¯ |
|
¯ |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
¯ |
|
¯ |
1 |
0 |
|
3 |
0 |
¯ |
|
¯ |
1 |
0 |
3 |
0 |
¯ |
|
¯ |
|
1 |
3 |
¡2 0 |
¯ |
|
¯ |
1 |
0 |
|
2 |
0 |
¯ |
|
¯ |
0 |
1 |
¡0 |
3 |
¯ |
|||
45. |
¯ |
¯ |
46. |
¯ |
|
¯ |
47. |
¯ |
|
¯ |
48. |
¯ |
¯ |
||||||||||||||||||
¯ |
1 |
0 |
2 |
1 |
¯ |
¯ |
|
2 |
1 |
|
0 |
1 |
¯ |
¯ |
1 |
1 |
|
2 |
5 |
¯ |
¯ |
4 |
4 |
|
0 |
1 |
¯ |
||||
|
¯ |
¡1 2 0 |
¡4 |
¯ |
|
¯ |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
¯ |
|
¯ |
¡1 2 |
¡0 1 |
¯ |
|
¯ |
0 |
3 |
|
1 |
¡0 |
¯ |
|||||
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
¡ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
0 |
2 |
2 |
1 |
¯ |
|
¯ |
|
0 |
0 |
|
3 |
0 |
¯ |
|
¯ |
0 |
2 |
|
3 |
4 |
¯ |
|
¯ |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
¯ |
49. |
¯ |
1 |
0 |
2 |
1 |
¯ |
50. |
¯ |
|
2 |
1 |
|
0 |
1 |
¯ |
51. |
¯ |
1 |
1 |
|
2 |
5 |
¯ |
52. |
¯ |
4 |
4 |
|
0 |
1 |
¯ |
|
¯ |
¡1 2 0 |
¡4 |
¯ |
|
¯ |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
¯ |
|
¯ |
¡1 2 |
¡0 1 |
¯ |
|
¯ |
0 |
3 |
|
1 |
¡0 |
¯ |
|||||
|
¯ |
1 |
0 |
3 |
0 |
¯ |
|
¯ |
|
1 |
3 |
¡2 0 |
¯ |
|
¯ |
1 |
0 |
|
2 |
0 |
¯ |
|
¯ |
0 |
1 |
¡0 |
3 |
¯ |
|||
|
¯ |
¯ |
|
¯ |
|
¯ |
|
¯ |
|
¯ |
|
¯ |
¯ |
||||||||||||||||||
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
¡ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
4
Вычислите определители, комбинируя различные приемы
53. |
¯ |
ab |
b2 |
¯ |
|
|
54. |
¯ |
n |
|
n |
¡ |
1 |
¯ |
|
|
|
55. ¯ |
¡ |
cos x |
sin x |
¯ |
|
56. |
¯ |
|
a |
1 |
logc a |
¯ |
|
|
|||||||||||
|
¯ |
a2 |
ab |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
n + 1 |
n |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
sin x |
cos x |
¯ |
|
|
¯ |
log |
|
b |
logc b |
¯ |
|
|
|||||||||||
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
2 |
a |
¯ |
|
2 |
a |
|
|
¯ |
|
0 |
|
|
|
|
¯ |
a + b |
¯ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
1002 |
|
1003 |
|
|
|
¯ |
|
|
||||
|
¯ |
sin |
cos |
|
|
|
1 |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
c |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
1001 |
|
|
|
1009 |
¯ |
||||||||||||||||
57. |
¯ |
sin2 b |
cos2 b |
|
|
1 |
|
0 |
¯ |
|
58. |
¯ |
|
b + c |
|
1 |
|
|
|
1 |
¯ |
|
59. |
¯ |
1002 |
1003 |
|
1001 |
|
|
1002 |
¯ |
|||||||||||
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
a |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|||||||||||||||||||||||||
|
¯ |
sin2 c |
¡ |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
¯ |
|
|
|
¯ |
c + a |
b |
1 |
|
981 |
¯ |
|
|
¯ |
1001 |
1001 |
|
1001 |
|
|
|
999 |
¯ |
|||||||||
|
¯ |
cos2 c |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|||||||||||||||||||||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
1087 |
|
1088 |
|
|
7 |
|
2 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
1 |
¯ |
|
|
¯ |
1001 |
1000 |
|
998 |
|
|
|
999 |
¯ |
||||||
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
||||||||||||||||||
Вычислите определители |
n-го |
порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
¯ |
0 0 1 : : : |
0 |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
1 |
|
0 |
3 : : : n |
¯ |
|
|
|
¯ |
1 0 1 : : : |
1 |
¯ |
||||||||||||||||||||
|
¯ . |
|
|
|
|
. |
|
|
0 |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¡1 |
|
2 |
0 : : : n |
¯ |
|
|
|
¯ |
1 1 0 : : : |
1 |
¯ |
||||||||||||||
|
|
0 1 0 : : : |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
1 |
|
2 |
3 : : : n |
¯ |
|
|
|
¯ |
0 1 1 : : : |
1 |
¯ |
|||||||||||||||||||||
60. |
¯ .. |
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
61. |
|
¡ . |
|
¡ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
62. |
. |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
¯ |
0 0 0 : : : |
1 |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
.. |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
.. |
|
¯ |
|||||||||||||||
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ .. |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
.. |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|||||||||||||||
|
¯ |
1 0 0 : : : |
0 |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
1 |
|
2 |
3 : : : 0 |
¯ |
|
|
|
¯ |
1 1 1 : : : |
0 |
¯ |
||||||||||||||||||||
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
¯ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¡ |
|
¡ |
¡ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
0 |
|
1 0 : : : |
|
|
0 |
¯0 |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|||
|
¯ |
0 |
|
0 0 : : : |
|
¡0 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
1 |
|
0 1 : : : |
|
|
0 0 |
|
|
¯ |
1 n |
1 : : : |
1 |
¯ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¡0 |
|
1 0 : : : |
|
|
0 0 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
¯ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
1 1 n : : : 1 ¯ |
||||||||||||
|
|
0 |
|
0 0 : : : |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
n 1 1 : : : |
1 |
¯ |
||||||||||||||
63. |
¯ .. |
|
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
64. |
|
. |
¡ |
|
. |
.. |
|
|
|
|
|
65. |
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
¯ |
0 |
|
1 0 : : : |
|
|
0 |
¯ |
|
|
|
¯ .. |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
.. |
|
|
¯ |
||||||||||||
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
0 |
|
0 0 : : : |
|
|
0 1 |
¯ |
|
|
¯ |
.. |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|||||||||||||||
|
¯ |
1 |
¡0 0 : : : |
|
|
0 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
1 1 1 : : : n |
¯ |
||||||||||||||||||||||
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
0 |
|
0 0 : : : |
|
|
1 0 |
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
|||||||||||||||||||||||
|
¯ |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
||||||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ
Найдите обратные матрицы через алгебраические дополнения их элементов |
µ sin x |
¡cos x ¶ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
µ ¡3 |
4 |
¶ |
|
2. |
µ ¡2 |
4 |
¶ |
|
|
3. |
µ |
3 |
¡4 |
¶ |
|
4. |
µ |
4 |
¡3 |
¶ |
|
|
5. |
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
cos x |
|
sin x |
1 |
|||||||
6. |
4 |
0 |
|
5 |
|
7. |
|
4 |
5 |
|
0 |
|
8. |
|
0 |
4 |
2 |
5 |
|
9. |
0 4 |
0 |
5 |
|
10. |
0 |
¡4 |
0 |
0 |
||||||||||||||||
|
|
0 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
@ |
|
1 |
0 |
3 |
|
||
|
@ 3 2 0 A |
|
|
|
|
@ 3 0 1 A |
|
|
|
|
@ 0 0 1 A |
|
|
|
@ 0 2 1 A |
|
|
|
|
0 |
2 1 A |
||||||||||||||||||||||||
Найдите обратные матрицы методом Жордана–Гаусса |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
11. |
0 |
4 |
|
1 |
|
¡3 |
1 |
|
|
|
|
12. |
0 |
¡4 |
0 |
3 |
1 |
|
|
13. |
4 |
¡3 |
0 |
|
|
14. |
4 |
|
0 |
¡3 |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
0 |
|
|||
|
@ 0 |
|
2 |
|
1 A |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
0 A |
|
|
|
|
@ 3 |
|
0 |
1 A |
|
|
|
|
@ 0 ¡2 |
1 A |
||||||||||||||||
15. |
0 |
4 |
|
1 |
|
¡3 |
1 |
|
|
|
|
16. |
0 |
¡4 |
1 |
3 |
1 |
|
|
17. |
0 |
4 |
¡3 |
0 |
1 |
|
|
18. |
0 |
4 |
|
0 |
¡3 |
1 |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
0 |
|
|||
|
@ 0 |
|
2 |
|
1 A |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
2 |
1 A |
|
1 |
|
|
@ 3 |
|
1 |
3 A |
|
1 |
|
|
@ 2 ¡2 |
1 A |
|||||||||||||||||
19. |
0 |
0 |
¡1 ¡1 |
|
0 |
|
20. |
|
0 |
0 |
¡1 |
¡2 |
|
0 |
21. |
0 |
0 |
¡1 ¡2 |
|
1 |
22. |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|||||||||||||||||
|
B |
1 |
|
1 |
0 |
|
0 |
C |
|
|
|
|
B |
1 |
|
2 |
|
0 |
|
0 |
C |
|
|
B |
1 |
|
2 |
1 |
|
0 |
C |
|
|
B |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
C |
|||||
|
0 |
0 0 ¡1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 ¡1 |
|
|
0 0 0 |
¡1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|||
|
@ |
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
A |
|
|
|
|
@ |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
A |
|
|
@ |
0 |
|
0 |
1 |
|
2 |
A |
|
|
@ |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
A |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5
23. |
0 |
¡1 |
3 |
|
0 |
0 |
1 |
24. |
0 |
2 |
¡1 |
|
0 |
0 |
1 |
25. |
0 |
¡1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
26. |
0 |
4 |
¡4 |
|
0 |
0 |
1 |
||
|
B |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
C |
|
B |
1 |
|
0 |
|
0 |
0 |
C |
|
B |
1 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
B |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
C |
|
|
@ |
1 |
2 |
¡ |
1 |
0 |
A |
|
@ |
0 |
|
0 |
|
1 |
8 |
A |
|
@ |
1 |
0 |
3 |
0 |
A |
|
@ |
0 |
0 |
|
1 |
2 |
A |
|
|
B |
1 0 |
|
3 |
2 |
C |
|
B |
0 |
|
0 |
¡0 |
5 |
C |
|
B |
1 |
0 |
¡0 |
3 |
C |
|
B |
0 |
0 |
¡3 |
1 |
C |
||||
27. |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
¡3 |
1 |
28. |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
¡3 |
1 |
29. |
0 |
0 |
1 |
0 |
¡3 |
1 |
30. |
0 |
0 |
3 |
0 |
¡3 |
1 |
||
|
B |
1 |
1 |
3 |
|
0 |
C |
|
B |
|
2 |
1 |
3 |
|
0 |
C |
|
B |
1 |
0 |
3 |
0 |
C |
|
B |
1 |
1 |
3 |
|
0 |
C |
|
|
@ ¡ |
0 |
2 |
|
1 |
A |
|
@ |
¡ |
2 |
0 |
2 |
|
1 |
A |
|
@ |
3 |
0 |
2 |
1 |
A |
|
@ |
0 |
0 |
2 |
|
1 |
A |
||
|
B |
1 |
|
C |
|
B |
|
|
C |
|
B |
C |
|
B |
|
C |
||||||||||||||||
|
1 0 1 |
|
2 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
2 |
|
¡1 0 |
1 |
2 |
|
0 0 0 |
|
2 |
||||||||||||||
Найдите обратные для матриц порядка n |
0 1 2 : : : n ¡ 1 1 |
||||||||||||||||||
|
0 0 |
0 |
|
:: :: :: |
¸2 |
01 1 |
|
0 |
|||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 ¸ |
|
|
|
1 2 |
3 : : : n |
|
|
|||||
|
B |
0 |
¸n 1 |
: : : 0 0 |
C |
|
B |
|
.. |
.. |
|
.. |
|
C |
|||||
31. |
B |
C |
32. |
B |
0 |
. |
|
. . |
|
C |
|||||||||
B |
|
|
|
|
: : : |
|
|
C |
B |
0 |
1 : : : n ¡ 2 |
C |
|||||||
|
B |
|
|
¡ |
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
¸ |
n |
0 |
|
: : : 0 0 |
C |
|
B |
0 0 0 : : : 1 |
|
C |
|||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
C |
||||||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
0 1 |
0 |
1 |
: : : |
1 |
1 1 |
|
0 |
0 |
¡1 |
1 : : : 0 |
0 1 |
|||||||
|
B |
0 |
1 |
1 |
: : : |
1 |
1 |
C |
|
B |
1 |
1 |
0 : : : 0 |
0 |
C |
||||
34. |
1 |
1 |
0 |
: : : |
1 |
1 |
35. |
0 |
0 |
¡1 : : : 0 |
0 |
||||||||
|
B .. .. |
. |
.. |
|
C |
|
B |
|
.. |
.. |
.. |
|
C |
||||||
|
B . |
|
|
. |
|
C |
|
B |
|
. |
|
|
. . |
|
C |
||||
|
B |
1 |
1 |
1 |
: : : |
0 |
1 |
C |
|
B |
0 |
0 |
0 : : : 1 |
1 |
C |
||||
|
B |
C |
|
B |
C |
||||||||||||||
|
B |
1 |
1 |
1 |
: : : |
1 |
0 |
C |
|
B |
0 |
0 |
0 : : : 0 |
¡1 |
C |
||||
|
B |
C |
|
B |
C |
||||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
: : : |
|
1 |
1 |
||
|
|
1 |
1 |
1 |
: : : |
|
1 |
|
|
|
|
B .. |
|
.. |
. |
|
.. |
C |
|||
33. |
B . |
1 |
|
|
. |
C |
||||
B |
0 |
0 |
: : : |
|
1 |
C |
||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
: : : |
|
1 |
C |
||
|
B |
|
C |
|||||||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
: : : |
|
0 |
1 |
||
|
|
1 |
1 |
0 |
: : : |
|
0 |
|
||
36. |
B |
0 |
0 |
1 |
: : : |
|
0 |
C |
||
|
B . |
|
|
|
. |
|
. |
C |
||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
.. .. |
C |
||||
|
B .. |
0 |
C |
|||||||
|
B |
0 |
0 |
: : : |
|
1 |
C |
|||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
При помощи обратных матриц решите матричные уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
37. |
0 |
3 |
4 |
0 |
0 |
1 |
X = |
0 |
5 |
|
9 |
¡1 |
|
0 |
1 |
38. |
X |
|
0 |
0 3 |
2 |
1 |
= |
0 |
¡5 |
6 |
0 |
1 |
|||||
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 0 |
¡ |
|
|
3 |
1 |
4 |
|
|||
|
B |
1 |
2 |
0 |
0 |
C ¢ |
|
|
B |
3 |
|
5 |
0 |
|
1 |
C |
|
|
|
|
¢ |
@ |
0 |
A |
|
B |
¡1 |
2 |
1 |
C |
|||
|
0 0 0 1 |
|
|
0 |
¡3 |
1 |
|
¡0 |
|
|
|
|
0 5 |
4 |
|
2 |
1 |
¡3 |
|||||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
B |
|
¡ |
|
C |
|||
|
@ |
|
|
|
1 |
A |
0 |
|
@ |
|
|
1 |
|
0 |
|
A |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
A |
||||
39. |
0 |
4 |
¡5 |
2 |
|
X |
1 |
1 |
2 |
= |
18 |
12 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
¡3 1 |
|
|
|
|
9 7 6 |
|
|
|
|
2 |
0 ¡2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
@ 5 ¡7 3 A ¢ |
|
¢ @ 1 1 1 A @ 23 15 11 A |
|
|
|
: : : n ¡ 1 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 0 |
1 |
1 |
: : : 1 |
1 |
|
0 0 |
1 0 |
|
: : : 0 1 0 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
40. |
B |
1 |
1 |
1 |
: : : 1 |
C ¢ X ¢ B |
1 |
0 0 |
|
: : : 0 |
= B |
1 |
2 |
3 |
: : : n |
|
C |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
0 |
1 |
:: :: :: |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
:: :: :: |
0 C |
0 |
0 |
1 |
:: :: :: n ¡ 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
B 0 0 0 : : : 1 |
C B |
0 |
0 0 |
|
: : : 1 C B |
0 |
0 |
0 |
: : : 1 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Подумайте, как изменится обратная матрица, если в исходной матрице поменять местами две строки.
Подумайте, как изменится обратная матрица, если в исходной матрице поменять местами два столбца.
6
4ПРАВИЛО КРАМЕРА
Решите системы методом Крамера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2x1 + 3x2 ¡ x3 = 9 |
|
8 |
2x1 + 3x2 ¡ 5x3 = 10 |
|
|
|
|
3x1 ¡ 2x2 |
|
|
|
= ¡3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
8 3x1 ¡ 2x2 |
¡ |
|
|
= ¡1 |
2. |
|
|
|
|
3x2 ¡ 2x3 = 5 |
|
|
3. |
8 2x1 + 3x2 ¡ x3 = 12 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
: |
|
|
+ 3x2 |
x3 |
= 11 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
+ 4x3 |
= 3 |
|
|
|
: |
|
|
¡ |
2x3 |
= 6 |
||||||||||||||||||
|
< 4x1 |
|
|
|
< 7x1 |
|
|
|
|
|
|
|
< 4x1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x1 + 7x2 |
¡ |
x3 = 10 |
|
|
|
2x1 + 3x2 ¡ 6x3 = 11 |
|
|
|
|
x1 ¡ 8x2 |
|
|
|
|
= ¡5 |
||||||||||||||||||||||||||
4. |
8 x1 ¡ 2x2 |
|
|
= 0 |
|
5. |
8 |
|
|
|
|
3x2 ¡ 7x3 = 10 |
|
|
6. |
8 x1 + 3x2 ¡ 5x3 = 11 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
¡ |
x3 = 6 |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
+ 4x3 = 3 |
|
|
|
: |
|
|
¡ |
2x3 |
|
= 5 |
|||||||||||||||
|
< x1 + 3x2 |
|
|
|
|
< 7x1 |
|
|
|
|
|
|
|
< x1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7. 8 x1 |
¡ 5x2 + 2x3 |
= ¡6 |
8. |
8 x1 |
+ 5x2 + 3x3 |
= 5 |
|
9. |
|
8 x1 |
¡ 4x2 + 2x3 |
= 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x1 |
+ 2x2 |
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
x1 |
¡ 2x2 |
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
x1 |
+ 3x2 |
|
|
|
|
= 5 |
||||||||||||||
< x1 + 3x2 |
|
|
x3 |
|
= 5 |
|
|
< x1 |
|
|
3x2 + x3 |
= 1 |
|
|
|
< x1 + 3x2 |
|
|
x3 |
= |
¡6 |
||||||||||||||||||||||
: |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
: |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|||||
Решите системы методом обратной матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x1 + 7x2 ¡ x3 = 3 |
|
|
|
8 |
2x1 + 3x2 ¡ 6x3 = 8 |
|
|
|
|
|
x1 ¡ 8x2 |
|
|
|
= 3 |
||||||||||||||||||||||||||
10. |
8 x1 ¡ 2x2 |
¡ |
|
|
= |
2 |
|
11. |
|
|
|
|
3x2 ¡ 7x3 |
= |
7 |
|
|
12. |
8 x1 + 3x2 ¡ 5x3 |
= |
8 |
||||||||||||||||||||||
|
: |
|
|
+ 3x2 |
x3 |
= 3 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
+ 4x3 |
= 3 |
|
|
|
|
: |
|
|
¡ |
2x3 |
= 5 |
||||||||||||||
|
< x1 |
|
|
|
|
|
< 7x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< x1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
13. |
8 x1 |
¡ 5x2 + 2x3 |
= |
|
5 |
14. |
8 x1 |
+ 5x2 + 3x3 |
= |
|
3 |
15. |
|
8 x1 |
¡ 4x2 + 2x3 |
= |
¡3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x1 |
+ 2x2 |
|
|
|
|
= 4 |
|
|
|
|
x1 |
¡ 2x2 |
|
|
|
= ¡1 |
|
|
|
x1 |
+ 3x2 |
|
|
|
|
= 6 |
|||||||||||||||
|
< x1 |
+ 3x2 |
|
|
x3 |
= |
¡6 |
|
|
< x1 |
|
|
|
3x2 + x3 |
= |
|
3 |
|
|
< x1 + 3x2 |
|
|
x3 |
= 7 |
|||||||||||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
: |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|||||
Решите системы методом обратной подстановки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
16. |
8 |
3x1 |
|
2x2 |
¡ |
|
= |
|
1 |
17. |
8 |
|
|
|
|
|
3x2 |
|
¡ |
2x3 |
= |
|
|
5 |
18. |
|
2x1 |
+ 3x2 |
|
|
x3 |
= |
12 |
||||||||||
|
< |
2x1 |
+ 3x2 |
|
|
x3 |
= 9 |
|
|
< |
2x1 + 3x2 |
|
|
5x3 |
= 10 |
|
|
< |
3x1 |
¡ 2x2 |
¡ |
|
= ¡3 |
||||||||||||||||||||
|
4x1 ¡ |
|
|
|
|
|
|
= |
¡4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ 4x3 |
= |
|
|
4 |
|
|
4x1 |
|
|
|
= 4 |
|||||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19. |
8 |
2x1 |
|
3x2 |
¡ |
|
= |
1 |
|
20. |
8 |
2x1 |
|
|
|
3x2 |
|
4x3 |
= |
|
7 |
21. |
8 |
5x1 |
+ 3x2 |
|
|
x3 |
= |
19 |
|||||||||||||
|
< |
3x1 |
+ 2x2 |
|
|
x3 |
= 9 |
|
|
< |
+ 5x2 |
¡ 3x3 |
= 10 |
|
|
< |
3x1 |
¡ 4x2 |
|
¡ |
= 5 |
||||||||||||||||||||||
|
3x1 ¡ |
|
|
|
|
|
|
= 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ 3x3 |
= |
|
3 |
|
|
2x1 |
|
|
|
= 6 |
|||||||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решите системы методом исключения Гаусса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
22. |
8 |
3x1 |
¡ 2x2 |
¡ x3 |
= |
|
7 |
23. |
8 |
|
|
|
|
|
3x2 |
¡ 2x3 |
= |
¡5 |
24. |
2x1 |
+ 3x2 ¡ x3 |
= |
8 |
||||||||||||||||||||
|
< |
2x1 |
+ 3x2 |
= ¡5 |
|
|
< |
2x1 + 3x2 |
¡ 5x3 |
= ¡6 |
|
|
< |
3x1 |
¡ 2x2 |
|
|
|
= 9 |
||||||||||||||||||||||||
|
4x1 + 3x2 |
|
|
x3 |
= |
|
3 |
|
|
7x1 |
|
|
|
|
|
+ 4x3 = 11 |
|
|
4x1 |
|
2x3 |
|
= |
¡2 |
|||||||||||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x1 + 7x2 ¡ x3 = ¡6 |
|
|
|
< |
2x1 + 3x2 ¡ 6x3 = ¡7 |
|
|
|
x1 ¡ 8x2 |
2x3 |
= 11 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
< x1 |
+ 3x2 |
|
|
x3 |
= 2 |
|
|
|
7x1 |
|
|
3x2 |
|
+ 4x3 |
= 11 |
|
|
< x1 |
|
|
= 1 |
|||||||||||||||||||||
25. |
8 x1 |
¡ 2x2 |
¡ |
|
|
= |
4 |
|
26. |
8 |
|
|
|
|
|
¡ 7x3 |
= |
¡10 |
27. |
8 x1 + 3x2 ¡ 5x3 |
= |
¡5 |
|||||||||||||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x1 + 2x2 |
|
|
x3 |
= ¡1 |
|
|
|
|
x1 ¡ 2x2 |
+ x3 |
= 5 |
|
|
|
|
x1 + 3x2 |
|
|
x3 |
= ¡1 |
|||||||||||||||||||||
|
< x1 |
+ 3x2 |
|
|
= 3 |
|
|
|
< x1 |
|
|
|
3x2 |
= 7 |
|
|
|
< x1 |
+ 3x2 |
|
|
= 2 |
|||||||||||||||||||||
28. |
8 x1 |
¡ 5x2 |
+ 2x3 |
= |
|
8 |
29. |
8 x1 |
+ 5x2 |
+ 3x3 |
= |
1 |
|
30. |
|
8 x1 |
¡ 4x2 |
+ 2x3 |
= |
8 |
|||||||||||||||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
: |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
¡ |
|
|
|
¡ |
||||||
7
5РАНГ МАТРИЦЫ
Найдите ранг матрицы прямым перебором ее миноров |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
¡4 ¡2 |
|
2 1 |
|||||||||||||||||||||||
1. |
0 0 |
2 |
0 2 |
1 |
0 1 |
2. |
0 1 |
¡2 ¡1 4 |
¡5 ¡1 1 |
3. |
2 |
|
4 |
|
||||||||||||||||||||
|
B |
1 |
0 |
3 0 |
0 |
2 |
C |
|
|
B |
1 |
1 |
|
3 2 |
|
1 |
2 |
C |
|
B |
1 |
|
2 |
¡2 ¡1 |
|
1 |
C |
|||||||
|
0 2 |
¡6 2 |
1 |
2 |
|
|
0 |
3 |
|
4 2 |
|
6 |
3 |
|
¡3 |
¡6 |
|
6 |
3 |
¡3 |
||||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
¡ |
|
C |
|
|
B |
|
|
¡ |
|
|
|
|
¡ |
C |
|
B |
|
|
|
¡ ¡ |
|
|
C |
||||
|
@ |
1 |
0 |
3 |
0 |
0 |
A |
|
|
@ |
2 |
1 |
2 |
6 |
|
4 |
A |
|
@ |
1 |
|
2 |
|
1 |
A |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
||||||||||||||
Найдите ранг матрицы путем приведения ее к треугольному виду |
2 1 |
|
0 1 |
¡1 |
|
1 1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
0 1 |
¡1 |
1 1 |
|
0 1 ¡1 |
|
1 |
2 1 |
|
|
0 1 ¡1 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
B |
1 |
|
0 |
1 |
C |
|
B |
1 |
|
0 |
|
1 |
2 |
C |
|
|
B |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
C |
|
B |
1 |
0 |
|
1 |
C |
|||
|
B 0 |
|
2 |
4 C |
|
B 0 |
|
2 |
|
4 |
2 C |
|
|
B 0 |
2 |
2 |
|
2 C |
|
B 0 |
2 |
|
4 C |
|||||||||||
4. |
B |
0 |
|
2 |
2 |
C |
5. |
B |
0 |
|
2 |
|
2 |
0 |
C |
|
6. |
B |
0 |
2 |
2 |
|
2 |
C |
7. |
B |
0 |
2 |
|
2 |
C |
|||
1 |
|
0 |
¡0 |
1 |
|
0 |
¡0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
¡1 |
1 |
0 |
¡3 |
||||||||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
C |
|||
|
B |
1 |
¡ |
2 |
4 |
C |
|
B |
1 |
¡ |
2 |
|
4 |
2 |
C |
|
|
B |
1 |
¡ ¡ |
|
1 |
C |
|
B |
1 |
¡ |
|
4 |
C |
||||
|
B |
|
C |
|
B |
|
|
C |
|
|
B |
2 |
3 |
¡ |
C |
|
B |
2 |
¡ |
C |
||||||||||||||
|
@ |
|
|
|
¡ |
A |
|
@ |
|
|
|
¡ ¡ |
A |
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
|
A |
|||||||
При каких значениях параметров a и b ранг следующих матриц минимален и при каких максимален?
8. |
0 |
0 |
2 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
9. |
0 |
1 |
2a |
b ¡ 1 |
5 |
¡1 |
1 |
10. |
0 |
2 |
4 |
¡4 |
¡2 |
2 |
1 |
||
|
B |
1 |
0 |
3 |
0 |
0 |
2 |
C |
|
B |
1 |
¡1 |
|
3 |
¡1 |
2 |
C |
|
B |
1 |
2 |
¡2 |
¡1 |
1 |
C |
|
|
0 2 |
¡6 |
2 |
a |
|
b |
|
0 |
3 |
|
4 |
6 |
3 |
|
¡3 |
¡6 |
6 |
3 |
¡3 |
|||||||
|
B |
|
|
|
|
|
¡ |
|
C |
|
B |
|
|
¡ |
|
|
¡ |
C |
|
B |
|
|
¡ ¡ |
|
C |
|
|
@ |
1 |
0 |
3 |
0 |
2 |
A |
|
@ |
2 |
1 |
2 |
4 |
A |
|
@ |
|
2 |
1 |
A |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
a |
b + 2 |
1 |
|
||||||||||||
6ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Найдите фундаментальные системы решений следующих однородных систем линейных уравнений. Как связано число решений в этих системах с числом их неизвестных и рангом матрицы их коэффициентов? Результаты расчетов проверьте прямой подстановкой
|
½ |
|
|
x2 |
¡ x3 ¡ 2x4 |
|
= 0 |
|
½ |
|
|
|
x2 ¡ |
|
¡ 3x4 |
|
¡ x5 |
+ 2x6 |
= 0 |
||||||||||||||
1. |
|
x1 |
+ x2 |
¡ 2x3 |
|
¡ 3x5 = 0 |
2. |
|
x1 + x2 |
|
3x3 |
|
|
|
¡ 3x5 |
+ x6 |
= 0 |
||||||||||||||||
3. |
½ |
x1 + x2 ¡ 2x3 + x4 ¡ 5x5 = 0 |
4. |
½ |
x1 + x2 ¡ 2x3 + x4 ¡ 3x5 + x6 = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4x2 ¡ x3 |
|
¡ 6x5 = 0 |
|
2x1 ¡ 4x2 ¡ 3x3 + 2x4 ¡ 2x5 |
|
|
= 0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
x1 + x2 |
|
¡ |
2x3 |
|
|
¡ 3x5 = 0 |
|
|
x1 + x2 |
|
3x3 |
|
|
|
|
¡ |
3x5 + x6 = 0 |
||||||||||||||
5. |
8 x1 ¡ 2x2 |
x3 |
+ x4 + x5 = 0 |
6. |
8 x1 |
|
3x2 |
¡ x3 + x4 |
|
|
|
¡ x6 = 0 |
|||||||||||||||||||||
|
< |
|
|
x2 |
|
¡ |
¡ |
2x4 |
|
= 0 |
|
< |
|
|
¡ x2 |
¡ |
¡ |
3x4 |
¡ |
|
x5 + 2x6 = 0 |
||||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x1 + x2 |
|
¡ 2x3 + x4 ¡ 5x5 = 0 |
|
|
x1 + x2 |
|
¡ |
2x3 + x4 ¡ 3x5 + x6 = 0 |
|||||||||||||||||||||||
7. |
8 x1 |
¡ |
3x2 |
¡ |
x3 + 2x4 + x5 = 0 |
8. |
8 x1 |
|
¡ |
5x2 |
x3 |
+ x4 + x5 |
¡ |
x6 = 0 |
|||||||||||||||||||
|
< |
|
4x2 |
x3 |
|
|
¡ |
6x5 = 0 |
|
< |
2x1 |
4x2 |
¡ |
3x3 |
+ 2x4 |
¡ |
2x5 |
|
= 0 |
||||||||||||||
|
: |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
8 |
x1 + x2 |
|
|
|
+ x4 |
|
= 0 |
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
3x3 |
|
|
|
|
|
|
¡ x5 |
|
|
= 0 |
||||||
9. |
|
|
2x2 |
¡ x3 |
+ x4 |
+ 3x5 = 0 |
10. |
8 x1 |
¡ |
3x2 |
¡ |
x3 |
|
+ x4 |
|
+ 2x5 |
¡ |
|
x6 = 0 |
||||||||||||||
|
> x1 |
|
x2 |
|
+ x3 |
|
|
|
3x5 = 0 |
|
> |
|
|
x2 |
¡ |
x3 |
|
|
2x4 |
|
|
|
x5 |
|
= 0 |
||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
¡ |
|
|
¡ 2x3 ¡ 2x4 |
¡ |
= 0 |
|
< |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|||||
|
> x1 |
|
|
|
|
|
> x1 + 3x2 ¡ 5x3 + 2x4 ¡ 4x5 + x6 = 0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
> |
x1 + x2 |
|
2x3 |
|
2x4 |
¡ 3x5 = 0 |
||||
|
|
¡ x2 |
|
3x3 |
|
|
|
= 0 |
|||
|
> |
|
|
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
11. |
< |
|
|
2x2 |
|
|
+ x5 = 0 |
||||
8 x1 |
|
¡ |
|
+ x4 |
|||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
¡ x3 |
|
|
¡ x5 = 0 |
|||
|
> x1 |
|
|
|
|
||||||
|
> |
x1 + x2 |
¡ 2x3 |
¡ |
|
¡ 3x5 = 0 |
|||||
|
8 x1 |
¡ 2x2 |
|
|
+ x4 |
+ x5 = 0 |
|||||
|
> |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
x2 |
+ 3x3 |
|
x4 |
|
|
= 0 |
||
13. |
> |
|
|
|
|
|
|||||
> |
|
|
2x |
|
|
+ 2x + x = 0 |
|||||
|
> x |
|
|
|
|||||||
|
> |
1 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
||||
|
> |
|
|
x2 |
|
3x3 |
|
2x4 |
|
|
= 0 |
|
> x1 |
|
x2 |
¡ |
x3 |
¡ |
|
|
x5 = 0 |
||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x1 + x2 |
¡ 2x3 |
+ x4 ¡ 3x5 |
||||||||
|
> x1 + x2 |
|
2x4 |
|
x5 |
|||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
8 |
|
|
|
3x2 |
¡ |
x3 |
¡ |
|
+ x5 |
||
|
< |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
¡ x3 |
¡ 3x4 |
|
|
|
||
|
> x1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
8 |
x1 + x2 |
|
|
+ x4 ¡ 3x5 |
|||||||
|
|
|
|
3x2 ¡ x3 |
|
|
+ x5 |
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
< |
|
|
|
x2 |
|
2x3 |
|
2x4 |
x5 |
||
|
> x1 |
¡ |
¡ |
¡ |
¡ |
|||||||
14. |
> |
|
|
|
|
|
|
|
||||
> |
|
|
+ 2x |
|
|
+ x |
|
3x |
|
|||
|
> x |
|
|
|
|
|
||||||
|
> |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
> |
|
|
|
3x |
|
x3 |
|
|
+ x5 |
||
|
> x1 |
|
x22 |
¡ |
x3 |
|
3x4 |
|
|
|
||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
¡ |
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 0
¡x6 = 0
=0
+ 2x6 = 0
= 0
¡x6 = 0
=0
=0
¡x6 = 0 + 2x6 = 0
Постройте несколько однородных систем из трех-четырех линейных уравнений по их заданной фундаментальной системе решений
15.x¹1 = (1; ¡1; 0; 2; ¡1; 0); x¹2 = (1; 1; 0; 1; ¡1; 1); x¹3 = (0; ¡1; 2; 2; ¡1; ¡1)
16.x¹1 = (1; ¡1; 0; 2; ¡1; 0; 1); x¹2 = (1; 2; 0; 1; ¡1; ¡2; 0); x¹3 = (1; 0; 1; 2; ¡1; 3; 0)
17.x¹1 = (2; ¡1; 0; 1; ¡1; 3); x¹2 = (1; ¡1; 0; 2; ¡2; ¡1); x¹3 = (0; 1; ¡3; 3; ¡1; 0)
Опираясь на теорему Кронекера Капелли, выясните, совместны или нет следующие системы линейных уравнений
18. |
x1 + x2 |
¡ 2x3 + x4 ¡ 5x5 = 0 |
19. |
½ |
x1 |
+ x2 |
¡ 2x3 + x4 |
¡ 3x5 + x6 = 1 |
|||||||||||||||||
|
½ |
|
|
4x2 ¡ x3 |
|
¡ 6x5 = 1 |
|
2x1 ¡ 4x2 ¡ 3x3 + 2x4 ¡ 2x5 |
|
= 2 |
|||||||||||||||
20. |
8 x1 |
¡ 2x2 |
¡ 2x3 |
+ x4 |
+ x5 |
= 0 |
21. |
8 x1 |
¡ 3x2 |
¡ x3 + x4 |
¡ |
3x5 |
¡ x6 |
= 0 |
|||||||||||
|
< |
x1 |
+ x2 |
|
2x4 |
¡ 3x5 |
= 2 |
|
< |
x1 |
+ x2 |
¡ 3x3 |
|
3x4 |
|
+ x6 |
= 1 |
||||||||
|
|
|
x2 |
|
x3 |
|
|
|
= 0 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x5 + 2x6 = 1 |
|||||||
|
: |
|
|
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
> |
x1 + x2 |
¡ 2x3 |
|
2x4 |
¡ 3x5 = 3 |
|
|
x1 + x2 |
¡ 2x3 |
+ x4 ¡ 3x5 |
¡ |
|
= 2 |
|||||||||||
|
|
¡ x2 |
|
3x3 |
|
|
|
= 2 |
|
> x1 + x2 |
|
2x4 |
|
x5 |
|
= 0 |
|||||||||
|
> |
|
|
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
¡ |
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
22. |
< |
|
|
2x2 |
|
|
+ x5 |
= 3 |
23. |
< |
|
|
3x2 |
x3 |
|
|
|
x6 |
= 2 |
||||||
8 x1 |
|
¡ x3 |
+ x4 |
8 |
|
|
|
|
|
+ x5 |
|
||||||||||||||
|
> x1 |
|
|
|
|
¡ x5 |
= 0 |
|
> x1 |
|
|
¡ x3 ¡ 3x4 |
|
|
+ 2x6 = 1 |
||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
x1 + x2 |
¡ 2x3 |
|
|
¡ 3x5 = 1 |
|
: |
x1 + x2 |
|
|
+ x4 ¡ 3x5 |
|
|
= 0 |
||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
+ 3x3 |
¡ |
x4 |
|
|
= 0 |
|
> x1 |
¡ |
x2 |
¡ |
2x3 |
¡ |
2x4 |
¡ |
x5 |
|
|
= 0 |
|||
|
> |
|
¡ 2x2 |
|
|
|
+ x5 |
= 1 |
|
> |
|
3x2 |
|
|
|
¡ x6 |
= 2 |
||||||||
|
8 x1 |
|
|
+ x4 |
|
8 |
|
|
¡ x3 |
|
|
+ x5 |
|||||||||||||
|
> |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
24. |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
> |
|
|
2x |
|
|
+ 2x + x = 2 |
> |
|
|
|
|
|
+ x |
|
3x |
|
|
= 0 |
|||||||
|
> x |
|
|
|
|
> x + 2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
> |
1 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
> |
1 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
> |
¡ |
¡ |
|
|
¡ |
|
|
> |
¡ |
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
> |
|
|
x2 |
¡ 3x3 |
¡ 2x4 |
|
|
= 0 |
|
> |
|
|
3x2 |
|
x3 |
|
|
+ x5 ¡ x6 = 1 |
||||||
|
> x1 |
|
x2 |
|
x3 |
|
|
|
x5 = 3 |
|
> x1 |
|
x2 |
¡ |
x3 |
|
3x4 |
|
|
+ 2x6 = 0 |
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опираясь на теорему Кронекера Капелли, выясните, при каких значениях параметров a и b совместны следующие системы линейных уравнений
|
8 |
x1 + x2 |
|
|
+ x4 |
|
= 0 |
|
|
x1 |
¡ 3x3 |
|
|
¡ x5 |
|
|
= 2 |
||||
26. |
|
|
2x2 |
¡ x3 + x4 |
+ 3x5 = 1 |
27. |
8 x1 ¡ 3x2 |
¡ x3 |
+ x4 |
+ 2x5 ¡ x6 = a |
|||||||||||
|
> x1 |
|
x2 |
+ x3 |
|
|
3x5 = a |
|
> |
x2 |
|
x3 |
|
2x4 |
|
x5 |
|
|
= b |
||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
¡ |
|
¡ 2x3 ¡ 2x4 |
¡ |
= b |
|
< |
|
¡ |
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
||
|
> x1 |
|
|
|
|
> x1 + 3x2 ¡ 5x3 + 2x4 ¡ 4x5 + x6 = 0 |
|||||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x2 |
|
2x3 |
|
¡ 3x5 = 0 |
|
8 |
x1 + x2 |
|
|
+ x4 |
¡ 3x5 |
|
|
= 0 |
|||||
28. |
8 x1 |
¡ |
2x2 |
¡ |
3x3 |
+ x4 |
+ x5 = 1 |
29. |
3x2 |
¡ |
x3 |
|
2x4 |
+ x5 |
¡ |
x6 |
= a |
||||
|
> |
|
x2 |
|
2x4 |
|
= a |
|
> x1 + x2 |
2x3 |
|
|
x5 |
|
= b |
||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
¡ |
|
¡ |
¡ x5 = b |
|
< |
|
¡ |
|
¡ |
|
¡ |
|
+ 2x6 = 1 |
|||
|
> x1 |
|
|
¡ x3 |
|
|
> x1 |
¡ x3 |
¡ 3x4 |
|
|
||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Найдите общее решение следующих неоднородных систем линейных уравнений. Результаты проверьте прямой подстановкой в уравнения системы
|
½ |
|
|
4x2 |
¡ x3 |
|
¡ 6x5 |
= ¡4 |
|
|||||
30. |
|
x1 |
+ x2 |
¡ 2x3 |
+ x4 ¡ 5x5 |
= |
0 |
|
||||||
|
|
x1 + x2 ¡ 2x3 |
|
|
¡ 3x5 = 3 |
|||||||||
32. |
8 x1 |
¡ |
2x2 |
|
x3 |
+ x4 + x5 |
|
= |
2 |
|||||
|
< |
|
x2 |
¡ |
¡ |
2x4 |
|
|
|
= |
¡2 |
|||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x1 + x2 |
¡ |
2x3 + x4 ¡ 5x5 = 6 |
||||||||||
34. |
8 x1 |
¡ |
3x2 |
x3 |
+ 2x4 + x5 |
|
= 1 |
|||||||
|
< |
|
4x2 |
¡ |
x3 |
|
|
¡ |
6x5 = 6 |
|||||
|
: |
x1 + x2 |
¡ |
|
+ x4 |
|
|
= |
1 |
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
||||||||
36. |
8 |
|
|
2x2 |
¡ x3 |
+ x4 |
+ 3x5 |
= |
4 |
|||||
|
> x1 |
¡ |
x2 |
+ x3 |
|
|
¡ |
3x5 |
= |
¡ |
3 |
|||
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
¡ 2x3 |
¡ 2x4 |
|
|
|
= 3 |
||||
|
> x1 |
|
|
|
|
|
||||||||
38. |
8 x1 |
|
2x2 |
¡ |
2x3 |
+ x4 |
+ x5 |
|
= 2 |
|||||
|
> |
x1 |
+ x2 |
|
|
|
¡ 3x5 |
= 0 |
||||||
|
< |
|
¡ x2 |
¡ |
3x3 |
¡ |
2x4 |
|
|
|
= 3 |
|||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
¡ x3 |
|
|
¡ x5 |
|
= 1 |
||||
|
> x1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
> |
x1 + x2 |
¡ 2x3 |
|
|
¡ 3x5 = 0 |
||||||||
40. |
< |
|
|
2x2 |
¡ |
|
¡ |
|
+ x5 |
|
= 1 |
|||
8 x1 |
¡ |
|
3x3 |
+ x4 |
|
|||||||||
|
> |
|
x2 |
|
|
2x4 |
¡ x5 |
|
= a |
|||||
|
> x1 |
|
|
¡ x3 |
|
|
|
= b |
||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
½ 2x1 |
¡ 4x2 |
|
¡ 3x3 |
+ 2x4 |
¡ 2x5 |
|
|
|
= ¡1 |
|||||||||||||||
31. |
|
|
x1 |
+ x2 |
|
¡ 2x3 |
+ x4 |
|
¡ 3x5 |
+ x6 |
= |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
x1 + x2 ¡ 3x3 |
|
|
|
|
|
¡ |
3x5 + x6 = 3 |
|||||||||||||||
33. |
8 x1 ¡ 3x2 ¡ x3 + x4 |
|
|
|
¡ x6 |
= |
1 |
||||||||||||||||||
|
< |
|
x2 |
|
|
|
|
|
¡ |
3x4 |
|
¡ |
x5 + 2x6 |
= |
¡ |
2 |
|||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x1 + x2 |
|
¡ |
2x3 + x4 ¡ 3x5 + x6 = 3 |
|
|||||||||||||||||||
35. |
8 x1 |
5x2 |
|
x3 + x4 |
|
+ x5 |
|
|
x6 = 2 |
|
|||||||||||||||
|
< |
2x1 |
¡ 4x2 |
¡ |
3x3 + 2x4 |
¡ |
2x5 ¡ |
|
|
= 5 |
|
||||||||||||||
|
: |
|
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
> |
2x1 |
|
|
|
|
3x3 |
|
|
|
|
|
¡ x5 |
|
|
|
= 5 |
||||||||
37. |
8 x1 |
3x2 |
¡ |
x3 + x4 |
+ 2x5 |
¡ |
x6 = 1 |
||||||||||||||||||
|
> |
|
¡ x2 |
|
¡ |
x3 |
¡ |
2x4 |
¡ |
x5 |
|
= 1 |
|||||||||||||
|
< |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
+ 3x2 ¡ 5x3 + 2x4 ¡ 4x5 + x6 = 7 |
||||||||||||||||||||||
|
> x1 |
||||||||||||||||||||||||
39. |
8 |
|
|
3x2 |
|
|
|
x3 |
+ x4 |
+ x5 |
|
|
x6 |
= 2 |
|
||||||||||
|
> |
x1 + x2 |
¡ |
|
|
|
¡ 3x5 |
¡ |
|
|
|
= 1 |
|
||||||||||||
|
> x1 + x2 |
2x3 |
¡ |
|
2x4 |
¡ |
|
x5 |
|
|
|
= 3 |
|
||||||||||||
|
< |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
¡ x3 ¡ 3x4 |
|
|
|
|
|
+ 2x6 = 0 |
|
|||||||||||||
|
> x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
> |
x1 + x2 |
|
|
|
|
|
+ x4 ¡ 3x5 |
|
|
|
|
= 0 |
|
|||||||||||
41. |
8 |
|
|
3x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
2x4 |
+ x5 |
¡ |
|
x6 |
= a |
|
||||||||
|
> x1 + x2 |
¡ 2x3 |
¡ |
¡ |
|
x5 |
|
|
|
= b |
|
||||||||||||||
|
< |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x6 = 1 |
|
|||||||||||
|
> x1 |
|
¡ x3 ¡ 3x4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Постройте несколько неоднородных систем из трех-четырех линейных уравнений по их частному решению x¹ = (1; ¡1; 2; 0; 1; ¡1) и заданной фундаментальной системе решений
42.x¹1 = (1; ¡1; 0; 2; ¡1; 0); x¹2 = (1; 1; 0; 1; ¡1; 1); x¹3 = (0; ¡1; 2; 2; ¡1; ¡1)
43.x¹1 = (2; ¡1; 0; 2; ¡1; 0); x¹2 = (0; 1; 1; 1; 0; 3); x¹3 = (0; ¡1; 3; 2; ¡1; ¡1)
44. x¹1 = (2; ¡1; 0; 1; ¡1; 3); x¹2 = (1; ¡1; 0; 2; ¡2; ¡1); x¹3 = (0; 1; ¡3; 3; ¡1; 0)
7ВЕКТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Начертите на плоскости (в пространстве) в декартовой системе координат следующие геометрические векторы, а также векторы, им противоположные, и векторы, равные их сумме и произведению на число ¡2
1. |
~x1 |
= (2; ¡1); |
~x2 |
= (1; ¡1) |
2. |
~x1 = (¡1; 0); |
~x2 = (1; 0) |
3. ~x1 = (2; 0); |
~x2 = (¡1; 0) |
4. |
~x1 |
= (1; ¡1); |
~x2 |
= (¡3; 2); |
~x3 = (1; 3) |
5. ~x1 = (2; 6); |
~x2 = (¡7; 0); |
~x3 = (1; ¡2) |
|
6. |
~x1 = (2; ¡1; 0); ~x2 = (0; ¡1; ¡3) |
7. ~x1 = (1; ¡2; 1); ~x2 = (0; 2; ¡1); ~x2 = (¡3; 1; 1) |
|||||||
10