ПП _09 _Многомерные СВ

		r	=				KX Y						≈ 0,816 ,
									1 1
		X Y			DX1 DY1
		1 1
rX Y		≈ 0,817 , rX Y							≈ 0,815, rX Y ≈ 0,815 .
2	2		3				3					4			4
Выборочная линейная регрессия Y на X по выборке
(xi ,yi ), i =1,2,...n , определяется уравнением
									+ rXY				DY (x − X					),
y = β0 + β1x =Y
													DX
где выборочные коэффициенты регрессии
		β =		KXY			,		β
										0	=Y − β X						.
		1		DX								1

Аналогично определяется выборочная линейная регрессия X на Y :

							+ rXY			DX		(y −Y				),
	x = β0′ + β1′y = X
										DY
где выборочные коэффициенты регрессии
		′	=	KXY			′					′
		β1		DY	, β0			= X − β1Y .
	β1	0,500			0,500				0,499				0,500
	β0	3,000			2,996				3,007				3,004
	β1′	1,332			1,334				1,331			1,328

β0′ -0,991 -1,004 -0,982 -0,960

Можно заметить, что для всех наборов средние совпадают полностью, а остальные характеристики различаются на доли процента, поэтому линии регрессии будут практически одинаковы для всех наборов данных.

Ниже для всех наборов приведены поля рассеяния и прямые среднеквадратической линейной регрессии.

21

22

Сплошная прямая – регрессия Y на X , штриховая – регрессия X на Y .

Как видно из диаграмм, даже высокое значение коэффициента корреляции не позволяет утверждать, что величины связаны линейной зависимостью и что уравнение регрессии дает (приближенно) вид этой зависимости.

Анализ поля рассеяния позволяет более адекватно оценить ситуацию: если эти утверждения в какой-то мере справедливы для первых трех распределений, то применительно к четвертому распределению они абсолютно неверны. Скорее всего, данные четвертого (и третьего) примера искажены за счет грубой ошибки одного измерения.

Во втором примере более уместно искать связь между Y и X в виде

Y g (X ) =αX 2 + β X +γ

23