МАТЕМАТИКА Ч1.7,8 ФормулыБибл
.pdf7. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ
Определители второго и третьего порядка
a |
a |
|
называется матрицей второго |
|
Квадратная таблица чисел вида A |
11 |
12 |
|
|
|
a |
a |
|
|
21 |
22 |
|
порядка.
Определителем квадратной матрицы A второго порядка называется число, рав-
ное det A |
a11 |
a12 |
a |
a |
a |
21 |
a . |
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
11 |
22 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
Квадратная таблица чисел вида |
A |
|
a22 |
a23 |
|
называется матрицей |
||||||
a21 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
|
|
третьего порядка.
Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число, равное
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
det A |
A |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a11a22 a33 a12 a23 a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
Правило треугольников:
Знаки (+) и (–) соответствуют знакам определенных слагаемых, входящих в определитель. Число всех элементов определителя 3-го порядка равно 3 3 = 9.
Свойства определителей
1 ) . Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании:
AT A .
2). При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак. Например
a11 |
a12 |
a13 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
. |
a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
3 ) . Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю. 4). Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на
94
число k равносильно умножению определителя на это число. Например
k a11 |
a12 |
a13 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
k a2 1 |
a2 2 |
a 23 |
k |
a 21 |
a 22 |
a23 |
, k co nst . |
k a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
5). Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю
a11 |
a12 |
a13 |
|
0 |
0 |
0 |
0 . |
a31 |
a32 |
a33 |
|
6). Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.
7). Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей. Например
|
|
|
a/ |
|
a// |
a/ |
a// |
a/ |
a// |
|
a/ |
a/ |
a/ |
|
a// |
a// |
a// |
|
|
|
11 |
|
11 |
12 |
12 |
13 |
13 |
|
11 |
12 |
13 |
|
11 |
12 |
13 |
|
|||
|
|
|
|
a21 |
|
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
. |
|||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
a31 |
|
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
8 ) . Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится. Например
a11 k a21 |
a12 k a22 |
a13 k a23 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
. |
a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
9). Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения (определены ниже):
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
A |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
ai1 Ai1 ai2Ai2 ai3Ai3, i 1, 2,3 |
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
. |
|
|
|
10). Определитель произведения матриц А и В (определено ниже) равен произведению их определителей:
A B A B
Определители n–го порядка
Число всех слагаемых в определителе n -го порядка равно n n n 1 n 2 3 2 1.
Минором Мij элемента аij ( иначе – дополнительный минор элемента аij) определителя n-го порядка называется определитель (n–1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на пересечении которых
95
стоит элемент aij.
.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, Aij ( 1)i j Mij .
Для определителей n -го порядка имеют место все перечисленные выше свойства определителей.
Методы вычисления определителей n–го порядка
Метод понижения порядка (разложение определителя по элементам строки или столбца)
Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Метод сведения к треугольному виду
Используя свойства 1) – 9), определитель преобразуют к виду, когда элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. Преобразованный таким образом определитель равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали.
Матрицы. Виды матриц
Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел aij :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
... |
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
A |
|
a |
|
|
|
|
(a ) |
m,n |
|
|
21 |
22 |
|
|
2n |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
m,n |
ij |
|
|
... |
... |
... |
... |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am2 |
... |
|
|
|
|
Частные виды матриц |
|
|
|
am1 |
amn |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A 2 |
1 |
7,3 - матрица-строка, B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3,5 - матрица-столбец, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
O |
|
0 |
0 |
0 |
|
- квадратная нулевая, |
C |
|
0 |
2 |
0 |
|
- квадратная диагональ- |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
0 |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 11 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|
||
ная, E |
|
0 |
1 |
0 |
|
- единичная, |
D |
|
0 |
7 |
5 |
|
- верхняя треугольная, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96
|
4 |
0 |
0 |
|
|
|
F |
|
1 |
7 |
0 |
|
- нижняя треугольная. |
|
|
|||||
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
, - главная и побочная диагонали.
Операции над матрицами
Транспонирование. Если матрица A имеет размерность m n , транспони-
рованная матрица AT B имеет размерность n m и элементы транспониро-
ванной матрицы вычисляются по формуле aT |
b |
|
a |
ji |
. Например, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ij |
ij |
|
|
|
|
||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
||
- исходная матрица, |
T |
|
|
2 |
5 |
|
- транспонированная. |
|||||||
A |
5 |
6 |
|
A |
|
|
||||||||
4 |
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство. Если A и B матрицы одинаковой размерности, то A B aij bij .
Сумма. C A B cij aij bij ; A B B A (слагаемые одной размерности).
Умножение на число. B A bij aij ;
( )A ( A) , (A B) A B , 0 A O; 1 A A.
Умножение матриц. Произведением матрицы A (ail ) размерности |
m n |
|
на матрицу B (blj ) |
размерности n k называется матрица C cij |
A B |
размерности m k , элементы которой вычисляются по формуле |
|
|
n |
|
|
cij aip bpj |
ai1 b1 j ai2 b2 j ... aik bkj , i 1,...,m , j 1,...,k . |
|
p 1 |
|
|
Иначе: элемент, стоящий на пересечении i –й строки и j –го столбца матрицы произведения cij , равен сумме произведений элементов i –й строки матрицы А
на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В.
97
Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
В общем случае A B B A ; если A B B A, то матрицы перестановочные (коммутирующие).
Свойства:
1)A B C A B C .
2)A B C A C B C .
3)A B C A B A C .
4)A E E A A.
5)A O O A O .
6)A B T BT AT .
(Свойства 4) и 5) справедливы только для квадратной матрицы А).
Обратная матрица
Квадратная матрица A n –го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, A 0 , и невырожденной, если A 0 .
Матрица А-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение: A A 1 A 1 A E .
Если матрица A не вырождена, то существует, и притом единственная, обрат-
ная матрица A 1, равная A 1 |
1 |
AV T , где AV |
Aij - присоединенная мат- |
|
det A |
||||
|
|
|
рица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, стоящих на тех же местах).
Свойства обратной матрицы:
1) A 1 1 A .
2 A 1 1 A 1 .
3A B 1 B 1 A 1 .
4A 1 T AT 1 .
Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы:
1.Находим det A , проверяем det A 0 .
2.Находим Mij - все миноры матрицы A .
3.Определяем Aij ( 1)i j Mij .
4.Строим матрицу алгебраических дополнений AV Aij и транспонируем:
98
AV T Aji .
5.Делим каждый элемент матрицы на det A : A 1 det1 A AV T .
К элементарным преобразованиям строк (столбцов) матрицы относятся следующие:
перестановка строк (столбцов);
умножение строки (столбца) на число 0;
прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число;
Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк
Для данной матрицы A n -го порядка строим прямоугольную матрицу
A A E размера n 2n , приписывая к A справа единичную матрицу. Да-
лее, используя элементарные преобразования строк, приводим матрицу A к
виду E B , что всегда возможно, если матрица невырождена. Тогда B A 1 .
Решение матричных уравнений
Равенство, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, C,…, называется матричным уравнением относительно матрицы X, например, A X B .
Простейшие типы матричных уравнений:
1. |
A X B . Матрица A – квадратная и невырожденная, |
A |
0, следователь- |
||||||||||||||
|
но, существует обратная матрица A 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Умножим уравнение на A 1 |
слева: A 1 A X A 1B, E X A 1B , X A 1B . |
|||||||||||||||
2. |
X A B . Матрица A – квадратная, |
|
A |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Умножим уравнение на A 1 |
справа: |
X AA 1 |
B A 1 |
X B A 1 . |
||||||||||||
3. |
A X B C . Матрицы A и |
B – квадратные, |
|
A |
|
0, |
|
|
B |
|
0. |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Умножим уравнение на A 1 |
слева: A 1 A X B A 1C X B A 1C . |
|||||||||||||||
|
Умножим уравнение на B 1 |
справа: |
X B B 1 A 1C B 1 X A 1 C B 1 . |
Ранг матрицы
Пусть в матрице A размерности m n выбраны k строк и k столбцов,
причем k min m,n . Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных
строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -го порядка. Определитель Mk этой матрицы называется минором k -го порядка матрицы A.
Рангом матрицы A называется число, равное максимальному порядку r отличных от нуля миноров Mk этой матрицы:
r r A rang A.
Матрицы одинаковой размерности называются эквивалентными, что обозна-
99
чается A B , если r A r B .
Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.
Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице A элемент aij 0, тогда M1 0 и rangA 1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки (например,j 1 -го столбца и i 1 -й строки), получаем минор 2-го порядка:
M2 |
ai, j |
ai, j 1 |
. |
|
ai 1, j |
ai 1, j 1 |
|
Если M2 0 , то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то rangA 1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то rangA 2 .
Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M2 и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: Mr 0 , но все Mr 1 0. Тогда rangA r .
Метод элементарных преобразований
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
Кэлементарным преобразованиям матрицы относятся следующие:
перестановка строк (столбцов);
умножение строки (столбца) на число 0;
прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число;
Кроме того, ранг матрицы не меняется при транспонировании матрицы и при отбрасывании нулевой строки (столбца) .
Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует:
1.Переставить строки и столбцы так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент.
2.Все элементы первого столбца, кроме a11 , обратить в ноль с помощью
элементарных преобразований строк:
|
a11 |
... |
a1n |
|
a11 |
... |
a1n |
|||
A |
|
... |
... |
|
|
|
0 |
... |
... |
|
... |
|
|
. |
|||||||
|
|
... |
|
|
|
|
0 |
... |
|
|
|
am1 |
amn |
|
|
amn |
3.Переставить строки со 2–й по m и столбцы со 2–го по n так, чтобы a22 0. Повторить операцию 2) со вторым столбцом: во втором столбце
100
все элементы, кроме a12 и a22 , обратить в ноль.
Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:
|
a11 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
... |
|
A |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Тогда ранг матрицы A равен
a12 ... |
a1,r 1 |
a22 ... |
a2,r 1 |
... ... |
... |
0 ... |
ar 1,r 1 |
0 ... |
0 |
rang A rang A .
a1r |
... |
a1n |
|
a2r |
... |
a2n |
|
|
|||
... |
... |
... |
|
ar 1,r |
... |
|
|
ar 1,n |
|||
arr |
... |
arn |
|
|
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Определения
Рассмотрим систему линейных уравнений вида
a11x1 a12 x2 . . . a1n xn b1,
|
|
a22 x2 . . . a2n xn b2 , |
||
a21x1 |
||||
|
|
|
. . . |
(1) |
|
|
|
|
|
a x |
a x |
. . . a x |
b . |
|
|
m1 1 |
m2 2 |
mn n |
m |
Решением системы линейных уравнений (1) называется такое множество чисел x1 , x2 ,..., xn , при подстановке которых в каждое из уравнений системы по-
лучается верное равенство. |
|
|
записана в матричном виде A X B , где |
||||||||
Система |
(1) |
может |
быть |
||||||||
a11 |
a12 ... |
a1n |
|
|
|
|
|||||
a |
|
a |
|
... |
a |
|
|
- основная матрица системы, |
|||
A 21 |
|
22 |
|
|
2n |
||||||
... |
... ... |
... |
|
|
|
|
|
||||
|
|
am2 ... |
|
|
|
|
|
|
|
||
am1 |
amn |
|
|
|
|
||||||
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
x |
|
- столбец неизвестных, |
b |
|
- столбец свободных членов. |
||||||
X 2 |
|
B 2 |
|
||||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
bm |
|
Система линейных уравнений (1) называется неоднородной, если матрица B не является нуль матрицей O , и называется однородной, если B O . Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и называется несовместной - в противном случае. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.
Системы n линейных уравнений с n неизвестными
В этом случае матрица A – квадратная. Определитель матрицы A называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается сим-
101
волом .
Метод Крамера решения систем n линейных уравнений с n неизвестными
Правило Крамера. Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
x1 |
|
1 |
, x2 |
|
2 |
,… xn |
|
n |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь i - определители, получаемые из главного определителя системы заменой i -го столбца на столбец свободных членов.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
b1 |
|
|
|
Матрица A |
|
B |
a |
a |
|
... |
a |
|
b |
|
|
|
21 |
|
22 |
|
2n |
|
2 |
|
называется расширенной матрицей |
||
|
|
|
... |
... |
... ... |
|
... |
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a |
|
... |
a |
|
b |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
m1 |
m2 |
|
mn |
|
m |
|
||
|
|
|
|
|
|
системы.
Теорема Кронекера Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, rang( ) rang .
Если rang( ) rang то система заведомо не имеет решений. Eсли rang( ) rang , то возможны два случая:
1) rang A n (числу неизвестных) решение единственно и может быть по-
лучено по формулам Крамера;
2) rang A n решений бесконечно много.
Схема отыскания решения системы m линейных уравнений с n неизвестными
Пусть rang( ) rang r и rang A n . Тогда любой отличный от
нуля минор, составленный из коэффициентов матрицы порядка r , можно выбрать в качестве базисного, при этом неизвестные xi , имеющие своими коэффициентами элементы базисного минора, называются базисными неизвестными, а остальные неизвестных свободными. Свободные неизвестные могут принимать произвольные значения. Пусть, для определенности, базисный минор располагается в первых r строках и r столбцах матрицы A системы:
102
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2r |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ar1 |
ar 2 |
... |
arr |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
x , |
x , ..., |
x |
– базисные неизвестные, а |
x |
, ..., |
x |
– свободные |
||||||
|
1 |
2 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
1 |
n |
|
неизвестные.
Перенесем свободные неизвестные в правую часть уравнений системы:
a11x1 |
a12 x2 |
... a1r xr |
b1 a1,r 1xr 1 |
... a1n xn , |
|||||||
|
|
a22 x2 |
... a2r xr |
b2 |
a2,r 1 xr 1 ... a2n xn , |
||||||
a21x1 |
|||||||||||
........................................................................... |
(2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
a |
x |
... a x |
b |
a |
r,r 1 |
x |
... a |
|
x . |
|
r1 1 |
|
r 2 2 |
rr r |
r |
|
r 1 |
|
rn n |
Система (2) равносильна исходной системе (1); ее решение может быть найдено или по формулам Крамера, или матричным способом. При этом базисные
неизвестные x1, |
x2 , ..., |
xr |
|
выражаются определенным образом через свобод- |
||||||||||||||
ные. Если свободные неизвестные принимают значения xr 1 |
c1 , |
xr 2 |
c2 , …, |
|||||||||||||||
xn |
cn r , то базисные неизвестные выражаются через свободные |
|
|
|||||||||||||||
xi |
xi (c1, c2 , ..., |
cn r ) , i 1, 2,..., r . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Общее решение неоднородной системы A X B можно записать в виде мат- |
||||||||||||||||||
рицы–столбца: |
|
|
|
|
|
|
|
c , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
c , |
..., |
c |
n r |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x2 c1 , |
c2 , |
..., |
cn r |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X c , |
|
|
|
|
.................................... |
|
|
|
||||||||
|
|
c |
|
, |
..., c |
x |
|
c , |
c , |
..., |
c |
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
n r |
|
r |
1 |
2 |
|
|
|
n r |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn r |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку свободные неизвестные могут принимать произвольные числовые значения, то исходная система имеет бесконечно много решений.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Элементарными преобразованиями системы являются следующие:
1)перемена местами двух любых уравнений системы;
2)умножение любого уравнения системы на произвольное число k 0;
3)прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число k 0.
Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элементарные
103