Filimonov_KP_TMM

		P=pДm		а
			C*m
		m
		*
3		a		3
		h
1		* e		1
		m
2	)m	h		2
			a
	*			a
	+C
	*
	a
	(h			*
				rm
	0.5pm	0.5pm		f
				б

	Рис. 1. 1
Стандартный исходный контур имеет следующие параметры: α = 20°,					ha* =1,
ρ*f = 0.38 , C* = 0.25.	Высота зуба нарезаемого колеса должна быть не более
h = (2ha* + C * )m = 2.25m .	Основание ножки	исходного	контура сопрягается	с	линией
впадин дугой радиуса	ρ f = ρ*f m = 0.38m ,	где ρ*f —	коэффициент радиуса	кривизны

переходной кривой исходного контура. Исходный производящий и исходный контуры имеют делительные ножки одной формы и размеров. Делительная высота головки производящего контура выше головки исходного контура на C*m . Поэтому делительная прямая 1—1 делит высоту производящего контура h = 2(ha* + C* )m на две равные части.

Прямые, параллельные делительной 1—1, называются начальными (2—2, 3—3 и т. д.). Шаг по любой начальной прямой равен шагу по делительной, но толщина зуба не равна ширине впадины.

В процессе нарезания зубчатого колеса инструментом реечного типа только одна

аб

xm>0

1

1 xm=0

1

1

в

	xm<0
1	1

r

r

r

0

0

0

Рис. 1. 2

окружность будет иметь шаг и модуль, равные шагу и модулю исходного производящего контура рейки. Это делительная окружность, имеющая длину πd = pz =πmz и диаметр d = mz , где z — число зубьев зубчатого колеса.

11

В зависимости от относительного расположения заготовки и зуборезной рейки делительная окружность заготовки может перекатываться без скольжения по делительной либо по одной из начальных прямых (рис. 1.2, а — в) . Расстояние между делительной окружностью нарезаемого колеса и делительной прямой производящего контура называется смещением производящего контура от номинального положения, а отношение смещения к модулю — коэффициентом смещения х. Если смещение равно нулю (рис. 1.2, а) делительная окружность и делительная прямая касаются. При этом нарезается колесо без смещения. Смещение исходного производящего контура может быть положительным (рис. 2.10, б) и отрицательным (рис. 2.10, в). Положительным считают смещение от оси заготовки, отрицательным — в сторону заготовки. Толщина зуба у основания колес, нарезанных с положительным смещением, больше, чем у колес без смещения или нарезанных с отрицательным смещением. Но при чрезмерных положительных смещениях наблюдается заострение зубьев на окружностях вершин, когда толщина на вершинах будет равна нулю. При отрицательных смещениях может произойти подрезание ножки зуба у основания.

1.2. РАСЧЕТ РАЗМЕРОВ ПРЯМОЗУБЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КОЛЕС ВНЕШНЕГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Проектирование эвольвентного зацепления пары колес может вестись при свободном выборе межосевого расстояния и при заданном межосевом расстоянии. В первом случае можно получить оптимальную передачу с наиболее высокими качественными показателями, чем во втором, когда необходимо вписаться в заданные габариты.

Во всех случаях должны быть известны параметры производящего контура. Исходные данные могут быть различными, но они всегда в явной или неявной форме должны включать число зубьев z1 и z2 . При свободном выборе межосевого расстояния возможно выбрать такие коэффициенты смещения, которые более полно будут соответствовать условиям работы передачи.

Выбор рациональных коэффициентов смещения является одной из основных и наиболее сложных задач. От коэффициента смещения зависит форма зуба, наличие или отсутствие подрезания, концентрация, напряжений, т.е. изгибная прочность зуба. С увеличением смещения активный профиль перемещается на участки эвольвенты с большими радиусами кривизны, что приводит к увеличению контактной прочности зуба. С изменением смещения изменяются также скорость скольжения и удельные скольжения, т.е. абразивное изнашивание активных поверхностей зубьев. Увеличение смещения приводит к снижению коэффициента перекрытия и заострению зуба по вершинам.

12

Выбор коэффициентов смещения для устранения подрезания ножки зуба у основания можно производить по формуле xmin = ha* − 0.5z sin2 α , которая для стандартного

исходного контура с параметрами α = 20° и ha* =1 принимает вид: xmin =1− z /17 .

При расчете прямозубых цилиндрических зубчатых колес определяют геометрические параметры, приведенные в таблице 1.1. Угол зацепления αw можно определить не только по формуле, приведенной в таблице 1.1, но и по номограмме (приложение 1), предварительно рассчитав коэффициент B:

B =1000

xΣ

=1000

x1 + x2

.

z

Σ

z

+ z

2

1

Таблица 1. 1

Параметр

Колесо внешнего зацепления z1

Колесо внутреннего

( z2 )

зацепления z3

Делительный диаметр d

d1,2 = m z1,2

d3

= m z3

Основной диаметр db

db1,2

= d1,2 cosα

db3

= d3

cosα

Угол зацепления

2x∑ tgα

2x∑ tgα

прямозубой передачи

invαw =

+ invα

invαw =

+ invα

αw

z1 + z2

z3

+ z2

Делительное межосевое

a = 0.5m(z1 + z2 )

a = 0.5m(z3 − z2 )

расстояние a

Межосевое расстояние

aw = a

+ ym =

a cosα

aw = a + ym

=

a cosα

aw

cosαw

cosαw

Начальный диаметр

dw1 =

2 aw

dw2

=

2 aw

шестерни dw1

U +1

U −1

Начальный диаметр

d w2

=

2

aw U

dw3

=

2

aw U

колеса dw2

U +1

U −1

Коэффициент

aw − a

aw − a

воспринимаемого

y = xΣ − ∆y =

m

y = xΣ − ∆y =

m

смещения y

Коэффициент суммы

xΣ = x1 + x2

смещений xΣ

Коэффициент разности

xd

= x3

− x2

смещений xd

Коэффициент

∆y = x∑ − y

∆y = xd − y

уравнительного

смещения y

Диаметры впадин d

f 1,2

d

f 1,2

= d

1,2

− 2(h* + C

* − x ) m

d

f 3

= d

3

+ 2(h*

+ C *

+ x

3

) m

a

1,2

a

Высота зуба h

h = (2ha* +C* −∆y) m

h = (2ha* +C* −∆y) m

Диаметры вершин

da1,2

= d f 1,2 + 2h

da3

= d f 3 − 2h

зубьев da1,2

Окружной делительный

p =π m

p =π m

шаг p

13

Угловой шаг τ

τ1,2

=

2π

τ3 =

2π

z1,2

z3

Окружная делительная

S1,2 = (π 2 + 2x1,2 tgα)m

S3 = (π 2 − 2x3 tgα)m

толщина зуба S1,2

Начальная окружная

Sw1,2

= dw1,2 (S1,2

d1,2 + invα −invαw )

Sw3

= dw3 (S3 d3 −invα + invαw )

толщина зуба Sw1,2

Угол профиля зуба на

αa1,2

= arccos(db1,2 da1,2 )

αa3 = arccos(db 3 da 3 )

окружности вершин αa

Окружная толщина зуба

Sa1,2

= da1,2 (S1,2 d1,2

+ invα − invαa1,2 )

Sa3

= da3 (S3 d3

− invα + invαa1,2 )

по вершинам Sa1,2

Радиус кривизны

эвольвенты на вершине

ρa1,2

= rb1,2

tgαa1,2

ρa3 = rb3

tgαa3

зуба ρa

Длина линии

g = ρ∑ = aw sinαw

g = ρd

= aw sinαw

зацепления g

Длина активной линии

gα = ρa1 + ρa2 − g

gα = ρa2 − ρa3 + g

зацепления gα

Угол перекрытия ϕα

ϕα1,2

=

gα

ϕα

3 =

g

α

rb1,2

rb3

Коэффициент

ε

=

ϕα1

=

ϕα2

ε

=

ϕα3

перекрытия εα

α

τ

1

τ

2

α

τ

3

Радиус кривизны

эвольвенты в нижней

ρp1,2

= g − ρa1,2

ρp3

= g + ρa3

точке активного

профиля ρp

Радиус кривизны

(h* − x1,2 )m

(h* − x3 )m

эвольвенты в граничной

ρl1,2 = r1,2 sinα −

ρl3 = r3 sinα −

sinα

sinα

точке эвольвенты ρl

Последовательность расчета по формулам, приведенным в таблице 1.1, определяется исходными данными.

В задачу проектирования входит: расчет геометрических размеров зубчатой передачи; расчет контрольных размеров; расчет коэффициента перекрытия и удельных скольжений и оценка проектируемой передачи по геометрическим показателям.

Пример 1: Спроектировать прямозубую эвольвентную зубчатую передачу внешнего зацепления. Колеса нарезаны стандартной рейкой с модулем m=4.5 мм. Число зубьев шестерни z1 =14 , число зубьев колеса z2 = 28 .

Решение.

1.Коэффициенты смещения: x1 = 0.59; x2 = 0.58; x∑ =1.17

2.Делительные диаметры:

d = m z	d1 = m z = 4.5 14 = 63(мм)
	d2 = m z2 = 4.5 28 =126 (мм)

3. Основные диаметры:

14

dB = d cos20°

dB

= 63 cos 20° = 59.2 (мм)

1

=126 cos20° =118.4 (мм)

dB

2

2x∑ tgα

invαw =

+invα =

2 1.17 tg 20°

+ 0.014904 = 0.035182

4.

Угол зацепления:

z1 + z2

14 + 28

′

αw = 26°18 = 26.29°

5.

Делительное межосевое расстояние: a = 0.5m(z1 + z2 ) = 0.5 4.5 (14 + 28)= 94.5 (мм)

6.

Межосевое расстояние: a

w

= a cosα =

94.5 cos20° = 99.05 (мм)

cosαw

cos26.29°

7.

Передаточное число: U =

z2

= 28

= 2

z

14

1

dw

=

2 aw

= 2 99.05 = 66.03(мм)

U +1

8.

Начальные диаметры:

1

2 +1

2 aw U

2 99.05 2

dw

=

=

=132.07 (мм)

2 +1

2

U +1

9.

Коэффициент воспринимаемого смещения: y =

aw − a

= 99.05 −94.5

=1.01(мм)

m

4.5

10.Коэффициент уравнительного смещения: ∆y = x∑ − y =1.17 −1.01 = 0.16 (мм)

11.Диаметры впадин:

d = d −2(h* +C* − x) m		d f	= 63 − 2 (1+ 0.25 −0.59) 4.5 = 57.06 (мм)
		1
f	a	d f2	=126 − 2 (1+ 0.25 −0.58) 4.5 =119.97 (мм)

12.Высота зуба: h = (2ha* +C* − ∆y) m = (2 1+ 0.25 −0.16) 4.5 = 9.41(мм)

13.Диаметры вершин зубьев:

da = d f + 2h

da

= 57.06 + 2 9.41 = 75.88 (мм)

1

da2

=119.97 + 2 9.41 =138.79 (мм)

14. Окружной делительный шаг: P =π m =π 4.5 =14.14 (мм)

2π

τ1 =

2π

′

15. Угловые шаги: τ =

14

= 0.4488 = 25.71° = 25°42

z

τ1 =

2π

′

= 0.2244 =12.86° =12°51

28

16. Окружные делительные толщины зубьев:

S = (π 2 + 2x tgα)m

S1 = (π

2 + 2 0.59 tg 20°) 4.5 = 9 (мм)

S2 = (π 2 + 2 0.58 tg 20°) 4.5 = 8.97 (мм)

17. Начальные окружные толщины зубьев:

+ 0.014904 −0.035182)= 8.1(мм)

Sw = dw (S d +invα −invαw )

S

w1

= 66.03 (9

63

Sw

=132.07 (8.97126 + 0.014904 −0.035182)= 6.72 (мм)

2

18. Угол профиля зуба на окружности вершин:

αa

= arccos(

′

75.88)= 38.72° = 38°43

αa = arccos(dB da )

αa2

59.2

= arccos(118.4138.79)= 31.45° = 31°27′

1

19. Окружные толщины зубьев по вершинам:

+ 0.014904 −0.125938)= 2.42 (мм)

Sa = da (S d +invα −invαa )

S

a1

= 75.88 (9

63

Sa2

=138.79 (8.97105 + 0.014904 −0.06269)= 3.25 (мм)

20. Радиусы кривизны эвольвенты на вершине зуба:

15

ρa	= 29.6 tg38.43° = 23.73	(мм)
ρa = rb tgαa ρ	= 52.2 tg31.45° = 36.21	(мм)
1
a2

21.Длина линии зацепления: g = ρ∑ = aw sinαw = 99.05 sin 26.29° = 43.88 (мм)

22.Длина активной линии зацепления:

gα = ρa1 + ρa2 − g = 23.73 +36.21− 43.88 =16.06 (мм) 23. Угол перекрытия:

gα

ϕα

=

16.06

= 0.5426 = 31.09°

ϕα

=

1

29.6

rb

ϕα

=

16.06

= 0.2713 =15.54°

2

52.2

24. Коэффициент перекрытия:

ϕα

εα

=

0.5426

=1.21

ε

α

=

0.4488

τ

0.2713

=1.21

εα

=

0.2244

25.Радиус кривизны эвольвенты в нижней точке активного профиля:

ρp = 43.88 − 23.73 = 20.14 (мм)

ρp = g − ρa 1 = 43.88 −36.21 = 7.67 (мм)ρp

				2
	26. Радиус кривизны эвольвенты в граничной точке эвольвенты:
	ρl = r sinα − (h		*	− x)m	ρl		= 31.5 sin 20°−		(1−0.59) 4.5		= 5.38 (мм)
									sin 20°
						1
							= 63 sin 20°−	(1−0.58) 4.5		= 8.78 (мм)
			sinα		ρ	l2
									sin 20°

16

1.3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЭВОЛЬВЕНТНЫХ ПРОФИЛЕЙ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС Построение картины зацепления (рис. 1.3) произведем для примера 1. Наносим

центры колес. Строим начальные окружности rw1 и rw2 , соприкасающиеся в полюсе зацепления P, а затем окружности вершин ra1 и ra2 , делительные r1 и r2 , впадин rf 1 и rf 2 ,

основные rb1 и rb2 . Через полюс зацепления P проводим общую касательную к начальным окружностям, перпендикулярную к межосевой прямой O1O2 , t — t и общую касательную к основным окружностям п — п (точки касания к основным окружностям N1 и N2).

Для построения профилей зубьев колес, находящихся в зацеплении, необходимо выбрать такой масштаб, чтобы полная высота зуба h была равна 60—80 мм.

Отрезок прямой, заключенный между точками N1 и N2, называют линией зацепления

( N1N2 = g = aw sinαw ). Эта линия и прямая t — t образуют угол зацепления αw . Часть линии зацепления, отсекаемая от нее окружностями вершин, представляет геометрическое место действительных точек контакта парных профилей и называется активной линией зацепления p1 p2 = gα .

Построение эвольвентных профилей зубьев можно производить, «перекатывая» без скольжения производящую прямую по основной окружности, или по точкам, рассчитав предварительно толщину зубьев по ряду окружностей. Зададимся для этого

17

последовательным рядом значений d y с шагом 0,5/п в пределах d f ≤ d y ≤ da и рассчитаем

			S							db
по формуле S y		= d y			+invα −invαy , где			αy = arccos				- окружные толщины зубьев.
										d y
			d
Результаты расчета для шестерни и колеса приведены в таблице 1.3 и 1.4.
														Таблица 1. 3
	dx1, мм		60			62	64	68	70				72	74
	Sx1, мм		9.38			9.19	8.75	7.28	6.28				5.11	3.79
														Таблица 1. 4
	dx2, мм		122			124	128	130	134				136	138
	Sx2, мм		9.9			9.5	8.33	7.59	5.82				4.81	3.71

Отложив по делительным окружностям окружные делительные толщины зубьев и разделив их пополам, найдем положения осей симметрии зубьев. Проведя окружности диаметром d y1 иd y 2 , откладываем значения S y1 / 2 и S y 2 / 2 . Точки на окружностях опреде-

ляют положения эвольвентных профилей зубьев парных колес. Для построения профилей соседних зубьев достаточно по делительной окружности отложить хордальный шаг

p = mz	1,2	sin	τ1,2	, где τ = 2π / z , или τ = 360/ z	— угловой шаг, наметить положение осей
		2
симметрии соседних зубьев и построить их.
Профиль ножки зуба у ее основания формируется переходной кривой вершины
зуборезной рейки, радиус которой равен					ρf = ρ*f m = 0.38m . Этот же радиус при

упрощенном вычерчивании основания зуба можно принять за радиус переходной кривой между эвольвентой и окружностью впадин. Для определения положения граничной точки L профиля, точки, где эвольвента сопрягается с переходной кривой, строим граничную

окружность радиуса r =	r 2	+ ρ2	, где ρ		l	- радиус кривизны эвольвенты в граничной точке,
l	b	l
		= r sinα −		(h* − x)m
определяемый по формуле	ρl					a	.
						sinα

Участки профилей зубьев, которые в процессе передачи вращения входят в контакт друг с другом, называют активными участками профилей зубьев. Для определения границ этих участков достаточно из точек О1 и О2 описать радиусами O1 p1 и O2 p2 дуги до пере-

сечения с профилями зубьев (получим точки b1 и b2 ). Активные участки — a1b1 и a2b2.

За время зацепления одной пары сопряженных профилей зубчатые колеса повернутся на некоторые углы. Угол поворота зубчатого колеса от момента входа его профиля в зацепление до момента выхода из зацепления называют углом перекрытия ϕα .

18

′ ′′	′ ′′	стягивают углы перекрытия ϕα1 и ϕα2 . Следовательно, углы перекрытия
Дуги b1b1	и b2b2
можно определить из зависимостей:
					′ ′′			′ ′′
			ϕα1	=	b1b1	; ϕα 2	=	b2b2	,
					rb1			rb2
′ ′′	′ ′′	= gα ; gα	= p1P + Pp2 = p2 N1 − PN1 − PN2 = ρa1 + ρa2 − g ;							ρa1,2 - радиусы
где b1b1	= b2b2
кривизны эвольвенты на вершинах зубьев;				ρa1,2 = rb1,2			tgαa1,2 ; g - длина линии зацепления.
Контроль построений можно осуществить, рассчитав и проверив на чертеже
параметры зубчатых колес и передачи (см. табл. 1.1).
Плавность		работы	зубчатой	передачи				характеризуется		коэффициентом

перекрытияεα : отношением угла перекрытия зубчатого колеса к его угловому шагу:

ϕϕ

εα = τα11 = τα22 .

Внашем примере εα = 00..54264488 = εα = 00..22442713 =1.21.

Это означает, что 21% времени контакта колес в зацеплении будут участвовать две пары зубьев и 79% времени — одна.

Удельные скольжения λ1 и λ2 характеризуют изнашивания активных профилей

	зубьев.
	Для шестерни			л =1−	g − сk1			, где	ρ	k1	— радиус кривизны эвольвенты шестерни в
				1	U	сk1
	точке контакта k ; ρk 2			= g − ρk1		— радиус кривизны эвольвенты колеса в этой же точке; для
	колеса λ2 =1−	U ρk1		. Результаты расчета сведены в табл. 1.5. На основании их строим на
		g − ρk1
	линии зацепления диаграммы λ1 и λ2 .
													Таблица 1. 5
							ρk1, мм			λ1		λ2
							0			∞		1.00
							4		-3.99			0.80
							8		-1.24			0.55
							12		-0.33			0.25
							14.63		0.00			0.00
							16		0.13			-0.15
							20		0.40			-0.68
							24		0.59			-1.41
							28		0.72			-2.53
							32		0.81			-4.39
							36		0.89			-8.14
							40		0.95			-19.62

19

43.881.00 ∞

Фактически зацепление происходит по активной линии зацепления, поэтому удельные скольжения целесообразно исследовать лишь в пределах gα (эти участки диаграмм заштрихованы).

Если зубчатые колеса не имеют подреза ножки зуба у основания, радиусы кривизны эвольвент в граничных точках профилей будут положительными:

(h* − x

)m

ρl1,2 = r sinα −

a

1,2

.

sinα

Оценка проектируемой передачи по геометрическим показателям производится в

соответствии с ГОСТ 16532—70.

При отсутствии

подрезания

зуба

x ≥ x

min

, где

x

min

=1−

z

:

x

=1−

14

= 0.176;

17

1min

17

x2 min =1−

28

= −0.647 .

17

Принятые

в расчетах

коэффициенты смещений

x1

= 0.59

и

x2 = 0.58 .

Так как

x1 ≥ xmin и x2 ≥ xmin , подрезание зуба исходной рейкой в обоих случаях отсутствует.

Для проверки отсутствия интерференции зубьев следует сопоставить радиусы

кривизны

эвольвент

в граничных

и

нижних

точках

активных

профилей

зубьев:

ρl

= 5.38 мм;

ρl

= 8.78 мм;

ρp

= 20.14

мм;

ρp

2

= 7.67 мм. Сравнив

их, видим, что

1

2

1

ρl1

< ρp1 и ρl 2

< ρp2 , т. е. интерференция зубьев в обоих случаях отсутствует.

Для прямозубой передачи (ГОСТ 16532—70) рекомендуется принимать коэффициент

перекрытия εα

≥1.2 . В рассматриваемом примере εα

=1.21.

Окружная толщина зубьев на вершинах Sa

= (0.3 −0.4)m .

Рассчитаем относительные толщины зубьев для нашего случая:

Sa1

=

2.42

= 0.538 и

Sa2

=

3.25

= 0.722 .

4.5

m

m

4.5

Полученные значения находятся в пределах рекомендуемых норм. 1.4. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПЛАНЕТАРНОЙ ПЕРЕДАЧИ

Общие положения. На рис. 2.1 изображены планетарные передачи (А, В, С, D) с тремя основными звеньями 2К — Н (в каждой из этих передач по два центральных колеса 2К и одно водило Н).

20