Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПП _09 _Многомерные СВ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

515.48 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

P (x2				у1 )= 0 , P(x3														у1 )=							0,03									=			0,75,
																									0,03

																							0,04
Условный закон распределения X :

													X												1													3				5
								P (x							у1 )										0,25													0				0,75
								P (x							у1 )										0,25													0				0,75

								P (x							у2 )														15									0					12
								P (x							у2 )														15									0					12
																											27															27
								P (x						у3 )											0													1				0
								P (x						у3 )											0													1				0

								P (x							у4 )										0														30				14
								P (x							у4 )										0														30				14
																																						44				44
M (x			у1 =1)=1 0,25 +																5 3				=				16					= 4 ,
																			5 3								16

																	4										4
M (x			у2	= 2)=				15			+		5 12								=			75							= 2,(7),
								15					5 12											75
							27						27										27
M (x							27						27										27
			у3 = 4)= 3 1 = 3 ,
			у3 = 4)= 3 1 = 3 ,
M (x			у4	= 5)=			3 30						+			5 14							=						160						= 3,64 .
							3 30									5 14													160

							44										44										44
Условный закон распределения Y :

				Y									1																			2								4				5
				P (y		x1 )											1															15								0				0
				P (y		x1 )											1															15								0				0

													16																			16
				P(y	x2 )								0																			0									25				30
																																													30
																																												55
																																								55				55
																																								55
				P(y	x3 )												3															12								0				14
				P(y	x3 )												3															12								0				14

													29																			29												29
M (y			x1	=1)=1					1			+2								15		=				31						=1,94 ,
									1											15						31

							16										16						16
M (y		x2		= 3)=				4 25					+				5 30						=							250						= 4,55 ,
								4 25									5 30													250

							55										55										55
M (y	x3			= 5)=			3			+			24					+			5 14							=				97					= 3,34 .
							3						24								5 14											97
							29						29								29												29
							29						29								29												29

Видно, что безусловный и условный законы распределения не совпадают, следовательно, случайные величины X и Y зависимы.

3) M (X )= 3,26 , M (Y )= 3,78 .

σx = D(X ) = 1,732 =1,316 , σy = D(Y ) = 1,832 =1,354 .

M (X Y )=1 1 0,01+1 5 0,03 +2 1 0,15 +2 5 0,12 +

+4 3 0,25 +5 3 0,3 +5 5 0,14 = 0,01+0,15 +0,3 +1,2 +

+3 +4,5 +3,5 =12,66.

Корреляционный момент (ковариация):

KXY = M (XY )−M (X )M (Y )=12,66 −3,26 3,78 = 0,337 .

Коэффициент корреляции:

rXY =	KXY	=	0,337	= 0,189 .
			0,316 1,354
	σx σy

Как видно, компоненты скоррелированы слабо, так что если зависимость и есть, то она далека от линейной. 4) Поле распределения и линии регрессии:

На первой диаграмме изображено поле рассеяния двумерной случайной величины (X ,Y ). Размеры кружков

соответствуют вероятности наблюдения соответствующей пары значений (xi , y j ). Как видно из диаграммы,

связь между значениями X и Y имеется, но она далека от линейной.

На второй диаграмме, наряду с полем рассеяния, изображены прямые среднеквадратической регрессии:

Y на X ,	y = my	+ r	σy	(x −mx ) (синяя линия);

			σ
			x

X на Y	x = mx	+ r	σx		(y −my ) (красная линия).
			σ	y
				y
6
5
4
3
2
1
0
0	1				2	3	4	5	6

Так как корреляция между компонентами слабая, линии
существенно различны, но обе отражают тот факт, что
бóльшим значениям X соответствуют бóльшие средние
значения Y и бóльшим значениям Y соответствуют
бóльшие средние значения X (положительный уго на-
клона).
Составьте двумерный закон распределения случайной
величины (X ,Y ), если известны законы распределения
составляющих:
X	100		200	300	400
p	0,2		0,3	0,3	0,2
ПП	Y	2	4		6
9.№2.		0,3	0,4		0,3

и найдите коэффициент корреляции. РЕШЕНИЕ:

Двумерный закон распределения случайной величины

(X ,Y ):

X	100	200		300		400
Y
2	0,2 0,3=	0,3	0,3=	0,3	0,3=	0,2	0,3=
	=0,06	=0,09		=0,09		=0,06
4	0,2 0,4=	0,3	0,4=	0,3	0,4=	0,2	0,4=
	=0,08	=0,12		=0,12		=0,08
6	0,2 0,3=	0,3	0,3=	0,3	0,3=	0,2	0,3=
	=0,06	=0,09		=0,09		=0,06

M (X )=100 0,2 +200 0,3 +300 0,3 +400 0,2 = 250 ,

M (Y ) = 2 0,3 +4 0,4 +6 0,3 = 4

M (X 2 )=10000 0,2 +40000 0,3 +90000 0,3 +160000 0,2 = 73000 ,

M (Y 2 )= 4 0,3 +16 0,4 +36 0,3 =18,4 ,

D (X )= M (X 2 )−(M (X ))2 = 73000 −2502 = 73000 −62500 =10500 ,

D(Y )= M (Y 2 )−(M (Y ))2 =18,4 −16 = 2,4 ,

σx =	D(X ) = 110500 =102,47 , σy =				D(Y ) = 2,4 =1,55 .
M (X Y )= 200 0,06 +400 0,08 +600 0,06 +400 0,09 +
+800	0,12 +1200 0,09 +600 0,09 +1200 0,12 +1800 0,09 +
+800	0,06 +1600 0,08 +2400 0,06 =1000.
Корреляционный момент (ковариация):
	KXY = M (XY )− M (X )M (Y )=1000 −250 4 = 0 .
Коэффициент корреляции:
	rXY =	KXY	=	0		= 0 .
				102,47 1,55
	σx σy

Как видно, компоненты нескоррелированы, что может свидетельствовать как о независимости, так и о существенно нелинейной зависимости компонент.

Поле распределения и линии регрессии:

100

200

300

400

500

Как видно, поле рассеяния симметрично относительно прямых y = M (Y )= 4 и x = M (X )= 250 , параллельных ко-

ординатным осям, которые и являются прямыми среднеквадратической линейной регрессии.

Изменение переменной X не влияет на средние значения Y , и изменение переменной Y не влияет на средние значения X , переменные независимы.

Бросаются две игральные кости. Составьте закон распределения двумерной случайной величины (X ,Y ), ес-

лиX - число очков на первой кости, Y - сумма очков на двух костях.

РЕШЕНИЕ:

ПП9.	Y	X	1		2		3		4		5	6	P(Y)
№3	Y
№3	2			1										1
	2			1										1
			36										36
	3			1		1								1
			36		36								18
	4			1		1		1						1
			36		36		36						12
	5			1		1		1		1			1
				36		36		36		36
				36		36		36		36			9

6	1		1		1		1		1				5
	36	36		36		36		36				36
7	1		1		1		1		1		1	1
	36		36		36		36		36		36
	36		36		36		36		36		36	6
8			1		1		1		1		1		5
		36		36		36		36		36		36
9					1		1		1		1	1
					36		36		36		36
					36		36		36		36	9
10							1		1		1		1
						36		36		36		12
11									1		1		1
								36		36		18
12											1		1
										36		36
P(X)	1	1		1		1		1		1

	6	6		6		6		6		6

Вычислите числовые характеристики распределения двумерной случайной величины (X ,Y ) предыдущей за-

дачи.

M (X )= 16 (1+2 +3 +4 +5 +6)= 3,5 ,

M (Y )= 362 +183 +124 + 95 + 3036 + 76 + 3640 + 99 +1012 +1811 + 1236 = 7 ,

	D(X )=					1	(1+4 +9 +16 +25 +36)−3,52 = 2,917 ,
	D(X )=						(1+4 +9 +16 +25 +36)−3,52 = 2,917 ,
				6
	D (Y )=				4		+		9	+	16	+	25	+36		5	+	49	+64	5		+		81	+

					36						12					36		6		36			9
ПП					36		18				12	9				36		6		36			9
ПП		100		121					144
9.№4.	+	100	+	121				+	144		−49 = 5,833.
9.№4.	+		+					+			−49 = 5,833.
	12			18			36										1
	KXY = M (XY )−M (X )M (Y )															=	1	(1 2 +1 3 +1 4 +1 5 +
	KXY = M (XY )−M (X )M (Y )															=		(1 2 +1 3 +1 4 +1 5 +
																36
	+1 6 +1 7 +2 3 +2 4 +2 5 +2 6 +2 7 +2 8 +3 4 +3 5 +
	+3 6 +3 7 +3 8 +3 9 +4 5 +4 6 +4 7 +4 8 + 4 9 +4 10 +
	+5 6 +5 7 +5 8 +5 9 +5 10 +5 11+6 7 +6 8 +6 9 +6 10 +
	+6 11+6 12 ) −3,5 7 = 2,917.
	Коэффициент корреляции:
									rXY		=	KXY			=		2,917				=		0,707 .
									rXY		=				=						=		0,707 .
												σx σy				2,917 5,833

	13
	12
	11
	10
	9
	8
	7
	6
	5
	4
	3
	2
	1
	0	1	2	3		4	5	6	7
	Синяя линия – регрессия Y на X , красная линия – рег-
	рессия X на Y .
ПП	Случайная величина (X ,Y )				распределена в области D
9.№5.	по закону f (x, y)=a sin(x + y), (x,y) D ,							f (x,y)=0,
	(x,y) D , где				π		π
	(x,y) D , где		D : x 0;			, y 0;	.
					2		2
					17

Найти: 1) параметр распределения a ;

2) мат. ожидания mx , my и

СКО σx , σy ;

3) коэффициент корреляции rXY .

РЕШЕНИЕ: Коэффициент a найдем из уравнения

	π π
	2	2
a∫∫sin(x + y)dxdy =1,
	0	0
	π π							π
	2 2							2							π
a∫∫sin(x + y)dxdy = −a∫cos(x + y)															02 dx =
a∫∫sin(x + y)dxdy = −a∫cos(x + y)															02 dx =
	0	0						0
		π
			2														π
= a∫(sin x +cos x)dx = a(sin x −cos x)																	02	= 2a =1.
																		= 2a =1.

			0						1 sin(x + y),
							f (x,y)	=	1 sin(x + y),
					π π				2			π		π
					π π							π		π
				1	2	2					1	2		2
mx		=		1	∫∫x sin(x + y)dxdy =						1	∫x dx∫sin							(x + y)dy =
				2	0	0					2	0		0
				π						π
=−			1	2			π		1 2							π
			1	2			π		1 2							π
				cos(x + y)			2 xdx =−				cos x +								−cos x xdx =
			2 ∫0				0		2 ∫0							2
			2 ∫0				0		2 ∫0							2
			π
	1		2						1 x (sin x −cos x)											π
=			∫x (sin x + cos x)dx =																	02 −
=			∫x (sin x + cos x)dx =																	02 −
	2		0						2
			π
−	1		∫2 (sin x −cos x)dx =					π	+		1 (sin x + cos x)										0π2 = π .
−	1		∫2 (sin x −cos x)dx =					π	+		1 (sin x + cos x)										0π2 = π .
	2		0					4			2								4
Аналогично и my = π .
						4					π π
											π π
σx2		= M (X 2 )−(M (X ))2						=		1	∫∫2 2		x2 sin(x + y)dxdy −									π2	=
σx2		= M (X 2 )−(M (X ))2						=			∫∫2 2		x2 sin(x + y)dxdy −									16	=
									2		0	0										16

						π								π																												π
				1		2									2																							1				2							π		π		2
=						∫x2 dx									∫sin(x + y)dy = −																											∫x2 cos (x + y)							02 dx −						=

		2																																				2													16
		2				0									0																							2				0									16
						π
		1				2																													π				2					1 x2 (sin x −cos x)							π
=						∫x2 (sin x + cos x)dx −																																				=												−
=						∫x2 (sin x + cos x)dx −																																				=									02			−
		2				0																													16									2
						π
		1				2			(sin x −cos x)dx − π																										2					= π				2	+ x (sin x −cos x)							π
−						∫x																																														02			−


		2																													16												8
		2				0																									16												8
						π
		1				2																								π			2									π	2	+ π +(sin x −cos x)											π
−						∫ (sin x +cos x)dx −																																=																	02 −


		2																												16												8			2
		2				0																								16												8			2
−			π2				=			π2							+		π			− 2 =				π2 +8π −32																			.
−		16					=		16								+		2			− 2 =											16												.
		16							16										2						π2								16
		2																			2				π2			+8π −32
σy					=σxσy												=σx						=																				.
σy					=σxσy												=σx						=							16													.
Найдем ковариацию																														16
Найдем ковариацию																																								π π
																																								π π
KXY						= M (XY )−M (X )M (Y )=																															1			∫2 ∫2			xy sin (x + y)dxdy −							π2	=
KXY						= M (XY )−M (X )M (Y )=																																		∫2 ∫2			xy sin (x + y)dxdy −							16	=
																																			2					0		0								16
					π				π																											π											π
																											2
=		1 ∫xdx∫y sin(x + y)dy − π																											= −1							∫		y cos (x + y)02 − ∫cos											(x + y)dy xdx −
					2				2																										2											π	2
		2 0							0																16							2 0															0
		2 0							0																16							2 0															0

											π
	π2								1 2						π										π															π							π2
−						= −							x						cos			x +						− sin x +															+ sin x dx −					=
−	16					= −			2 ∫0				x				2		cos			x +			2			− sin x +															+ sin x dx −				16	=
	16								2 ∫0								2								2															2							16
							π
					1		2						π																													π	2
= −							∫x		−							sin x −cos x + sin x dx −																												=
= −					2		∫x		−				2			sin x −cos x + sin x dx −																										16		=
					2		0						2																													16
					π
		1 2							π																															π		2
=							x					sin x + cos x − sin x																		dx						−							=
=			2 ∫0				x		2			sin x + cos x − sin x																		dx						−				16			=
			2 ∫0						2																															16
																												π					π
																												π
		1												π																	1 2													π						π2
		1												π														2			1 2													π						π2
=					x sin x −													cos x + cos x											−						sin x −										cos x + cos x dx −						=
=		2			x sin x −										2			cos x + cos x											−		2 ∫0				sin x −									2	cos x + cos x dx −					16	=
																												0										π
																												0
			π					1												π																							π2
			π					1												π																		2					π2
=						−			sin x										−				sin x			− cos x															−				=
=						−			sin x										−				sin x			− cos x															−				=
		4						2													2																	0					16
		4						2													2																	0					16
=		π			−		1	+ π					−			1		−π2				=		8π −16 −π2										.
=		4			−		2	+ π					−		2			−π2				=												.
		4					2		4						2				16							16
Коэффициент корреляции
r					=		K XY						=				8π −16 −π2											= −			0,73686												= −0,24543 .
r					=		σ σ						=															= −			3,00235												= −0,24543 .
XY							σ σ				y					π2 +8π −32															3,00235
								x			y

ПП				Для каждого из четырех приведенных в таблице
9.№6.	наборов данных (X ,Y ) проделайте следующие дейст-
															i	i
	вия.
	1. Найдите числовые характеристики выборок.
	2.			Напишите уравнения линейной регрессии Y на X
						и X на Y .
	3. Постройте диаграммы рассеяния , проведите пря-
						мые линейной регрессии.

		№					X1							Y1	X 2					Y2			X3			Y3	X 4	Y4
		п/п
	1						10					8,040			10			9,140					10			7,460	8	5,210
	2						8					6,950			8			8,170					8			6,760	8	6,050
	3						13					7,580			13			8,740					13		12,750		8	6,750
	4						9					8,820			9			8,770					9			7,110	8	6,245
	5						11					8,330			11			9,260					11			7,810	8	8,465
	6						14					9,960			14			8,100					14			8,840	8	5,970
	7						6					7,240			6			6,110					6			6,100	19	12,495
	8						4					4,260			4			3,119					4			5,390	8	8,790
	9						12					10,830			12			9,135					12			8,140	8	8,260
	10						7					4,810			7			7,220					7			6,420	8	6,370
	11						5					5,680			5			4,735					5			5,730	8	7,890
	Средние
					1 =			1			11
			X					1				∑x1,i =9 = X							2 = X		3 = X4 ,
			X									∑x1,i =9 = X							2 = X		3 = X4 ,
				1				11 i=1
								11
	Y1		=				∑y1,i = 7,500 =Y2 =Y3 =Y4 .
	Y1		=				∑y1,i = 7,500 =Y2 =Y3 =Y4 .
				11 i=1
	Дисперсии
											11
			DX1 =								1			∑i=1 (x1,i − X				1 )2 =10 = DX 2 = DX3 = DX4 ,
			DX1 =								11			∑i=1 (x1,i − X				1 )2 =10 = DX 2 = DX3 = DX4 ,
											11
			DY1 =							1			∑i=1 (y1,i				)2 ≈3,753, DY2 ≈ 3,752 ,
										1					−Y1
										11					−Y1
	DY3 ≈ 3,752 , DY4 ≈3,761.
	Ковариации
											11
			KX1Y1					=				1		∑(x1,i − X				1 )(y1,i						)≈5,000 ,
												1										−Y1
																						−Y1
											11 i=1
			KX Y						≈5,005 , KX Y									≈ 4,994 , KX Y ≈ 4,995.
				2			2								3	3									4	4
	Коэффициенты корреляции

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.2015310.78 Кб31ПП _04 _Теоремы сл и умн_Усл вер.pdf
#
23.02.2015264.15 Кб19ПП _05 _Формула полн вер Байеса.pdf
#
23.02.2015296.9 Кб12ПП _06 _Схема Бернулли.pdf
#
23.02.2015503.45 Кб14ПП _07 _Законы распр и числ хар.pdf
#
23.02.2015262.21 Кб12ПП _08 _Предельные теоремы.pdf
#
23.02.2015515.48 Кб10ПП _09 _Многомерные СВ.pdf
#
23.02.2015364.45 Кб11ПП _11 _Оценки пар расп.pdf
#
23.02.2015501.49 Кб9ПП _12_Проверка_стат_гипотез.pdf
#
09.11.2019112.64 Кб3ПП Введение в специальность -УрФУ.doc
#
23.09.2019464 Кб1пп ответы.docx
#
08.11.20194.69 Mб2ПП_10_Непр_функ_РНМ.doc