Лекции_3_сем

Теория поля									81
9.3.2. Оператор Лапласа
	Дифференциальные операции второго порядка возникают в результате
двукратного применения к полям оператора «набла».
	Если в области G задано скалярное поле u =u(P) ,						то операция взятия
градиента порождает			векторное		поле: grad(u) . В			векторном	поле
u = grad (u)		операция	взятия дивергенции			порождает		скалярное	поле:
( u) = div(grad (u)) ,			а	операция взятия		ротора	-	векторное	поле
×u = rot(grad (u)) .
	Если в области G задано векторное поле a = a(P) ,						то операция взятия
дивергенции порождает скалярное поле: div(a) = ( a) .								В скалярном поле
div(a) = ( a)		операция		взятия	градиента	порождает		векторное	поле:
( a) = grad (div(a)) .
	Если в области G задано векторное поле a = a(P) ,						то операция взятия

ротора порождает векторное поле rot(a) . Применяя повторно к этому полю

оператор , получим скалярное поле					div(rot(a)) = ( ×a )и векторное
поле rot(rot(a)) = × ×a				.
	При помощи оператора Гамильтона основные понятия теории поля
можно записать в виде операций векторной алгебры.
	Рассмотрим некоторые операции второго порядка.
1.	Вихревое поле является соленоидальным: div(rot(a)) = 0 .
	Раскроем смешанное произведение, учитывая, что векторное произведе-
	ние одинаковых векторов равно нулю:
	( ×a )=(a × )=(a 0)=0.
2.	Векторное	поле	a = grad(u)		является		безвихревым, так как
	rot(grad(u)) =0. Действительно, ×u					= × u = 0 u = 0.

3.Рассмотрим операцию div(grad(u)).

∂u

i +

∂u

j +

∂u

=

∂2u

+

∂2u

+

∂2u

=∆u .

div(grad (u)) = ( u) = div

∂x

∂y

∂z

k

∂x

2

∂y

2

∂z

2

	82										Лекция 5 - 9
			Дифференциальный оператор вида ∆ =		∂2			∂2		∂2
		О			∂x2 +			∂y2 +		∂z2 называется опера-
			тором Лапласа. Оператор Лапласа можно представить как скалярное
			произведение оператора Гамильтона самого на себя:
			∆ = ( ) = = ( )2 =		∂2	+		∂2	+	∂2	.
				∂x2			∂y2			∂z2

Уравнение вида ∆u = 0 называется уравнением Лапласа и является одним из основных уравнений математической физики. Непрерывное решение уравнения Лапласа u(x, y, z) называется гармонической функцией. Соответствующее скалярное поле называется гармоническим или лапласовым.

!Векторное поле является гармоническим, если оно является одновременно потенциальным и соленоидальным: rot a = 0; div a = 0 .

!Рассмотрим операцию rot(rot(a)).

Формула					двойного	векторного		произведения	дает:
			= b(a c) − c(a b)			{формула		«бац минус цаб»}.	Тогда
a × b ×c
× ×a				=	( a) − a( ) =		diva − 2a = grad (diva) − ∆a .

Дифференциальные операции второго порядка удобно свести в таблицу.

	Скалярное поле		Векторное поле
	grad	div		rot
grad		grad(diva)
div	div(grad(u)) = ∆u			div(rot(a)) = 0
rot	rot(grad (u)) = 0			rot(rot(a)) =
				grad (diva) − ∆a

Пример:

Законы электромагнетизма описываются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме:

ε ∂E	=[ × H ], ; −	µ ∂H	=[ ×E], ; ( E) = 0; ( H ) = 0 .
c ∂t		c ∂t
Иначе:
ε ∂E	= rotH (1),	divE = 0 (2); −		µ ∂H	= rotE (3), divH = 0	(4).
c ∂t				c ∂t

Теория поля	83
В данном случае нет зарядов и токов, а E ,	H - векторы напряжённости

электрического и магнитного полей; ε , µ - электрическая и магнитная проницаемость; c - скорость света.

Если продифференцировать (1) по t и подставить ∂∂Ht из (3), то получим

ε ∂2 E

=

×

∂H

или

εµ ∂2 E

=

××E

. Преобразуем правую часть по

2

2

2

c ∂t

∂t

c

∂t

(

E

)

− ∆Å .

формуле: × × E

=

Итак, для векторного поля E

имеем уравнение

∂2 Е

=

c2

∆E .

∂t2

εµ

Это одно из основных уравнений математической физики, называемое вол-

новым уравнением.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен владеть следующими понятиями и уметь вычислять:

скалярное и векторное поля, способы наглядного описания (поверхности и линии уровня, векторные линии);

интегральные характеристики векторного поля: поток, способы его вычисления, физический смысл;

линейный интеграл, способы вычисления, физический смысл;

дифференциальные характеристики скалярного и векторного полей: градиент, его свойства и способы вычисления; дивергенция, ее свойства и способы вычисления; ротор, его свойства и способы вычисления;

связь между дифференциальными и интегральными характеристиками (теорема Остроградского – Гаусса, теорема Стокса); инвариантные определения дифференциальных характеристик;

специальные виды векторных полей, их свойства;

операторы Гамильтона и Лапласа.

Лекции 10 - 11 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

В лекциях 10 – 11 рассматриваются числовые ряды – важнейшее средство изображения, изучения и приближенного вычисления чисел и функций. Приведены основные положения, позволяющие исследовать вопрос о сходимости ряда и, в отдельных случаях, приближенно вычислять значение суммы ряда.

10.1.Числовые ряды. Общие положения

10.2.Ряды с положительными членами

10.3.Теоремы сравнения рядов c положительными числами

11.1.Достаточные признаки сходимости числовых рядов

сположительными членами

11.1.1.Признак Даламбера

11.1.2.Признак Коши

11.1.3.Интегральный признак сходимости

11.2.Знакопеременные ряды

11.3.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

10.1.Числовые ряды. Общие положения

∞

О Выражение ∑un = u1 +u2 +…+un +…, где {un} - заданная бесконеч-

n=1

ная числовая последовательность, называется числовым рядом, а

числа un - членами ряда.

ОКонечные суммы S1 = u1 , S2 = u1 + u2 ,..., Sn = u1 +u2 +…+un называются

частичными суммами ряда.

ОЕсли существует конечный предел последовательности частичных

сумм S = lim Sn , то ряд называется сходящимся, а число S - суммой

n→∞

ряда. В противном случае (Sn → ∞, S ) ряд расходится и суммы не имеет.

Пример:

									∞		1
	Исследуйте на сходимость ряд:								∑			.
									n=1 n(n +1)
	Частичная сумма		Sn =			1	+	1	+…+		1		.
				1							n(n +1)
						2 2 3
	Разложим	1	на сумму простейших дробей:											1	=	1 −	1		,
		n(n +1)												n(n +1)			n +1
																n

Числовые ряды

85

тогда

Sn

=1−

1

+

1

−

1 + 1 +... + 1 −

1

=1−

1

,

n +1

n +1

2

2 3 3

n

lim Sn =1, ряд сходится по определению.

n→∞

Пример:

∞

1.

∑n = ∞ , ряд расходится.

n=1

∞

= −1, S2 = 0, S3 = −1, S4 = 0,…

2. ∑(−1)n = −1 +1 −1 +1 −… S1

n=1

Предел частичных сумм не существует, ряд расходится.

∞

3.

∑qn−1 =1+ q + q2 +… По формуле суммы геометрической про-

n=1

b1 (1−qn )

грессии S

=

, для b

=1 получаем

S

n

=

1 − qn

.

n

1−q

1

1 − q

1). Если

q

<1,

то qn →0 и lim S

n

=

1

= S .

n→∞

n→∞

1 − q

2).

Если

q

>1,

то, qn →∞

S

n

→ ∞ предел S

n

не существу-

n→∞

ет.

3).

Если q =1 , то Sn

= n ,

lim Sn

= ∞ .

n→∞

Если q = −1 ,

то Sn

0,

при n четном,

и предел не существует.

=

при n нечетном

1,

∞

сходится при

q

<1;

Итак, ∑qn−1

q

≥1.

n =1

расходится при

ТОтбрасывание конечного числа начальных членов ряда не влияет на его сходимость (но влияет на сумму).

Доказательство:

Рассмотрим ряды:

∞
∑un = u1 + u2 +…+ un +…	(1)
n=1
∞
∑un = um+1 + um+2 +…	(2)

n=m+1

Обозначим сумму отброшенных членов через А. Тогда частичная сумма для ряда (1) при n>m равна Sn = A +δn−m , где δn−m - частичная сумма ряда (2).

86					Лекции 10 - 11
		При n → ∞ :	(n − m) = k → ∞ , lim Sn = A + limδk . Так как существу-
		ет lim A = A ,		n→∞	k →∞
			то Sn и δk	сходятся или расходятся одновременно (по
		n→∞
		теореме о пределе суммы).
				∞
	Т	Если члены сходящегося ряда ∑un = S			умножить на одно и то же
				n=1
		число С, то его сходимость не нарушится, а сумма умножится на
		∞
		это число: ∑Cun =CS .
		n=1
		Доказательство: limCSn =C lim Sn =CS .
			n→∞	n→∞

Пример:

∞

n−1

Ряд ∑aq

q

a −aq

n

a

сходится при

<1.. Sn

=

, S =

n=1

1−q

1−q

∞		∞
Т Два сходящихся ряда ∑an	= A и	∑bn	= B можно почленно склады-
n=1		n=1

∞

вать (вычитать) так, что ряд ∑(an ± bn ) - сходится, и его сумма

n=1

равна A ± B .

Доказательство:

Sn = (a1 ± b1 ) + (a2 ± b2 ) +…+ (an ± bn ) = = (a1 + a2 +…) + (b1 + b2 +…) = An ± Bn ;

lim Sn = lim An ±lim Bn = A ± B.

n→∞ n→∞ n→∞

ТКритерий Коши сходимости числового ряда. Для того чтобы число-

вой ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы дляε > 0, N = N(ε), n > N и k = 1,2,3,… выполнялось неравенство

Sn+k − Sn = un+1 +un+2 +…+un+k < ε .

Числовые ряды

87

Необходимый

признак сходимости

числового

ряда. Если ряд

Т

∞

∑un сходится,

то общий член сходящегося ряда стремится к нулю

n=1

при n → ∞ , limun

= 0.

n→∞

Доказательство:

un = Sn − Sn−1. Так как lim Sn = lim Sn−1

= S, то limun

= 0.

В противном

n→∞

n→∞

n→∞

случае ряд расходится.

Это условие не является достаточным.

∞

1

1

1

1

Покажем, что гармонический ряд ∑

=1 +

+

+…+

+… расхо-

n

2

n

n=1

3

дится, несмотря на то, что lim u

= lim

1

= 0.

n

n→∞

n→∞ n

Рассмотрим

S2n − Sn =

1

+

1

+…+

1

>

1

+

1

+…+

1

= n

1

=

1 .

n

+1

n

+

2

2n

2n

2n

2n

2n

2

Таким образом, критерий Коши не выполняется и гармонический

∞

ряд ∑n=1

1

расходится.

n

Пример:

∞

4 −5n

2

1. Исследуйте на сходимость ряд ∑

.

(n

−1)(n +2)

n=1

Ряд расходится, так как для него не выполняется необходимый

признак сходимости:

4 −5n2

4 −5n2

lim u

n

= lim

= lim

= −5 ≠ 0

−1)(n

+ 2)

n→∞

n→∞ (n

n→∞ n2 + n − 2

∞

n

n

2. Исследуйте на сходимость ряд ∑

.

1

n=1

n +

Проверим выполнение необходимого признака сходимости:

lim u

= lim

1

= lim

1

=

1 ≠ 0 ;

n

1

n

n→∞

n

n→∞ n +1

n→∞

1 +

e

n

n

ряд расходится.

88 Лекции 10 - 11

10.2. Ряды с положительными членами

∞
Рассмотрим числовой ряд ∑un =u1 +u2 +…+un +…, где	un ≥ 0,
n=1

n =1,2,3,… . Для такого ряда Sn+1 = Sn +un+1 ≥ Sn , значит, последователь-

ность частичных сумм возрастает. Из теоремы о пределе монотонной последовательности вытекает следующее.

Условие сходимости ряда с положительными членами: ряд с по-

ложительными членами всегда имеет сумму; она будет конечна (ряд сходящимся), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бес-

конечна (ряд расходящимся) в противном случае.

10.3. Теоремы сравнения рядов с положительными членами

Пусть даны два положительных ряда:

∞
∑un , un ≥ 0	(1)
n=1
и
∞
∑vn , vn ≥ 0 .	(2)

n=1

ТЕсли хотя бы начиная с некоторого n выполняется неравенство

un ≤ vn , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); из

расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Доказательство:

Так как отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не

влияет на сходимость, можно считать, что un ≤ vn			n =1, 2, 3, ….
Для частичных сумм этих рядов выполняется Un		≤Vn .
∞			∞
Пусть ряд ∑vn	сходится, тогда Vn ≤ S, откуда Un	≤ S и ряд ∑un схо-
n=1			n=1
дится.
∞			∞
Пусть ∑un расходится, тогда U n ≥ S , Vn ≥ S и ряд			∑vn расходится.
n=1			n=1

ТЕсли существует конечный предел отношения общих членов (1) и

(2)	lim	un	= k , vn ≠ 0, 0 ≤ k < ∞, то оба ряда либо одновременно схо-
	n→∞ vn

дятся, либо одновременно расходятся.

Числовые ряды

89

Пример:

Исследуйте на сходимость следующие ряды:

∞

1 =

1 +

1

+ 1 +…+

1 +…

1) ∑

n=1

n

2

3

n

Сравним члены этого ряда с членами расходящегося гармониче-

∞

1

.. Так как

1 ≥

1 ,исследуемый ряд расходится.

ского ряда ∑

n=1

n

n

n

∞

1

2) Ряд ∑

сходится по теореме сравнения, так как предел отно-

2

n=1 n

шения общего члена данного ряда к общему члену сходящегося

∞

1

n(n +1)

(доказано

ранее)

ряда

∑

есть

lim

=1, постоянное

n(n +1)

2

n=1

n→∞

(n +1)

число.

∞

1

1

1

1

3) ∑

=1 +

+

+…+…

+… .

n

2

3

n

n=1

n

2

3

n

∞

1

1

1

1

1

Сравним этот ряд с рядом

∑

=

+

+

…+

+…, который

n

2

2

3

n

n=1

2

2

2

2

представляет собой бесконечно убывающую геометрическую про-

грессию со знаменателем q =

1

<1, а следовательно, сходится.

1

1

2

Так как

<

, исследуемый ряд сходится.

nn

2n

∞

1

∞

4) Ряд ∑ln 1

+

= ∑un .

n=1

n

n=1

∞

1

∞

Сравним этот ряд с расходящимся рядом ∑

= ∑vn :

n=1

n

n=1

lim

un

=lim

ln(1+ 1n)

= lim

1n

=1,

с учетом того, что (ln(1+α) ~ α) , α→0.

1

n→∞ v

n→∞

n→∞ 1

n

n

n

Приведем полученные данные о сходимости некоторых рядов, ко-

торые могут быть использованы для сравнения:

∞

1

сходится, еслиα >1,

1. ∑

α

n=1

n

расходится, еслиα ≤1.

∞an сходится, если a <1,

2.∑n=1 n расходится, если a ≥1.

∞

1

3.

∑

сходится.

n(n +1)

n=1

∞

n

a сходится при

q

<1,

4.

∑aq

=

q

≥1.

1

n=0

− q расходится при

90	Лекции 10 - 11

11.1.Достаточные признаки сходимости числовых рядов

сположительными членами

11.1.1. Признак Даламбера

∞

Рассмотрим ряд ∑un с положительными членами и предел отно-

n=1

шения последующего члена ряда к предыдущему.

1) Если un > 0; и 2) существует lim un+1 = l,

n→∞ un

тогда

∞

∑un

n=1

Доказательство:

схо дится, если l <1,расхо дится, если l >1,

п ризн ак н е дает о твета, если l =1.

lim	un+1	= l ε > 0	N : n ≥ N,	un+1	−l	< ε, т.е.	l −ε <	un+1	< l +ε.
n→∞ un				un				un

Рассмотрим 3 случая:

1)l <1.

Выберем ε	столь малым, чтобы l +ε <1, тогда, полагая l +ε = q,
0 < q <1, имеем	un+1 < q, un+1 < un q для n = N, N +1, N + 2,…,uN +1 < uN q,
	un

uN +2 < uN +1 q < uN q2 , uN +3 < uN +2 q < uN q3 и т.д.

Члены ряда uN +1 +uN +2 +uN +3 +…(1) меньше членов геометрической прогрессии: uN q +uN q2 + uN q3 +…(2). Так как q <1, то ряд (2) сходится, значит, по теореме сравнения сходится и ряд (1).

2)	l >1.	un+1 >1,
Возьмем ε > 0 столь малым, что l −ε >1, тогда при n ≥ N
		un

un+1 > un , члены ряда не стремятся к нулю, т.е. не выполняется необходимый признак сходимости ряда, следовательно, ряд расходится.

3)l =1.

Покажем, что в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

	1). Гармонический ряд	∞ 1		расходится, для него lim un+1	= lim	n		=1.
		∑n=1 n
				n→∞ un	n→∞ n +1