Лекции_3_сем
.pdfФункциональные ряды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Представим arc tg x = ∫0 |
dt |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1+t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической |
|
||||||||||||||||||||
прогрессии |
|
|
|
1 |
|
=1−t2 +t4 −t6 +…, |
|
−1 < x <1. |
|
||||||||||||
1 |
+t2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
arctg x = ∫x (1−t2 +t4 −…)dt = x − |
x3 |
+ |
x5 |
|
− |
…. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
3 |
|
|
x |
5 |
|
∞ |
|
x |
2n−1 |
|
|
|
|
|
|||||
arctg x = x − |
|
|
+ |
|
−…= ∑(−1)n−1 |
|
|
|
|
|
, |
−1 ≤ x ≤1. |
(7) |
||||||||
3 |
|
|
|
|
2n −1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
n=1 |
|
|
|
|
Здесь учтено, что при x = ±1 полученный ряд сходится по признаку Лейбница.
При x =1 получаем ряд Лейбница для вычисления числа π :
π4 =1 − 13 + 15 −….
8.f (x)= (1+ x)m , m - произвольное постоянное число.
f (x)= (1+ x)m , |
f (0)=1 |
f ′(x)= m(1+ x)m−1 , |
f ′(0)= m |
f ′′(x)= m(m −1)(1 + x)m−2 , f ′′(0)= m(m −1)
……………………………………………………………………
f (n) (x)= m(m −1)… m −(n −1) (1 + x)m−n , f n (0)= m(m −1)… m −(n −1) .
(1+ x)m =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(m − |
1) |
|
|
|
|
m(m |
−1)… m −(n −1) |
|
||||||||||||
+ mx + |
|
|
x2 |
+…+ |
|
|
|
|
|
|
|
xn +… |
= |
|||||||||||||||||
1 2 |
|
|
|
1 2 |
3…n |
|
||||||||||||||||||||||||
=1+ ∑m(m −1)…(m −n +1)xn x (−1,1). |
|
|
|
|
|
(8) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Область сходимости этого ряда находится по признаку Далам- |
|
|||||||||||||||||||||||||||
бера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(m −1)…(m −n)xn+1n! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
R =lim |
u |
=lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(n +1)! m(m |
−1)… m −(n −1) xn |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
un |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x |
|
lim |
|
n − m |
|
|
= |
|
x |
|
<1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Можно доказать, что Rn (x)→ 0 для x (−1,1). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции 12 - 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
m(m −1)…(m − n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Ряд (1+ x)m =1+ ∑ |
xn , |
|
|
x (−1,1) называ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ется биноминальным рядом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
При различных постоянных m получим разложения сле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
дующих функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1) |
|
m = −1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
=1− x + x2 − x3 +…= |
∑(−1)n xn ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
=1 + x + x2 + x3 +…= |
∑xn ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2) m = |
1 |
|
: |
|
|
|
1+ x =1+ |
1 x − |
|
1 |
|
|
x2 |
+ |
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
x3 −…; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 4 |
|
|
2 4 |
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3) |
|
m = − |
1 |
: |
|
|
1 |
|
|
=1 − |
|
1 x + |
|
1 3 |
x2 |
− |
|
|
1 3 5 |
|
|
x3 +…. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
2 4 6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9. |
f |
|
x = arcsin x, |
|
x −1,1 , arcsin x = |
|
x |
|
|
|
|
dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
1 −t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Разложим подынтегральную функцию в биноминальный |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ряд (при m = − |
1 и |
x = −t2 ) |
и проинтегрируем почленно: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
3 5 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x = |
∫0 |
1 + |
|
t |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
+ |
|
|
|
3 |
|
|
t |
|
|
+… |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
2! |
|
|
2 |
|
3! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 5…(2n −1) |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
…+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
+… dt |
|
|
= x + |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
+…= |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
n |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
2! 2 |
2 |
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑1 3n 5…(2n −1)x2n+1, x (−1, 1). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
2 n!(2n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||||||||||
|
Полученные разложения можно использовать как известные для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разложения сложных функций |
|
f (u (x)) |
и разложений по степеням дву- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
членов (x − x0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Пример: •
• |
• |
1) |
. Из разложения экспоненты (1), |
заменяя x на − x2 , получим, |
||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
4 |
∞ |
x |
2n |
|
|
|
что e−x2 =1 − |
|
+ |
|
−…= ∑(−1)n |
|
, x (− ∞, ∞). |
||||
|
|
|
|
|
! |
n! |
||||||
|
|
|
1! |
2 |
n=0 |
|
||||||
|
• |
2) |
. Заменяя x на − x , из разложения для логарифмической функ- |
|
Функциональные ряды |
|
|
|
|
|
|
|
113 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ции ln(1 + x) (6) получим, что |
|
|
|
|
|
|
||||
|
• ln(1 − x)= −x − |
x |
2 |
|
x |
3 |
∞ |
x |
n |
|
|
|
|
− |
|
−…= −∑ |
|
, −1 < x <1. |
|
||||
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
|
2 |
3 |
n=1 |
|
|
||||||
|
• 3). Разложить функцию ln x по степеням (x −1). |
|
•Так как ln x = ln(1 + (x −1)), искомое разложение получается из раз-
ложения ln(1 + x) (6) при замене x на (x −1):
|
|
|
|
(x −1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
(x −1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
• ln x = (x −1)− |
|
|
+ |
(x −1) |
−…= |
∑(−1)n−1 |
|
|
, −1 < x −1 ≤1, |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x (0,2] |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|||
• |
4). Разложить в ряд по степеням (x + 3) |
функцию ln(2 |
−5x), x < |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln(2 −5x)= ln(2 −5(x + 3)+15)= ln17 1 |
|
5 |
(x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||
• |
− |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5(x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5(x + 3) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= ln17 + ln 1 − |
|
|
|
|
|
= (из примера 2) при x , равном |
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
17 |
|
|
|
17 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
5 |
(x + 3) n |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
5 n (x + 3)n |
|
|
|
|
||||||||||
• |
следует) = ln17 − ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
= ln17 − ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x + 3) |
n=1n n |
|
17 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
17 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
−17 |
|
|
|
|
17 |
32 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
• |
−1 < |
|
|
|
|
< 1, |
|
|
|
|
5 |
|
< x + 3 < |
|
5 , |
− 5 |
|
< x < 5 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Можно убедиться, что при x = − 325 ряд является условно сходя-
щимся, а при x = 52 он принимает вид гармонического ряда и рас-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ходится. Интервал сходимости |
x − |
|
, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
5). Разложить функцию cos x по степеням x − |
2 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||
• |
Введем |
|
|
|
|
новую |
переменную |
|
|
|
|
x − |
= t , |
тогда |
|||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos x = cos t |
2 |
= −sin t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• |
Из разложения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
t |
3 |
|
|
t |
5 |
|
∞ |
− |
t |
2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
−sint = − t − |
|
|
+ |
|
−… |
= −∑(−1)n 1 |
|
|
|
, −∞ < t < ∞. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2n −1)! |
|
||||||||||||||||
|
|
3! |
|
5! |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
•Переходя к старой переменной, получим:
|
∞ |
|
|
|
|
π |
2n −1 |
|
|
|
|
|
|
π |
3 |
|
|
|
π |
5 |
|
|
|
n −1 |
x − |
2 |
|
|
π |
|
x − |
2 |
|
|
x − |
2 |
|
|
|||||
|
cos x = − ∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
• |
|
|
|
|
|
= − x − |
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+… |
||
|
|
(2n |
−1)! |
2 |
|
3! |
|
|
5! |
|
|||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
116 |
Лекции 12 - 14 |
13.6.2. Вычисление интегралов, не берущихся в элементарных функциях
Рассмотрим определенный интеграл с конечными пределами вида
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫b |
f (x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1). Для f (x)= e−x2 =1 − x2 |
+ |
|
x4 |
− |
x6 |
|
+…, получим так называемый инте- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
грал Лапласа: |
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
4 |
|
|
|
|
t |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Ф(x)= ∫e−t |
dt |
= ∫ 1 |
−t2 + |
|
|
|
− |
|
|
+ |
… dt |
= |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
t |
− |
t |
+ |
t |
− |
|
t |
|
|
+… |
|
|
= x − |
|
x |
|
+ |
x |
− |
|
x |
+… |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 1! 3 |
|
2! 5 |
|
3! |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1! 3 |
|
2! 5 |
|
3! 7 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определим, сколько членов ряда нужно учесть, чтобы получить ре- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зультат с точностью 0,001. x =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∫e−t2 dt =1 − |
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
+… |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1! 3 |
2! 5 |
|
3! 7 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд сходится по признаку Лейбница при этом S < u1. |
отбросим члены для ко- |
||||||||||||||||||||
торых |
1 |
≤ 0,001 |
n = 0, 1, 2,…. n = 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n!(2n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2). Для f (x) |
= sin x = x − |
x3 |
|
+ |
x5 |
−…, |
можно вычислить так называемый |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
интегральный синус: |
|
3! |
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
x |
∞ |
−1 n t2n+1 |
∞ |
|
( |
−1 n |
x |
∞ |
( |
−1 n |
|
x |
2n+1 |
|
||||
Si x =∫sin |
t dt =∫1∑( |
) |
|
|
dt =∑ |
) |
|
∫t2ndt =∑ |
) |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
(2n +1)! |
(2n +1)!(2n +1) |
||||||||||||||||
0 |
t |
0 t n=0 (2n +1)! |
n=0 |
|
0 |
n=0 |
|
13.6.3. Решение дифференциальных уравнений
I.Метод последовательного дифференцирования
y′ = x2 y2 −1, y (0)=1.
Ищем решение в виде: y (x)= y (0)+ y′1!(0)x + y′′2!(0)x2 +….
Функциональные ряды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117 |
||||
По условию y (0) =1, поставляя |
|
x = 0 |
в дифференциальное уравне- |
||||||||||||||
ние y′ = x2 y2 −1, |
получаем y′(0) = −1. |
|
|
|
|
||||||||||||
Последовательным дифференцированием исходного дифференци- |
|||||||||||||||||
ального уравнения находим: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y′′ = 2xy2 + 2x2 yy′, y′′(0) = 0; |
|
|
|
|
|||||||||||||
y |
′′′ |
= 2 y |
2 |
+ 4xyy |
′ |
+ 2x |
2 |
′ |
2 |
+ 2x |
2 |
′′ |
y |
′′′ |
(0) = 2 и т.д. |
||
|
|
|
|
(y ) |
|
|
yy |
, |
|
Витоге y(x)=1 − x + 13 x3 −….
II. Метод неопределенных коэффициентов
y′′ = 2xy′+ 4 y, y = 0, y′ =1 при x = 0. )
Ищем решение в виде:
y = a0 + a1x + a2 x2 +… an = ? a0 = 0, a1 =1 из ) y = x + a2 x2 + a3 x3 +…
y′ =1 + 2a2 x +3a3 x2 +… y′′ = 2a2 +3 2a3 x +….
Подстановка в уравнение дает:
2a2 + 6a3 x +12a4 x2 +…= 2x + 4a2 x2 + 6a3 x3 +… …+ 4x + 4a2 x2 + 4a3 x3 +…
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:
x0 : 2a2 = 0→ a2 = 0;
x1 : 6a3 = 2 + 4 → a3 =1;
x2 :12a4 = 4a2 + 4a2 → a4 = 0;
……
an = 2a−n−2 n 1
……
a5 = 24 = 12 , a6 = 0,…. y = x + x3 + 12 x5 +….
118 |
Лекции 12 - 14 |
14.1 Ряды в комплексной области. Числовые ряды
Пусть zn = an +ibn , n N - последовательность комплексных чисел.
∞ |
(1) называется числовым ря- |
О Выражение ∑zn = z1 + z2 +…+ zn +… |
|
n=1 |
|
дом в комплексной плоскости. |
|
ТРяд (1) сходится, если существует конечный предел
S =limS |
=lim |
n |
z |
=lim (a +ib )+(a +ib )+…+(a +ib ) = |
|||
|
|||||||
n→∞ |
n |
n→∞ |
∑ k |
n→∞ 1 1 |
2 2 |
n n |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
= A+i B, |
|
|
=lim ∑ak +i∑bk |
|
|
|||||
n→∞ k=1 |
k=1 |
|
|
|
|
где A и B - пределы соответствующих частичных сумм рядов, составленных из действительных и мнимых частей чисел zn .
Необходимым и достаточным условием сходимости ряда (1) явля-
∞ |
∞ |
ется одновременная сходимость числовых рядов ∑an |
и ∑bn с |
n=1 |
n=1 |
действительными членами. |
|
∞
ТЕсли сходится положительный ряд ∑ zn , составленный из модулей
n=1
членов ряда (1), то ряд (1) так же сходится. Напомним, что
eiϕ = cosϕ +isinϕ, eiϕ = cos2 ϕ +sin2 ϕ =1. z = x +iy = x2 + y2 .
•Пример: •
•• Исследуйте на сходимость ряды:
|
∞ |
e |
iπn |
∞ |
(cosπn +i sin πn) |
∞ |
(−1) |
n |
||
• |
1). ∑ |
|
|
|
= ∑ |
= ∑ |
сходится условно. |
|||
|
|
n |
|
n |
n |
|||||
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
n=1 |
|
|||
|
∞ |
|
iπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
сходится абсолютно, поскольку |
||||||
• |
2). ∑e |
|
||||||||
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
Функциональные ряды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
• |
а) |
|
zn |
|
= |
|
|
|
, |
ряд |
|
|
∑ |
|
сходится абсолютно; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∞ |
|
|
iπ |
|
|
|
|
∞ |
|
cos |
|
π |
|
∞ |
|
sin |
π |
cos |
π |
∞ sin |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
• |
б) ∑e |
|
2n |
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
+ i∑ |
|
|
|
|
|
, ряды ∑ |
|
|
n |
|
и ∑ |
|
|
n |
|
сходятся |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
n |
2 |
|
|
n |
2 |
|
n |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
абсолютно по теореме сравнения со сходящимися рядом ∑ |
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
так как |
|
|
cos n |
|
|
|
≤ |
|
|
1 |
; |
|
|
sin n |
|
≤ |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
3). |
|
|
∞ |
|
|
|
n + 2i |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n=1 (1 +i)n +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
• |
|
|
zn |
|
= |
|
|
|
|
|
|
n |
+ |
|
|
2i |
|
n |
|
= |
|
|
|
|
(n + 2i )n |
|
|
|
= |
|
|
(n2 + |
4)n 2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + i )n + |
3 |
|
|
|
|
((1 + i )n + 3) |
n |
|
|
|
((n + 3)2 |
+ n2 ) |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
• |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2n |
+ 6n |
+ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Сравним полученный ряд со сходящимся рядом
• |
∞ |
|
1 |
n 2 |
∞ |
|
1 |
, |
|
|
∑ |
|
|
|
=∑ |
|
|
|
|
|
|
( |
2 ) |
n |
|
||||
|
n =1 |
|
2 |
n =1 |
|
|
•который представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:
|
|
|
|
n |
2 |
+ 4 |
|
n 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2n |
2 |
|
+ 6n |
+ 9 |
|
|
||
• |
lim |
|
|
|
|
=1, |
|||||
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
||||
|
n→∞ |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• исследуемый ряд сходится абсолютно.
•
|
∞ |
3 |
|
|
|
2n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
3 |
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|||||
• |
|
n + i |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.к. ряд |
|
n |
сходится по |
||||||||||||
4). ∑ |
|
3n |
− 2n |
расходится, |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
n=1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
un+1 |
|
|
|
(n +1)3 2n |
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
признаку Даламбера |
|
|
= lim |
|
|
n+1 |
|
3 = |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||
|
lim |
un |
|
2 |
n |
2 |
<1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
2n |
|
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
а ряд ∑ |
|
|
|
расходится по признаку сравнивания с гармо- |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
− 2n |
||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
(2n + 5)n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ническим рядом ∑ |
|
|
: lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
2 |
− 2n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n→∞ 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|