МАТЕМАТИКА Ч1.7,8 ФормулыБибл

преобразования строк расширенной матрицы системы . Заметим, что эле-

ментарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных, при этом матрица, соответствующая базисному минору (см. систему (4)), преобразуется к треугольному виду элементарными преобразованиями строк:

a		a ...
	11	12
	0
		a22 ...

... ... ...
	0	0 ...

a1r a2r

...

arr

b1	a1,r 1c1	a1,r 2 c2		a1,n cn r
b2	a2,r 1c1	a2,r 2 c2		a2,n cn r .
....................................................
br ar,r 1c1		ar,r 2c2
				ar,n cn r

Наиболее удобен метод Гаусса – Ньютона, в котором матрицу, соответствующую базисному минору, приводят не к треугольному, а к единичному виду. При этом сразу получается решение системы уравнений:

1		0	...	0
					b1	a1,r 1c1		a1,r 2 c2		... a1,n cn r
	0	1	...	0	b a		c	a	c	... a c
		... ... ...			2	2,r 1 1		2,r 2 2		2,n n r .
...					....................................................
	0	0	...	1	b	a	c	a	c	... a c
					r	r,r 1 1		r,r 2 2		r,n n r

Заметим, что в полученной слева матрице некоторые диагональные элементы могут быть не единицами, а нулями. В этом случае, если справа выражение не равно нулю, то система несовместна.

Однородные системы

Однородная система имеет вид:

a11x1 a12 x2 ...			a1n xn 0,
	a22 x2		a2n xn 0,
a21x1
............................................
a x	a	x ...	a	x	n	0,
m1 1	m2	2	mn

ей соответствует матричное уравнение O .

Однородная система всегда совместна, так как r(A) r A B , посколь-

ку нулевой столбец не меняет ранг матрицы, всегда существует нулевое решение (0, 0, ..., 0) .

Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r(A) n .

Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы

0 .

104

Если r n , то заведомо 0 , тогда возникают свободные неизвестные c1, c2 , ..., cn r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.

Общее решение X при r n может быть записано в матричном виде следующим образом:

X c1 X1 c2 X2 ... cn r X n r ,

где решения X1, X2 , ...Xn r образуют фундаментальную систему решений.

Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы

						x			c ,	c			,	...,	c	n r
							1		1		2
						x2			c1 ,	c2 ,				...,	cn r
X c ,							....................................
	c		,	..., c	n r	x		r	c ,	c			,	...,	c		n r
1		2							1			2	c1						,
													...
												cn r

если последовательно полагать значения параметров равными 1, 0, , 0 ,

0, 1, , 0 ,…, 0, 0, ,1 .

Запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе, именуется разложением общего решения по фундаментальной системе решений.

105

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бугров Е.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии /

Е.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.

2.Бугров Е.С. Высшая математика: Задачник / Е.С. Бугров, С.М. Никольский.

М.: Наука, 1982.

3.Сборник задач по математике для втузов / под редакцией А.В. Ефимова. М.:

Наука, 1993. Т.1; 1994. Т.2.

4.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /

Д.В. Беклемишев. М.: Наука, 1984.

5.Наумов В.А. Руководство к решению задач по линейной алгебре и аналитической геометрии / В.А. Наумов. М.: Наука, 1993.

6.Фадеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре / Д.К. Фадеев, Н.С. Соминский. М.: Наука, 1997.

7.Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. М.: Наука, 1987.

8.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике / Л.А. Кузнецов М.: Высшая школа, 1994.

106