Лекции_3_сем

130

Лекции 15 - 16

(еще раз интегрируем по частям)

u = x,

dv = sin nxdx

2

x cos nx

π

1 π

=

du = dx, v = −

cos nx

=

−

−

+

∫ cosnx dx

=

nπ

n

n

−π

−π

n

4

,

еслиn = 2k − четное;

4

2

=

cos nπ =

=

n

4

n2

, если n = 2k +1

−

− нечетное.

n

2

Разложение в ряд Фурье имеет вид:

(−1)k cos kx

f (x)=

π 2

cos x

cos 2x

cos 3x

π 2

∞

−

4

−

+

−...

= =

+ 4∑

.

3

2

2

3

2

3

k

2

1

k =1

На рисунке приведены графики исходной функции и первых четырех частичных сумм ряда Фурье на отрезке [0, π]. В примере1 получился ряд, содержащий только синусы, а в примере2 – только косинусы кратных дуг.

Это обусловлено тем, что в ряд Фурье разлагаются, соответственно, нечетная

ичетная функции.

16.1.Разложение в ряд четных и нечетных функций

спериодом 2π

Пусть f (x) – периодическая функция с периодом 2π.

1). Если функция f (x) нечетная, f (-x)=- f (x), все коэффициенты ее ряда Фурье при косинусах кратных дуг равны нулю a0 = an = 0 , так как при этом функция f (x) cos nx - также нечетная.

Функция f (x) sin nx при этом четная, поэтому bn = 2 π∫ f (x)sin nxdx , и

π 0

ряд Фурье нечетной периодической функции содержит только синусы

∞

кратных дуг: f (x)= ∑bn sin nx.

n=1

	Ряды Фурье										131
	2).		Если функция f(x) четная, f(-x) =			f(x), все коэффициенты bn равны
	нулю, bn=0, так как при этом функция					f (x) sin nx					– нечетная.
	Функция f (x) cos nx				при этом четная,	a0 =	2	π∫ f (x) dx,
							π
						0
	an	=	2	π∫ f (x)cos nxdx,	и ряд Фурье четной периодической функции со-
			π
		0
									a0		∞
	держит только косинусы кратных дуг:					f (x)=				+ ∑an cos nx.
						2					n=1

16.2.Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Т=2l

По условию f (x + 2l )= f (x).

Сделаем замену переменной,

x =

l

t,

t =

π x .

π

l

l

l

l

π

f (x) = f

Тогда

t

=

f

t +2l

= f

t +2

t

x

=

π

π

π

l

2π

l

l

= f

t +

t

= f

(t +

2π ) .

π

t

π

π

l

Функция

f (x) = f

t

по аргументу t

имеет период 2π.

π

l

Разложим периодическую функцию с периодом 2π

f

t

в ряд

π

a0

l

∞

Фурье на отрезке

[−π, π].

f

t

=

+ ∑(an

cos nt +bn sin nt),

где ко-

π

2

n=1

эффициенты находятся по формулам:

1

π

l

a0

=

f

t

dt;

π

π

−∫π

1

π

l

an =

f

t

cos ntdt;

π

π

−∫π

1

π

l

bn

=

f

t

sin ntdt.

π −∫π

π

132	Лекции 15 - 16

Возвращаясь к старой переменной t = x πl ; dt = πl dx, получаем ряд Фурье для функции с периодом 2L:

f (x)=

a

∞

nπ

x +bn sin

nπ

x

0

+ ∑ an cos

l

l

,

2

n=1

где

a0 =

1

∫l

f (x)dx;

an = 1

∫l

f (x)cos n

π x dx; bn =

1

∫l

f (x)sin nπ x dx;

l

−l

l

−l

l

l

−l

l

Пример:

Разложите в ряд Фурье функцию

f (x)=

x

на отрезке [−l,l].

Так как функция четная, bn=0,

a

l ∫0

x dx = l,

= 2 l

0

a

2 l

x cos

nπ

x dx =

2

l

x sin

nπ

x

l

l l

nπ

x dx =

2

l2

nπ

x

l

=

−

sin

cos

=

n

∫0

nπ ∫0

(nπ )2

l

l

l

nπ

l

0

l

l

l

0

2l

0,

åñëè ï

− ÷åòí î å,

n = 2k;

=

π

−

=

4l

2

2 (cos n

cos 0)

−

, åñëè ï

н ечетн о е,

n = 2k +1.

(2k

+1)2

n

π

π2

Итак,

2

4l

π

1

π

1

5π

x [−l; l].

x

=

−

cos

x +

cos 3

x

+

cos

x +...

,

l

π

2

l

2

l

2

l

3

5

16.3. Разложение в ряд Фурье непериодических функций

Сумма ряда Фурье есть периодическая функция, поэтому непериодическую кусочно-монотонную, заданную на интервале (−∞,∞) функ-

цию нельзя представить рядом Фурье. Но можно разложить ее в ряд Фурье на любом конечном промежутке.

f1 (x)

Ряды Фурье						133
Для функции f(x)
				y		f(x)
								x
Построим функцию ϕ(x)
				y
							ϕ(x)
								x
-2l		-l	0	l		2l
такую, что ϕ(x) = f (x)			для x (−l; l ),			а на всю действительную ось она
продолжается периодически с периодом 2l :
				ϕ(x) =ϕ(x + 2l ).
Функция ϕ(x) разлагается в ряд Фурье (п. 15.5), причем в точках
x = ± l выполняется:					ϕ (l −0)+ϕ (l +0)
				S (l )=					,
						2
где		ϕ(l −0)= f (l − 0), ϕ(l + 0)=ϕ(−l + 0)= f (−l + 0),
то есть		S (l )	=	f (l −0)+ f (−l +0)				, S (−l )= S (l ).
				2

Итак, если произвольная функция f(x) задана на интервале (0,l ), ее можно представить в виде периодической функции ϕ(x) с периодом

2l , дополнив (продолжив) f(x) произвольным образом некоторой ку- сочно-монотонной функцией f1 (x) на интервал (−l,0) так, что:

f (x), x (0, l );

ϕ(x)= f1 (x), x (−l, 0).

Так как продолжение первоначально заданной функции f(x) может быть выбрано бесчисленным множеством способов, то существует бесчисленное множество рядов Фурье, которые сходятся к f(x) в интервале (0,l ).

134	Лекции 15 - 16

Среди различных продолжений f(x) выберем четное и нечетное продолжения, в результате которых получатся разложения f(x) либо по косинусам, либо по синусам кратных дуг соответственно.

1. Если f1 (x) = f (−x),

x (−l, 0),

f1(x)

y

f(x)

f (x)

= a0

∞

то

+

∑an cos nπx,

2

n=1

l

где an =

2 l

f (x)cos

nπ x

dx, x (0, l ),

l ∫0

-l

0

l

x

l

n =1, 2,...

Если

f1 (x) = − f (−x), x (−l, 0),

y

f(x)

∞

nπ x

то

f (x)

= ∑bn sin

,

l

n=1

-l

0

l

x

= 2 l

f (x)sin

nπ x

dx, x (0, l )

b

n

l ∫0

l

f1(x)

• Пример:	•	х

•• Разложите f (x)=1, заданную на интервале (0,π), по синусам и косинусам кратных дуг.

•Решение: ), l =π.• 1).

•Продолжим f(x) на интервал (-π, 0) нечетным образом:

•

y

•

•

1

•

-π

0

π

x

•

•

-1

• тогда an

= 0 ,

2

π

2

cos nx

π

2

(cosπn −1)=

• bn =

∫0

1 sin nx

dx =−

n

= −

π

π

0

πn

2

((−1)n −1)

0,

если

п = 2k

четное,

• = −

=

4

п = 2k +1 нечетное.

πn

π

(2k −1), если

•

4

sin 3x

sin 5x

Итак, 1 =

sin x +

+

+

...

=

3

5

π

	Ряды Фурье					135
		4	∞	1		sin(2k −1)x :
	• =		∑
		π		2k −1
			k =1

•2). Продолжим f (x) на интервал (-π,0) четным образом,

•				y
•
•
•
•
•	-π		0		π	x

•тогда bn = 0

•	a0 =	2	π∫1 dx = 2,
		π
			0
		2	π		2		sin nx			π
•	an =		∫0	1 cos nx dx =						0	= 0
		π			π		n

∞

• и 1 =1 + ∑0 cos nx =1.

n=1

16.4.Комплексная форма ряда Фурье

	Ряд Фурье для функции	f (x) с периодом 2l имеет вид:
		a	∞		nπ		nπ
	f (x)=	0	+ ∑ an	cos		x +bn sin		x	,
		2			l		l
			n=1

где

l

= 1 l

l

a

=

1

f (x)dx;

a

n

f (x)cos n

π x dx; b

=

1

f (x)sin

nπ

x dx .

0

l −∫l

l −∫l

l

n

l −∫l

l

Преобразуем его к комплексной форме с помощью формул Эйлера:

eiϕ = cosϕ +

Обозначим πl = ω.

Тогда

f (x) = a20

= a20

	isinϕ , cosϕ =	eiϕ +e−iϕ	, sinϕ =	eiϕ −e−iϕ	.
		2		2i

∞

e

inωx

+ e

−inωx

e

inωx

−e

−inωx

+ ∑ an

+bn

=

2

2i

n =1

∞

a

n

−ib

inωx

a

n

+ib

−inωx

+ ∑

n

e

+

n

e

,

2

2

n=1

136

Лекции 15 - 16

∞

или f (x)= c0 +∑(cneinωx +c−ne−inωx ), где введены обозначения:

n=1

c0

=

a0

, cn =

an − ibn

, c−n =

an + ibn

=

, n N .

cn

2

2

2

Получим выражения для комплексных коэффициентов cn и c−n :

a

−ib

1

1 l

1 l

ñn =

n

n

=

∫ f (x)cos nωxdx −i

l

∫

f (x)sin nωxdx

=

2

2

l −l

−l

=

1

l

f (x)

cos(−nωx)+isin (

−nωx)

dx =

1

l

f (x)e−inωxdx.

2l −∫l

2l −∫l

a

n

+ib

1 l

ω

Аналогично для c

имеем c

=

n

=

f (x)ein x dx , где n =1,2,...

−n

−n

2

2l −∫l

При n = 0 имеем c

=

a0

=

1

l

f (x)dx .

0

2

2l −∫l

Если считать номер n не натуральным, а целым числом, n = 0, ±1, ±2, ... , все формулы для вычисления коэффициентов ряда можно записать единооб-

		1	l	f (x)e−	inπx
	разно: c =				l dx , n = 0, ±1, ±2, ... , а сам ряд Фурье в виде
		2l −∫l
	n
					∞	inπ x
					f (x)= ∑ cne l .

n=−∞

Эта сумма называется рядом Фурье в комплексной форме, слагающие ее

inπ x

функции cn e l - комплексными гармониками, коэффициенты cn - комплексными амплитудами гармоник.

Ряды Фурье

137

• Пример: •

•• Разложить в комплексный ряд Фурье периодическую

функцию f (x) с

периодом 2π, если на [−π;π].

•

1,

x

[0,π];

f (x)=

−1, x (−π, 0).

•

Решение:

• Вычислим комплексные коэффициенты Фурье:

1

π

• c0 =

−∫π

f (x)dx = 0 ;

2π

1

π

−inx

1

0

−inx

π

−inx

•

cn =

∫

f (x)e

dx =

∫ f

(x)e

dx +

∫ f (x)e

dx

=

2π

2π

−π

−π

0

1

0

−inx

π

−inx

1

π

−π

−inx

e−inπ +einπ −2

•

=

− ∫ e

dx + ∫e

dx =

∫

+ ∫

e

dx =

=

2π

−2πni

2π −π

0

0

0

1

−cosπn

0,

n = 2m,

•

m Z.

=

=

2

1,

πni

iπ (2m +1), n = 2m +

•

Выпишем разложение f (x):

2∞ ei(2m+1)x

•f (x)= iπ m∑=−∞ (2m +1) =

2

ix

−ix

e3ix −e−3ix

e5ix −e−5ix

•

=

e

−e

+

+

+

...

=

3

5

iπ

4

ix

−e

−ix

e

3ix

−e

−3ix

e

5ix

−e

−5ix

•

=

e

+

+

+...

=

π

2i

3 2i

5 2i

(

4

sin x

sin 3x

sin 5x

4

∞ sin

2n +1 x

•

∑

)

=

+

+

+...

=

.

π

1

3

5

π

2n +1

n=0

•Как видно, по комплексной форме ряда Фурье легко восстанавливается его обычный вид (обычное разложение было получено ранее, стр.132).

16.5.Интеграл Фурье

Функцию f (x), удовлетворяющую на отрезке [−l;l] условиям теоремы Дирихле, можно разложить в ряд Фурье:

	138										Лекции 15 - 16
					a0			∞
		f (x)		=				+∑(an cos kn x +bn sin kn x);
						2		n=1
	где	an =	1 l	f (x)cos kn x dx , (n = 0,1, 2,...);
			l −∫l
		b	=	1 l		f (x)sin k				n	x dx , (n =1,2,...),
		n		l −∫l
								πn
	и введено обозначение:			kn		=			(так называемые волновые числа).
								l
	Функция	f (x) может быть периодической с периодом 2l или непе-

риодической. В последнем случае предполагается, что с отрезка [−l;l]

на всю числовую ось функция продолжена периодически.

Рассмотрим случай, когда непериодическая функция задана на всей числовой оси (−∞;∞), на любом конечном отрезке [−l;l] удовлетворяет усло-

виям теоремы Дирихле и абсолютно интегрируема на всей числовой

∞

оси, т.е. ∫ f (x) dx = M < ∞.

−∞

Подставим в ряд значения коэффициентов an и bn :

1

l

∞

l

f (x)=

−∫l

f (t)dt + ∑n=1

1l −∫l

f (t)(cos kn x cos knt +sin kn x sin knt)dt =

2l

1

l

1

∞ l

=

∫ f (t)cos knt dt +

∑∫ f (t) cos kn (x −t)dt .

2l

l

−l

n=1 −l

Устремим l

к бесконечности. Предел первого слагаемого

1

l

f (t)dt

≤ lim

1

l

f (t)

dt ≤ lim

1 ∞

f (t)

dt = lim

M = 0 .

lim

2l −∫l

2l −∫l

2l −∞∫

l→∞

l→∞

l→∞

l→∞

2l

Преобразуем второе слагаемое (сумму):

1

∞ l

1

∞

l

∑∫ f (t) cos kn

(x −t)dt =

∑F

(kn ), где F (kn )= ∫ f (t) cos kn (x −t)dt

l

n=1 −l

l

n=1

−l

(этот интеграл зависит и от x , но в данном случае нас интересует только зависимость от волновых чисел kn ).

Ряды Фурье

139

Заметим, что волновые числа

kn =

πn

образуют арифметическую про-

l

грессию с разностью ∆kn =

π , причем lim ∆kn = 0

. Это позволяет преоб-

разовать сумму:

l

l→∞

1 ∑F (kn )π

= 1 ∑F (kn ) ∆kn ;

1 ∑F (kn )=

∞

∞

∞

l

l

n=1

π n=1

π n=1

последнее представление позволяет рассматривать ряд как интегральную сумму:

				1	∞				1	∞
		nlim→∞			∑F (kn ) ∆kn =					∫F (k )dk ,
				π					π
	или				n=1					0
		1	∞			1	∞	∞
	f (x)=		∫F (k )dk =				∫dk ∫ f (t)cos k (x −t)dt .
		π				π
			0				0	−∞

Эта формула называется формулой Фурье, а интеграл, стоящий в правой части, – интегралом Фурье. Функция F (k ) называется спек-

тральной плотностью.

Это название связано со следующими обстоятельствами: для пе-

риодической

функции

f (x)

с

периодом

2l набор величин

D =

a

2 + b 2

показывает,

в какой мере в разложении функции f (x)

n

n

n

nπ x

nπ x

представлены

различные

гармоники

cos

,

sin

и называется

l

спектром функции f (x).

l

f (x) спектр - функция целочисленно-

Для периодической функции

го аргумента, т.е. последовательность, величины отдельных членов которой показывает вклад соответствующих гармоник ( f (x) составляется

как сумма бесконечного, но счетного количества гармоник). Для непериодической функции f (x) в разложении ее на простейшие периодиче-

ские составляющие присутствует несчетное количество слагаемых (интеграл), величина F (k )∆k описывает вклад гармоник с волновыми чис-

лами из интервала (k − ∆2k ;k + ∆2k ).

Интеграл Фурье можно представить в виде, подобном ряду Фурье: