65

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Филиал УГНТУ в г. Октябрьский

Кафедра информационных технологий,

математических и естественных наук

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

По курсу «Высшая математика»

Методические указания и контрольные

задания для студентов заочного отделения

1 Семестр

2010

В учебно – методическом пособии приводится образцы решения задач, подобных вариантам заданий контрольной работы, и варианты контрольных заданий для студентов заочного формы обучения.

Составители: Ихсанова Ф.А., ст. преподаватель

Игтисамова Г.Р., доц., канд. пед. наук

Галеева Ф.Ф., ст. преподаватель

Ларин П.А., ст. преподаватель

Усманова Ф.К., ст. преподаватель

Рецензент Гуторов Ю.А. проф., д-р техн. Наук

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2009

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математика является фундаментальной дисциплиной. Ее преподавание предусматривает:

• развитие логического и алгоритмического мышления;

• овладение основными методами исследования и решения математических задач;

• овладение основными численными методами математики и их простейшими реализациями на ЭВМ;

• выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных (инженерных) задач.

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ

НАД КУРСОМ МАТЕМАТИКИ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам институты организуют чтение лекций, практические занятия и лабораторные работы. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь университета будет достаточно эффективной. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.

1. Чтение учебника

1.1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, выполняя на бумаге все вычисления (в том числе те, которые ради краткости опущены в учебнике) и вычерчивая имеющиеся в учебнике чертежи.

1.2. Особое внимание следует обращать на определения основных понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

1.3. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательств сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем.

1.4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.п. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя.

1.5. Письменное оформление работы студента имеет исключительно важное значение. Записи в конспекте должны быть сделаны чисто, аккуратно и расположены в определенном порядке. Хорошее внешнее оформление конспекта по изученному материалу не только приучит студента к необходимому в работе порядку, но и позволит ему избежать многочисленных ошибок, которые происходят из-за небрежных, беспорядочных записей.

1.6. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студента.

2. Решение задач

2.1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.

2.2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения.

2.3. Решения задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует особо тщательного выполнения, например при графической проверке решения, полученного путем вычислений, то следует пользоваться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб.

2.4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если таковые даны). В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней, числа и т.п.

3. Контрольные работы

3.1. В процессе изучения курса математики студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых – оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него пробелы, желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем.

3.2. Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания объясняется тем, что студент не выполнил это требование.

3.3. Контрольные работы должны выполнять самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться не подготовленным к устному зачету и экзамену.

3.4. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.

ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИКА» ДЛЯ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ

1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1.1. Трехмерное пространство. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейные пространства. Линейно независимые системы векторов. Базис.

1.2. Скалярное произведение в и его свойства. Аксиоматическое определение скалярного произведения в линейном пространстве. Длина вектора. Расстояние. Неравенство Коши – Буняковского. Угол между векторами. Пространство . Ортогональный базис. Разложение векторов.

1.3. Уравнение плоскости в (векторная и координатная формы). Уравнение гиперплоскости в (векторная и координатная формы). Прямая в (векторная и координатная формы).

1.4. Линейные операторы и матрицы. Линейные операторы и матрицы в заданном базисе в пространстве . Сложение, умножение на число, произведение линейных операторов и соответствующих матриц. Линейные операторы и матрицы в . Сопряженный оператор. Сопряженная матрица. Самосопряженные операторы и симметричные матрицы. Ортогональные матрицы.

1.5. Определители второго, третьего порядков. Основные свойства. Определители -го порядка, их свойства. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

1.6. Векторное произведение. Основные свойства. Смешанное произведение и его свойства.

7. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли.

2. Введение в математический анализ

2.1. Элементы математической логики. Взаимно-обратные и взаимно-противоположные теоремы. Необходимость и достаточность. Символика математической логики и ее использование.

2.2. Множества вещественных чисел. Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние грани множеств. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число . Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функций, имеющих предел.

2.3. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций.

2.4. Бесконечно малые функции и их свойства.

2.5. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

2.6. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Их использование при вычислении пределов.

2.7. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность суммы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функции.

2.8. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.

2.9. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

3.1. Производная функция, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса).

3.2. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

3.3. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических функций.

3.4. Дифференцируемость функций. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы дифференциала.

3.5. Производные и их дифференциалы сложных порядков. Формула Лейбница. Неинвариантность формы дифференциалов порядка выше первого.

3.6. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применения. Правило Лопиталя.

3.7. Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций , , , , по формуле Тейлора. Понятие главной части функции, выделение главной части функции. Приложения формулы Тейлора. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

4. Исследование функций с помощью производных

4.1. Условия возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

4.2. Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ «МАТЕМАТИКА» ЗА I СЕМЕСТР

1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Вектор. Линейные операции над векторами. Базисы на плоскости и в пространстве. Декартова система координат. Проекции и координаты вектора. Скалярное и векторное произведение векторов. Условие ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов. Смешанное произведение.

Прямая линия на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве. Кривые и поверхности второго порядка.

Матрицы и действия над ними. Определители. Их свойства. Обратная, транспонированная и ортогональная матрицы, их свойства. Обратная матрица, решение матричных уравнений. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Системы линейных уравнений. Правило Крамера, метод Гаусса.

2. Теория предела и непрерывность функции

Логические символы и операции. Основные понятия теории множеств. Действительные числа. Комплексные числа. Функция. Классификация функций. Рациональные функции. Теорема Безу. Основная теорема высшей алгебры. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Первый замечательный предел. Предел последовательности. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых функций.

Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва и их классификация.

3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная, ее геометрический и механический смысл. Таблица производных. Дифференциал и его приложения. Производные и дифференциалы высших порядков. Векторная функция скалярного аргумента. Функции, заданные параметрически и их дифференцирование. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Приложение дифференциального исчисления к исследованию функций.

4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Функция нескольких переменных. Ее предел и непрерывность. Частные производные и полный дифференциал. Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных. Экстремумы функций нескольких переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.