m20

3.5.17. Коэффициент прозрачности прямоугольного прозрачного барьера:

		2l
			2m(U E)
D D exp					.
0

61

4. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Физика конденсированного состояния – раздел физики, изучающий поведение сложных систем (то есть систем с большим числом степеней свободы) с сильной связью. Принципиальная особенность эволюции таких систем заключается в том, что её (эволюцию всей системы) не удается «разделить» на эволюцию отдельных частиц. «Разбираться» приходится со всей системой в целом. Как результат, часто вместо движения отдельных частиц приходится рассматривать коллективные колебания. При квантовом описании, эти коллективные степени свободы становятся квазичастицами.

4.1.1. Молярная внутренняя энергия химически простых твер-

дых тел в классической теории теплоемкости:

Uμ 3RT .

4.1.2. Теплоемкость C системы (тела) при постоянном объеме определяется как производная от внутренней энергии U по температуре:

C ddUT .

4.1.3. Закон Дюлонга и Пти – эмпирический закон, согласно которому молярная теплоёмкость твёрдых тел при комнатной температуре близка к 3R:

Cμ 3R .

4.1.4. Закон Неймана – Коппа: молярная теплоемкость химически сложных тел (состоящих из различных атомов):

Cμ n3R ,

где n – общее число частиц в химической формуле соединения.

4.1.5. Среднее значение энергии E квантового осциллятора,

приходящейся на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштейна:

E E0		ω				,
		ω
					1
		exp
		kT

где E0 – нулевая энергия ( E0 1/ 2 ω); ω – круговая частота колеба-

ний осциллятора.

4.1.6. Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна определяется по формуле:

	Uμ Uμ		3R		θE		,
		0		exp(θE / T ) 1
			62

где Uμ0 3 / 2RθE – молярная нулевая энергия по Эйнштейну;

θE ω / k – характеристическая температура Эйнштейна.

4.1.7.Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна при низких температурах (T θE ):

C 3R	θ	E			θ	E
			exp				.
μ	T				T

4.1.8. Частотный спектр колебаний в квантовой теории тепло-

емкости Дебая:

dZ g(ω)dν ,

где g(ω) – функция распределения частот; dZ – число собственных час-

тот тела, приходящихся на интервал частот от ω до ω dω , определяется выражением (для трехмерного кристалла, содержащего N атомов)

dZ gN ω2dω ,

ω3max

где ωmax – максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний.

4.1.9. Энергия U твердого тела связана со средней энергиейE квантового осциллятора и функцией распределения частот g(ω)

соотношением:

ωmax

U E g(ω)dω.

0

4.1.10. Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю:

T

3

θ

D

/T

x

3

U

U

3RT 3

dx ,

μ

μ0

exp(x) 1

θD

0

где Uμ0 9 / 8RθD – молярная нулевая энергия кристалла по Дебаю; θD ωmax – характеристическая температура Дебая.

4.1.11. Молярная теплоемкость кристалла по Дебаю, при низких температурах (T θD ):

		3				3
	12π			T
Cμ
			R		.
	5
				θD

4.1.12. Теплоемкость электронного газа – количество теплоты,

которую необходимо передать электронному газу для того, чтобы повысить его температуру на 1 К. Она намного меньше по величине при высоких температурах, чем теплоёмкость кристаллической решётки:

63

C				π 2	ZR	T	,
	μ	э
			2			θ F

где θ F EF – характеристическая температура Ферми. k

4.1.13. Энергия фонона E (фонон – квазичастица, являющаяся квантом поля колебаний кристаллической решетки):

Ekθ D .

4.1.14.Квазиимпульс фонона:

p2π / λ.

4.1.15.Скорость фонона – групповая скоростью звуковых волн в

кристалле:

u ddEp .

Скорость фонона при малых значениях энергии фонона, когда дисперсией волн можно пренебречь совпадает с групповой скоростью:

u υ E / p .

Скорости продольных υl и поперечных υτ волн в кристалле:

υl E / ρ и			υτ G / ρ ,

где E и G – модули соответственно продольной и поперечной упругости.

4.1.16. Усредненное значение скорости звука υ связано с υl и υ τ

соотношением:

2 1 .

υ3 υ3τ υ3l

4.1.17.Распределение Ферми – Дирака по энергиям для свобод-

ных электронов в металле:

f (ED )				1				,
	E			E
			i		F		1
	exp
				kT

где Ei – энергия электронов; EF – уровень (или энергия) Ферми.

4.1.18. Распределение Бозе – Эйнштейна – формула, описываю-

щая распределение по энергетическим уровням тождественных частиц с нулевым или целочисленным спином при условии, что взаимодействие частиц в системе слабо и им можно пренебречь:

64

f (EE )				1				.
	E			E
			i		F		1
	exp
				kT

4.1.19. Уровень Ферми в металле при Т = 0:

				2	2
	E	F			(3π2n) 3 .
				2m

4.1.20. Температура вырождения T – температура, ниже которой отчётливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц:

		2π 2		2
	T		n 3 .
		km

4.1.21. Удельное сопротивление собственных полупроводников:

ρ enb1 ,

где n – концентрация носителей заряда (электронов и дырок); b – подвижность носителей заряда.

4.1.22. Удельная проводимость собственных полупроводников:

γ en(bn bp ) ,

где bn и bp – подвижности электронов и дырок.

4.1.23. Зависимость электропроводности полупроводника от тем-

пературы:

σ σ0 exp( E / 2kT) .

4.1.24. Напряжение U H на гранях образца при эффекте Холла:

UH RH Bjh ,

где RH – постоянная Холла; В – индукция магнитного поля; h – ширина

пластины; j – плотность тока.

4.1.25. Уровень Ферми в собственном полупроводнике:

EF 2E .

4.1.26. Удельная проводимость собственных полупроводников:

		E
γ γ0 exp			.
		2kТ

4.1.27. Правило Стокса для люминесцентного излучения – длина волны люминесценции дольше длины волны возбуждающего люминесценцию света:

hv hvлюм E .

65

4.1.28. Молярный объем кристалла:

Vμ M / ρ .

4.1.29.Объем V элементарной ячейки в кристаллах (рис. 4.1, 4.2):

при кубической сингонии: V a3 ;

при гексагональной сингонии V 3a2c / 2 , где а и с – параметры решетки.

для гексагональной решетки при теоретическом значении c 8 / 3a :

V 2a3 .

Рис. 4.1

Рис. 4.2

4.1.30. Число элементарных ячеек в одном моле кристалла:

Zμ Vμ /V , или

Zμ kNA / n ,

где k – число одинаковых атомов в химической формуле соединения; n – число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку.

4.1.31. Число Z элементарных ячеек в единице объема кристалла:

Z Zμ /Vμ ,

в общем случае:

Zρ kn NMA ;

для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (k = 1):

Z ρ nMN A .

4.1.32. Параметр а кубической решетки:

	a 3 nM /(kρN					A	) .
	4.1.33. Расстояние d между соседними атомами в кубической ре-
шетке:
	в гранецентричной: d a / 2 ;
в объемно-центрированной: d 3a / 2 .
	66

5. АТОМНАЯ ФИЗИКА.

5.1. Модели атомов. Атом водорода по теории Бора

Развитие исследований радиоактивного излучения, с одной стороны, и квантовой теории – с другой, привели к созданию квантовой модели атома Резерфорда – Бора. Но созданию этой модели предшествовали попытки построить модель атома на основе представлений классической электродинамики и механики. В 1904 г. появились публикации о строении атома, принадлежащие одна японскому физику Х. Нагаока (1865–1950), другая – английскому физику Д. Д. Томсону.

5.1.1 Модели атомов, рассматриваемые в конце XX века Д. Д. Томпсоном, Х. Нагаока и Э. Резерфордом (рис. 5.1).

Рис. 5.1

5.1.2 Атом – сложная система, имеющая сложные атомные спек-

тры (рис.5.3, 5.4).

Рис. 5.2

5.1.3Обобщенная формула Бальмера:

	1		1		1	1			1
v R				или						(k 1, 2, 3,... т k 1, k 2, k 3,...),
			n2			R			n2
k 2					λ	k 2

где v – частота спектральных линий в спектре атома водорода; k определяет серию (т=1, 2, 3, ...); п определяет отдельные линии соответст-

67

		m e4		15		1		7	1
		e
вующей серии (п=k+1, k+2, ...), R			3,29 10		c		; R	1,1 10 м
		8ε02h3
– постоянные Ридберга (рис. 5.1).
	Серия Лаймана k = 1.			Серия Брэкета k = 4.
	Серия Бальмера k = 2.			Серия Пфунда k = 5.
	Серия Пашена k = 3.			Серия Хэмфри k = 6.

Рис. 5.3

5.1.4 Первый постулат Бора (правило квантования орбит или постулат стационарных состояний): электроны движутся только по определенным (разрешенным) орбитам. При этом, даже двигаясь с ускорением они не излучают энергию:

meυr n ,

где те – масса электрона; υ – скорость электрона по n-й орбите радиусом r, n 1, 2, 3, ...– главное квантовое число.

Боровский радиус – радиус первой орбиты водородоподобного атома (рис.3.17).

5.1.5 Второй постулат Бора (правило частот): излучение и поглощение энергии в виде кванта света (hv) происходит лишь при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Величина светового кванта равна разности энергий тех стационарных состояний, между которыми совершается скачек электрона (рис.5.4):

hv En Em .

где En и Em – энергии электрона в двух стационарных состояниях, ν – частота фотона. При Em En происходит излучение фотона, при Em En

– его поглощение.

68

Рис. 5.4

5.1.6Уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода:

	2m		e2
ΔΨ
		E			Ψ 0 .
			4πε	0r

5.1.7 Радиусы стационарных орбит (рис. 5.5, 5,6):

	rn	4πε			0	2n2	, (n 1, 2, 3, ...).
		k	0	m Ze2
					e

Рис. 5.5

Рис. 5.6

5.1.8Энергия электрона в водородоподобном атоме:

En	1		m Z 2e4		, (n 1, 2, 3, ...).
			e
	n2		8h2	ε02

Энергетическое состояние, соответствующее значению n 1 называется основным или нормальным (невозбужденным) состоянием. Все состояния с n 1называются возбужденными.

5.1.9Энергия испускаемого кванта:

69

hv En E m	mee4		1		1
						.
	8h2ε02				m2
		n2

5.1.10 Энергия ионизации атома водорода:

Ei E1 mee4 .

8h2ε02

5.2. Водородоподобные системы в квантовой механике

Атомные системы являются важнейшими объектами физики, для описания которых следует обязательно использовать законы квантовой механики. При этом существенно, что для такого описания квантовая механика не требует каких-либо дополнительных предположений, условий и постулатов, аналогичных постулатам в теории Бора.

5.2.1. Волновая функция положения электрона в атоме:

						e	r
			1
								.
	Ψ(r)						r1
			πr	3
			1

Постоянная r1 совпадает с радиусом первой боровской орбиты. Следовательно, электронное облако в основном состоянии водорода сферически-симметрично, как показано на рис.5.7.

Рис. 5.7

5.2.2. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1):

	U (r) k		Ze2	,
		0	r

где r – расстояние между электроном и ядром. Графически функция U(r) изображается на рис.5.8 жирной кривой. U(r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

70