m20

ческие колебания в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.

1.2.4.Модулированные колебания – колебания, параметры которых (амплитуда, фаза, частота, длительность и т. п.) изменяются во времени:

xA(t) cos ω0t φ(t) .

1.2.5.Биения – это периодические изменения амплитуды колеба-

ния, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами. Биение является простейшим видом модулированных колебаний (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Результирующее колебание: x Aб cos t

Амплитуда биения изменяется по закону: Aб 2Acos 2 t .

1.2.6. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний:

x A1 cos(ω0t φ1 ) и

y A2 cos(ω0t φ2 ) .

1.2.7. Уравнение результирующего колебания – уравнение эл-

липса, оси которого ориентированы относительно х и у произвольно:

y 2		x 2		2xy		cos(φ		φ		) sin 2	(φ		φ	).
							2		1			2
A2		A2		A A									1
2	1			1	2

Некоторые частные случаи решений уравнений:

Начальные фазы колебаний одинаковы: φ2 φ1 0 .

Уравнение результирующего колебания – это уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис.1.10а,б):

	y	A2	x или	y	A2	x .
		A1			A1
			11

	а	б	в
		Рис. 1.10
	Начальная разность фаз равна π 2 (рис. 1.10, в). Уравнение ре-

зультирующего колебания – уравнение эллипса с полуосями A1 и A2

(случай эллиптически поляризованных колебаний):

x2 y2 1.

A12 A22

Фигуры Лиссажу – фигуры, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот. В табл.1 приведены несколько фигур Лиссажу для разных соотношений частот колебаний и заданной разности фаз .

							Таблица 1
	ω1				Угол сдвига фаз
	ω2		0°	45°	90°	135°	180°
1:1

1:2

1.3. Влияние внешних сил на колебательные процессы

Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения, и амплитуда колебаний постепенно уменьшается (затухает).

12

Свободными затухающими колебаниями называются колебания,

механическая энергия которых расходуется на работу против диссипативных сил (сил трения).

Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях силы, вызывающие затухание колебаний, пропорциональны величине скорости (например, маятник).

1.3.1. Сила трения (сопротивления):

Fтр rυ ,

где r – коэффициент сопротивления, υ – скорость движения

1.3.2. Второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний:

max kx rυ x ,

где – kx возвращающая сила, rυx – сила трения.

1.3.3. Дифференциальное уравнение свободных затухающих ко-

лебаний:

d2 x	2β	dx	ω2 x 0	;
dt 2		dt	0

решение уравнения:

x A0 exp βt cos(ωt φ) ,

где A0 exp βt – амплитуда затухающих колебаний, ω0 – круговая

частота собственных колебаний, ω – круговая частота свободных затухающих колебаний (рис.1.11, 1.12).

Рис. 1.11

Рис. 1.12

1.3.4. Коэффициент затухания β – физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз:

β 2rm 1τ ,

13

где τ NT – время релаксации – время, в течении которого амплитуда

Ауменьшится в е раз.

1.3.5.Логарифмический декремент затухания χ – физическая величина, обратная числу колебаний , по истечении которых амплитуда

Ауменьшается в е раз:

χ ln	A(t)	βT	1	.
	A(T t)
			N

1.3.6.Частота затухающих колебаний:

ωω02 β2 .

1.3.7.Условный период затухающих колебаний:

T	2π			2π		.

ω ω02 β2

1.3.8.Вынужденные механические колебания – колебания,

происходящие под действием внешней периодической силы. Внешняя периодическая сила, называемая вынуждающей, сооб-

щает колебательной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, происходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или косинуса, то вынужденные колебания будут гармоническими и незатухающими.

1.3.9.Второй закон Ньютона для вынужденных колебаний, происходящих вдоль оси x:

max kx rυx Fx ,

где Fx вынуждающая сила.

1.3.10. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

d2 x	2β	dx	ω2 x F cosωt .
dt2		dt	0	0

1.3.11.Уравнение установившихся вынужденных колебаний:

xAsin(ωt φ) .

1.3.12.Амплитуда вынужденных колебаний:

	A			F0		.
		m	ω2	ω2 2 4β2ω2
			0

Таким образом, A ~ F0 / m и ~ 1/β .

При постоянных F0, m и β амплитуда зависит только от соотношения круговых частот вынуждающей силы ω и свободных незатухающих колебаний системы ω0.

14

1.3.13. Резонанс – явление возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к ωрез

(рис.5.13).

Рис. 1.13

1.3.14. Резонансная частота – частота вынужденных колебаний, при которых наблюдается резкое возрастание амплитуды:

ωрез ω02 2β2 .

1.3.15. Резонансная амплитуда:

Aрез		F0			.
		ω2
	2β		β2
		0

1.4. Электрические колебания

Электрические колебания – электромагнитные колебания в квазистационарных цепях, размеры которых малы по сравнению с длиной электромагнитной волны. Это позволяет не учитывать волнового характера процессов и описывать их как колебания электрических зарядов q (в ёмкостных элементах цепи).

1.4.1. Переменный ток – электрический ток, изменяющийся во времени:

I I0 sin ωt .

1.4.2. Напряжение:

UI0 R sin ωt

1.4.3.Сопротивление R в цепи переменного тока (рис.1.14):

Векторные диаграммы тока и напряжения показаны на рис 1.15.

Колебания тока происходят в одной фазе с напряжением.

15

Рис. 1.14

Рис. 1.15

I I0 sin t

UI0 R sin t U0 sin t

1.4.4.Емкость С в цепи переменного тока (рис. 1.16).

Векторные диаграммы тока и напряжения показаны на рис 1.17.

Амплитуда напряжения на конденсаторе отстает по фазе от амплитуды тока на 2 .

Рис. 1.16 Рис. 1.17

реактивное емкостное сопротивление: RC 1С ; изменение напряжения: UC I0 RC sin( t 2);

ток: I I0 sin t .

1.4.5. Индуктивность С в цепи переменного тока (рис. 1.18).

Векторные диаграммы тока и напряжения показаны на рис 1.19.

Амплитуда напряжения на индуктивности UL IRL опережает по фазе амплитуду тока на 2 .

Рис. 1.18 Рис. 1.19

реактивное индуктивное сопротивление: RL L ; изменение напряжения: UL I0 RL sin( t 2);

ток: I I0 sin t.

16

1.4.6. Сопротивление, емкость и индуктивность при последова-

тельном соединение в цепи переменного тока (рис 1.20).

Общее напряжение U UR UC UL .Так как UR ,UC ,UL отличают-

ся по фазе, то складывать их надо при помощи векторной диаграммы

(рис 1.21).

Рис. 1.20

Рис. 1.21

Полное сопротивление цепи (комплексное сопротивление) Z; изменение напряжения U IZ (закон Ома для переменных токов);

ток: I I0 sin t.

1.4.7. Полное сопротивление цепи или импеданс – представляет комплексное сопротивление для гармонических процессов (рис. 1.22):

Z R iX ,

где R – активное сопротивление, отвечающее за потерю мощности в цепи, X – реактивное сопротивление, определяющие величину энергии пульсирующей в цепи с частотой 2ω .

	U	0			1		2
Z				R2 ωL		.
	I0				ωC

Рис. 1.22

1.4.8. Реактивное сопротивление:

X RL RC ωL ω1C .

17

1.4.9. Закон Ома для цепи переменного тока:

	2		1		2
U0 I 0 R		ωL		.
			ωC

1.4.10. Закон Ома в комплексной форме:

I	E		E			.
				1
	Z
			R i ωL
				ωC

1.4.11. Дифференциальное уравнение свободных (незатухающих)

колебаний в контуре (рис. 1.23):

d2q	ω2q 0	;
dt 2	0

решение уравнения:

q qm cos(ω0t φ) .

Рис. 1.23

1.4.12. Собственная частота контура:

	ω0		1		.
			LC

1.4.13. Формула Томсона – формула, выражающая зависимость периода незатухающих собственных колебаний, возникающих в колебательном контуре, от индуктивности и емкости этого контура:

T2πLC .

1.4.14.Закон Ома для контура:

Um Im CL .

1.4.15. Затухающие колебания. В реальном колебательном контуре свободные электромагнитные колебания будут затухающими из-за потерь энергии на нагревание проводов (рис. 1.24). На рис. 1.25 показан вид затухающих колебаний заряда q и силы тока I.

18

Рис. 1.24

Рис. 1.25

1.4.16. Уравнение затухающих колебаний в колебательном кон-

туре:

		d2q	2β	dq	ω2q 0	;
		dt 2		dt	0
	решение уравнения:

qq0 exp βt cos ωt φ .

1.4.17.Частота затухающих колебаний контура:

						1		R2
		ω ω2		β2					,
		0				LC		4L2
где β	R	– коэффициент затухания.
	2L

1.4.18. Логарифмический декремент затухания – безразмерная характеристика затухающих колебаний, измеряемая натуральным логарифмом отношения двух последовательных максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону:

	A t
			πR			C
χ ln		βT		πR			.
	A t T		Lω			L

1.4.19. Добротность контура – характеристика колебательной системы, определяющая остроту резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в реактивных элементах контура больше, чем потери энергии на активных элементах за один период колебаний:

Q 2π WW πχ πNe .

Чем выше добротность контура, тем больше система совершит колебаний, прежде чем амплитуда колебаний уменьшится в е раз.

1.4.20. Число колебаний за время затухания:

19

Ne Tτ β1T ,

где τ 1 B – время затухания.

1.4.21. Апериодический процесс (рис. 5.26) происходит при

β2 ω2	, т.е. при	R2		1	.
0		4L2		LC

Рис. 1.26

1.4.22. Критическое сопротивление – сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический:

Rк 2CL 2Rвол ,

где Rвол – волновое сопротивление, определяемое параметрами L и С.

1.4.23.Вынужденными электромагнитными колебаниями на-

зывают периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи, происходящие под действием переменной ЭДС от внешнего источника. Внешним источником ЭДС в электрических цепях являются генераторы переменного тока, работающие на электростанциях.

1.4.24.Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

d2 x	2β	dx	ω2 x	Um	cosωt ;
dt 2		dt	0	L

решение данного уравнения:

qqm cos ωt φ .

1.4.25.Амплитуда колебаний заряда:

	qm		Um		.
		ω R2 RL RC 2

1.4.26. Последовательный резонанс или резонанс напряжений

(рис. 5.27) наблюдается когда:

20