Лекции_3_сем

Числовые ряды

91

∞

1

un+1

n

2

2). Рассмотрим ряд ∑

.

Для него также lim

= lim

=1. Срав-

2

2

n=1 n

n→∞ un

n→∞ (n +1)

∞

1

ним члены исследуемого ряда со сходящимся рядом ∑

(доказа-

n(n +

1)

n=1

∞

1

∞

1

1

<

1

∞

1

но ранее): ∑

= ∑

,

,

значит,

∑

сходится.

(n +1)

2

n(n +1)

2

(n +

1)

2

2

n=1

n

n=0

n=1

n

Пример:

Исследуйте на сходимость ряды:

1

1

∞

1

1

1

1) ∑

.

un =

=

, un+1 =

=

,

1 2 3…n

(n +1)!

1

2 3…n(n +1)

n=1 n!

n!

lim

un+1

= lim

1

= 0 .

un

n→∞

n→∞ n +1

Ряд сходится.

∞

2)

∑2n +1.

n=1

n2n

un+1

2n

+ 3

n

n

Вычислим lim

= lim

2 2

=

1

=

2

<1,

n+1

n→∞ un

n→∞ 2n +1 n +1

2

2

2 2

ряд сходится.

∞

3)

∑

n!(2n +1)!

можно убедиться, что un → 0 , выполняется необ-

n=1

(3n)!

ходимый признак сходимости.

Вычислим lim

(n +1)!(2(n +1) +1)!(3n)!

=

lim

(n +1)!(2n +3)!(3n)!

=

(3n +3)!n!(2n +1)!

n→∞

(3n + 3)!n!(2n +1)!

n→∞

lim

(n +1)(2n + 2)(2n + 3)

=

1

2

2

=

4

. <1, исследуемый ряд схо-

n→∞

(3n + 3)(3n + 2)(3n +1)

3

3

3

27

дится.

11.1.2. Признак Коши

Если 1) un	> 0 и 2) существует lim n un = l,
тогда	n→∞

	∞	сходится, еслиl <1,
		расходится, еслиl >1,
	∑un
	n=1
		признакнедаетответа, еслиl =1.
	Доказательство:

lim n un = l ε > 0 N : n > N n un −l < ε, l −ε < n un < l +ε.

n→∞

92		Лекции 10 - 11
1)	l <1. Выберем ε	так, чтобы l +ε = q, q <1. Тогда n un < q, un < qn .
	∞	∞
	Так как ∑qn сходится при q <1, то и ∑un - сходится.
	n=1	n=1
2)	l >1. Выберем ε	так, чтобы q = l −ε >1. Тогда l −ε < n un
	un > qn >1: limun	∞
		≠ 0 и ∑un расходится при l >1.
	n→∞	n=1

3) l =1. Признак ответа не дает, ряд может как сходиться, так и расходиться.

Рассмотрим те же примеры, что и при рассмотрении признака Даламбера.

∞

1

1

ln n

∑

. Пусть

n

= C

n ,

ln C

= −

→0

,

C

n

= →1

,

n

n

n

n

n→∞

n→∞

n=1

но ряд расходится.

∞

1

. Пусть

n

1

= C′, ln C′ = −

2 ln n

→0 ,

C′ = →1,

∑n=1 n2

n2

n

n

n

n

→∞

n

n→∞

но ряд сходится.

Пример:

∞

n

n

Исследуйте на сходимость ряд ∑

.

n=1

2n +1

n

n

= lim

n

= lim

1

=

1

<1, ряд сходится.

lim n

2n +1

1

2

n→∞

2n +1

n→∞

n→∞

2 + n

11.1.3. Интегральный признак сходимости

Пусть 1)

un > 0 и 2)

un ≥ un+1 , то есть члены ряда не возрастают,

3) f (n) − такая непрерывная не возрастающая функция, что

f (n) = un .

∞

Тогда ряд ∑un и несобственный инте-

n=1

грал ∞∫ f (x)dx либо одновременно сходятся,

1

либо одновременно расходятся. Доказательство:

Изобразим ситуацию геометрически. Площадь криволинейной трапеции, ограни-

ченной прямыми x =1,	x = n +1 , y = 0	и
графиком функции y = f	(x), равна In+1 = n∫+1	f (x)dx .

1

Числовые ряды

93

Площадь ступенчатой фигуры, описанной около этой криволинейной трапеции, равна частичной сумме ряда Sn = u1 +u2 +…+un .

Площадь ступенчатой фигуры, вписанной в ту же криволинейную трапецию, равна Sn+1 −u1 = u2 +u3 +…+un+1 .

Последовательность частичных сумм {Sn } и последовательность

{In } монотонно возрастают: Sn+1 − Sn = nn+1 > 0 , In+1 − In = n∫+1	f (x)dx > 0.
n

Очевидно, Sn+1 −u1 < In+1 < Sn .

Переходя к пределам,

получаем lim S

n+1

−u ≤ lim I

n+1

n→∞

1

n→∞

как lim S

n+1

= lim S

n

и lim I

n+1

= lim I

n

, то lim S

n

−u

≤ lim I

n

≤

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

1

n→∞

∞

1).

Если

интеграл

сходится,

lim I

n

= I =

∫

n→∞

1

≤ lim Sn , или, так

n→∞

lim Sn .

n→∞

f (x)dx < ∞ ,

то

lim Sn ≤ I +u1 < ∞,

ряд

сходится.

Если

ряд

сходится,

lim S

n

= S < ∞,

то

n→∞

n→∞

lim In ≤ S <∞ , интеграл сходится.

n→∞

2).

Если интеграл расходится,

I

→∞, то и

S

→∞ (так

n

n

n→∞

n→∞

как

S

n

> I

n

), ряд

расходится.

Если

ряд

расходится,

S

n

→∞,

то

(S

n→∞

n

−u ) →∞,

и,

так как I

n

> S

n

−u

,

I

n

→∞,

интеграл расходит-

1

n→∞

1

n→∞

ся.

Пример:

Исследуйте на сходимость ряды:

∞

1

1

; f (x) =

.

2

2

1) ∑

(n +1) ln

(x +1) ln

(x +1)

n=1

(n +1)

∞

dx

∞

d (ln(x

+1))

1

a

=

= lim −

=

∫(x +1) ln

2 (x +1)

∫

ln 2 (x

+1)

ln(x +1)

a→∞

1

1

1

1

−

1

=

1

= lim

,

ln 2

a→∞ ln 2

ln(a +1)

исследуемый ряд сходится.

∞

1

∞

2) ∑

=

∑un .

(n − 2) ln (n − 3)

n=5

n=5

Исследуем на сходимость вспомогательный ряд

∞

1

∞

∑

= ∑vn

ln(n −3)

n =5 (n −3)

n =5

с помощью интегрального признака.

∞

dx

∞

dt

∞

Несобственный интеграл ∫

= ∫

= 2

ln(x −3)

5 = ∞

5

(x −3)

ln(x −3)

2

t

94

Лекции 10 - 11

расходится, следовательно, расходится вспомогательный ряд

∞

∑vn .

n=5

Так как lim

un

= lim

n −3

=1, то по второй теореме сравнения ис-

n→∞ vn

n→∞ n − 2

ходный ряд также расходится.

∞

3) ∑

1

; f (x) =

1

.

n=1 n

x

∞

1

dx = lim ln

x

a = ∞, исследуемый ряд расходится.

∫1 x

a→∞

1

Заметим, что для оценки остатка ряда Rn с положительными чле-

нами удобно пользоваться интегральным признаком сходимости.

∞

Если этот признак применим к ряду ∑ f (n), то имеет место оценка

n=1

∞∫ f (x)dx < Rn < ∞∫ f (x)dx .

n+1

n

Пример:

∞

1

Сколько членов ряда ∑

нужно взять, чтобы получить значение

2

n=1

n

суммы ряда с точностью до 0,001?

Здесь f (x) =

1

,

∞∫

dx

= −

1

∞ =

1

, по условию

1

> 0,001, n >1000, зна-

2

2

x

n x

x

n

n

n

чит нужно взять 1001 член.

11.2. Знакопеременные ряды

Рассмотрим ряды, содержащие бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов. Такие ряды называются знакопеременными.

Т Если для знакопеременного ряда
∞
∑un = u1 +u2 +…+un +…	(1)

n=1

сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

∞
∑un = u1 + u2 +…+ un +…,	(2)

n=1

то ряд (1) сходится.

Числовые ряды

95

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательный ряд

∞

∑(un +

un

)= (u1 +

u1

)+(u2 +

u2

)+…+(un +

un

)+…

(3)

n=1

для него справедливо неравенство 0 ≤ un + un ≤ 2 un , n =1, 2,….

Ряд ∑∞ (2 un ) сходится из условия сходимости ряда (2);

n=1

Ряд (3) сходится на основании первого признака сравнения. Ряд (1) есть разность двух сходящихся рядов

∞	∞					∞
∑un	= ∑(un	+		un		)−∑		un		и, следовательно, сходится.
n=1	n=1					n=1

!Обратное утверждение неверно.

ОСходящийся ряд, для которого ряд, составленный из абсолютных величин его членов, также сходится, называется абсолютно схо-

дящимся.

Заметим, что доказанный признак сходимости достаточен, но не необходим: существуют знакопеременные ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

ОСходящийся ряд, для которого ряд из абсолютных величин его членов расходится, называется условно сходящимся.

Пример:

1.

Знакочередующийся

ряд

∞

(−1)

n−1

1

1 −…+

(−1)

n−1

=1 −

+ ...

∑

+

сходится

условно по

n=1

n

2

3

n

1

1

1

признаку Лейбница (см. ниже), так как

>

и lim

= 0, но со-

n −1

n

n→∞ n

ответствующий ряд из абсолютных величин членов данного ряда

							∞
(1) является гармоническим ∑								1	и расходится.
							n=1 n
∞	(−1)	n−1		1		1
2. Ряд ∑			=1 −		+		+… сходится абсолютно, так как этот
	2			2		2
n=1	n			2		3

знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница (см. ни-

	∞	1
	же), и ряд ∑		сходится тоже.
		2
	n=1	n

96	Лекции 10 - 11

11.3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

ОРяд называется знакочередующимся, если его члены являются (поочередно) положительными и отрицательными.

Такой ряд можно записать в виде

∞
∑(−1)n−1 un = u1 −u2 +u3 −…+(−1)n−1 un +…,	(1)

n=1

где un > 0 для любого n . Если первый член ряда отрицателен, то

∞

исследуют ряд −∑(−1)n−1 un .

n=1

ТПризнак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (1):

1)	абсолютные величины членов ряда монотонно убывают
u1 > u2 > u3 > ...,
2)	lim un = 0, то а) ряд (1) сходится; б) его сумма S > 0 положитель-

n→∞

на и не превосходит первого члена ряда, то есть, S < u1 . Доказательство:

Рассмотрим последовательность четных частичных сумм знакочередующегося ряда (1):

S2 = u1 −u2 , S4 = (u1 −u2 )+ (u3 −u4 )…,

S2n = (u1 −u2 )+(u3 −u4 )+(u2n−1 −u2n ).

Каждая из разностей, стоящих в скобках, положительна по условию теоремы, значит, S2 n > 0 и последовательность S2n является

возрастающей.

Если записать эту сумму в виде S2n = u1 −(u2 −u3 )−(u4 −u5 )−…−u2n, то каждая из разностей в скобках положительна и S2n < u1, , т.е. по-

следовательность S2n ограничена сверху.

Итак, последовательность S2n является возрастающей и ограничена

сверху, следовательно, имеет предел lim S2n = S причем 0 < S < u1 .

n→∞

Последовательность нечетных частичных сумм S2n+1 = S2n + u2n+1 . Пе-

реходя	к пределу, имеем lim S2n+1	= lim S2n	+ lim u2n+1 = S , следова-
	n→∞	n→∞	n→∞
тельно,	lim Sn = S , ряд (1) сходится.
	n→∞

Признак Лейбница используется для приближенного вычисления суммы знакочередующегося ряда с определенной точностью. Сумма

Числовые ряды

97

отброшенных членов знакочередующегося ряда Лейбница по абсолютной величине не превосходит первый отброшенный член.

Пример:

Сколько членов ряда нужно взять,

	∞		(−1)			n+1
						= S найти с точностью до 0,001?
чтобы сумму ряда ∑
n=1					n
Решение:							∞	∞
Представим сумму ряда в виде:							S = Sk +δ , где Sk = ∑un , δ =	∑un
по признаку Лейбница.							n=1	n=k +1
По условию, uk +1 =			1		< 0,001,		откуда k > 999, нужно взять 1000
		k	+	1

членов ряда.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать:

определения ряда, суммы ряда, частичной суммы ряда;

необходимый и достаточный признак сходимости ряда (критерий Коши);

необходимый признак сходимости ряда;

теоремы сравнения рядов с положительными членами;

достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами: признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак сходимости;

исследование знакопеременных рядов, абсолютная сходимость;

знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.

Лекции 12 – 14 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

В лекциях 12 – 14 рассматриваются функциональные ряды и важнейшая их разновидность – степенные ряды. При достаточно широких предположениях относительно функции ее можно представить как сумму некоторого функционального ряда, причем математические операции над этим рядом (сложение, умножение, предельный переход, почленное дифференцирование и интегрирование) совершаются по тем же простым правилам, что и одноименные операции над конечными суммами. Подобная простота применения и легкость получения конкретных результатов обусловливает широкое применение функциональных рядов в математике и ее приложениях.

12.1. Функциональные ряды. Основные определения 12.2 Равномерная сходимость 12.3. Признак Вейерштрасса

13.1.Степенные ряды. Основные определения

13.2.Вычисление радиуса сходимости

13.3.Свойства степенных рядов

13.4.Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена

13.5.Разложение элементарных функций в ряды Маклорена

13.6.Применение степенных рядов

13.6.1.Вычисление значений функций

13.6.2.Вычисление интегралов, не берущихся в элементарных функциях

13.6.3.Решение дифференциальных уравнений

14.1.Ряды в комплексной области. Числовые ряды

14.2.Степенные ряды в комплексной области

12.1.Функциональные ряды. Основные определения

	Пусть функция				fn (x), n N определена в области D, x D
О	Выражение вида
			∞
		∑ fn (x)= f1(x) + f2 (x) +…+ fn (x) +…								(1)
		n=1
	называется функциональным рядом.
	∞		x			x		x
	Например, ∑sin			= sin x +sin			+…+sin		+…..
								n
	n=1		n		2
	При x = x0 D	из функционального ряда (1) получается числовой
	ряд				∞
									(x0 )+…
					∑ fn (x0 ) = f1 (x0 )+ f2					(2)

n=1

Функциональные ряды

99

ОЕсли для x0 D числовой ряд (2) сходится, то точка x0 называется

точкой сходимости функционального ряда (1). Если в каждой точ-

∞

ке x D1 D числовые ряды ∑ fn (x) сходятся, то функциональный

n=1

ряд(1) называется сходящимся в области D1 .

ОСовокупность всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда (1).

Рассмотрим частичные суммы функционального ряда (1):

Sk (x)= f1 (x)+ f2 (x)+…+ fk (x).

Ряд (1) сходится к функции f (x) в области сходимости, если предел

последовательности его частичных сумм lim Sk (x)= f (x).

k→∞

•Пример: •

•• Найдите область сходимости ряда

∞

1

1

1

1

+…, x (−∞, ∞).

• ∑

=

+

+…

1 + x

2n

1

2

1

4

1 + x

2n

n=1

+ x

+ x

•

Если

x

<1,

то

lim u

n

= lim

1

=1 ≠ 0,

ряд расходится, так как

n→∞

n→∞ 1 + x2n

не выполняется необходимый признак сходимости ряда;

если

x = ±1,

ряд

∞

1 +

1

+…

расходится;

если

∑1 =

1

1

n=1 2

2

2

x

>1:

<

- бесконечно убывающая геометрическая

1

+ x2n

x2n

прогрессия.

∞

1

•

Сравнение со сходящимся рядом ∑

при

x

>1 дает область

2n

n=1

x

сходимости исследуемого ряда x (−∞, −1) (1, ∞).

12.2. Равномерная сходимость

Пусть lim Sn (x)= f (x). По определению предела это означает, что

n→∞

для любого x из области сходимости, например, x0 и x1 , выполняются условия:

1)	x = x0 D1 : ε > 0 N0 (ε ), n > N0		Sn (x0 )− f (x0 )				<ε ;
2)	x = x1 D1, x0 ≠ x1 : ε > 0 N1 (ε ), n >		N1		Sn (x1 )−		f (x1 )		<ε .

100	Лекции 12 - 14

Заметим, что числа N0 и N1 , вообще говоря, различны.

ОФункциональный ряд, сходящийся для всех x D1 из области схо-

	димости, называется равномерно сходящимся в этой области, ес-
	ли ε > 0 существует не зависящий от						x номер			N (ε ), такой, что
	при n > N (ε ) выполняется неравенство						Rn (x)		<ε	для всех x из об-
				∞
ласти сходимости,			где	Rn (x)= ∑ fk (x)−
остаток ряда.				k =n+1
	Геометрический		смысл равномерной
сходимости заключается в следующем:
Если		окружить график		функции	y = f (x)
” ε	-	полоской”, определяемой соотношени-
ем	f	(x)−ε < y < f (x)+ε,		x [a,b],	то гра-

фики всех функций Sk (x), начиная с

достаточно большого k , целиком лежат в

этой ” ε - полоске”, окружающей график предельной функции y = f (x).

	Покажем, что ряд		1		−	1	+…+	(−1)n+1	+… сходится равно-
		x2	+1			x4 + 2		x2n + n
	мерно при всех x (−∞ < x < ∞).

По признаку Лейбница этот ряд сходится и его остаток можно оценить следующим образом:

R

(x)

<

u

(x)

,

R

(x)

<

1

<

1

,

1

≤ε, n ≥

1

−1.

n

n+1

n

x2n+2 + n +1

n +1

n +1

ε

1

Возьмем N =

−1,

тогда для n ≥ N

Rn (x)

< ε

для x из области сходимо-

ε

сти, значит ряд равномерно сходится.

∞

ОФункциональный ряд ∑ fn (x) называется мажорируемым в неко-

n=1

торой области изменения x, если существует такой сходящийся чи-

∞

словой ряд ∑un с положительными членами, что для всех x из

n=1

этой области выполняются неравенства fn (x) ≤ un , n =1,2,….. Ряд

∞	∞
∑un	называется мажорантой ряда ∑ fn (x).
n=1	n=1