МАТЕМАТИКА Ч1.3 Практ
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D 1 |
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3 2 1 2 |
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0 |
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1 2 |
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3 2 |
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0 1 0 |
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2 2 |
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1 2 |
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0 0 1 |
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2 3 |
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1 |
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2 |
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1 |
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2 |
0 |
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0 |
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C |
1 |
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0 |
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2 |
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0 |
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. |
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0 |
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0 |
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2 |
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40
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Тогда |
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1 |
0 |
|
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0 2 |
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|||||||
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0 0 |
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|
X D |
1 |
|
|
1 |
|
|
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|
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3 2 |
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0 |
2 0 |
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C |
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0 |
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1 2 |
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0 |
0 2 |
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0 1 2 |
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3 2 |
. |
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2 |
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0 |
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0 |
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3 |
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|||||||||
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0 |
|
|
|
1 |
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||||||||
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1 |
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||||||
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0 |
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3 |
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1 |
1 |
1 |
|
|
|
Найдите ранг матрицы |
|
|
|
2 |
|
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|
A 2 |
2 . |
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1 |
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1 |
1 |
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|
РЕШЕНИЕ: есть миноры первого порядка, отлич- |
|
||||||||||||||||||||||
|
ные от нуля, например, M1 1; есть миноры второ- |
|
||||||||||||||||||||||
|
го порядка, отличные от нуля, например, |
|
||||||||||||||||||||||
23 |
M2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 2 4 0 ; единственный минор |
2 |
||||||||||||||
|
|
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1 |
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|
|
1 |
|
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|
третьего порядка – определитель матрицы равен |
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1 |
|
1 |
1 |
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||||
|
нулю, M3 |
2 |
|
2 |
2 |
0 . Ранг матрицы |
|
1 1 1
|
r(A) 2 . |
|
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1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
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|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
3 |
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
3 |
9 |
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|
Вычислите ранг матрицы |
|
1 |
1 |
4 |
4 |
9 |
|
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|
|
. |
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|
|
|
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|
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1 |
1 |
8 |
8 |
27 |
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РЕШЕНИЕ: |
|
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|
|
|
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1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
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|
|
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24 |
|
|
3 6 |
6 |
|
|
|
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|
|
|
4 |
||
3 |
9 |
|
|
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|
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1 1 4 4 |
9 |
|
2 |
3 1 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
1 |
8 |
8 |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
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|
|
|
|
|
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|
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0 |
6 3 |
9 |
6 |
|
2 |
2 |
|
|
|
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||||||
|
|
1 1 4 4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
1 |
8 |
8 |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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41
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
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2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
3 1 |
3 |
|||||||||||||
|
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1 1 |
4 4 |
9 |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
8 |
8 |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||
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1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
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|||
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|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
0 |
2 |
4 1 4 |
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|
|
0 0 3 3 |
8 |
|
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|
|
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|
|
1 |
1 |
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
3 |
3 |
8 |
|
4 |
2 |
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
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0 |
2 |
7 |
9 |
26 |
|
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|
|
|
|
|
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|||||
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1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
0 |
3 |
3 |
8 |
|
4 |
3 |
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
0 |
6 |
6 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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0 |
2 |
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0 |
0 |
3 |
3 |
8 |
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. |
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0 |
0 |
0 |
12 |
8 |
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В левом верхнем углу матрицы стоит определитель треугольного вида, который равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали 72 0 , значит, ранг матрицы равен четырем.
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3.4. Системы линейных уравнений |
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|
№ |
Задание |
Ответ |
|
п/п |
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Решите систему линейных уравнений матричным |
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2x 11y 2, |
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методом |
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x 2 y 1. |
1 |
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25 |
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РЕШЕНИЕ: |
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0 |
2 |
11 |
|
x |
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1 |
|
|
2 |
|
|
, |
|
, |
|
|
, |
||||
A |
|
X |
|
|
B |
|
|||
|
|
|
|
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|
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1 |
2 |
|
x2 |
|
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1 |
|
42
|
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|
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11 |
|
1 |
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|||||||||
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2 11 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
11 |
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
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|
|
|
|
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|
|
||
A |
E |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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||||||||
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1 |
|
2 |
0 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
15 |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
11 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
11 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
15 1 |
2 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 5y 5,
Решите систему
6x 10 y 7.
РЕШЕНИЕ:
26 A |
|
3 |
5 |
5 |
|
, |
|
|
3 |
5 |
|
0 , |
1 |
|
5 |
5 |
0 |
несовместна |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
6 |
10 |
7 |
|
|
|
|
|
6 |
10 |
|
|
|
|
7 |
10 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
rang |
A 1, |
rang A |
|
B 2 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
по теореме Кронекера–Капелли система несовместна.
Решите систему линейных уравнений
x 2y 4z 31,
5x y 2z 29,
3x y z 10
и ответьте на вопросы об этой системе.
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 1 |
2 |
27 0 , |
x |
29 |
1 2 |
81, |
5 |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
31 |
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
31 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y |
|
|
5 |
29 |
2 |
|
108 , |
z |
|
|
5 |
|
1 |
29 |
135. |
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
10 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|||||
По формулам Крамера |
x |
|
x |
|
, |
y |
y |
|
, |
z |
z |
|
и |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
|
x |
|
|
3 |
|
|
X |
|
|
|
|
4 |
|
y |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
z |
|
|
|
|
Данная система линейных уравнений:
1)однородна - нет;
2)неоднородна - да;
3)основная матрица системы имеет ранг, равный единице, - нет;
4)основная матрица системы имеет ранг, равный двум, - нет;
5)основная матрица системы имеет ранг, равный трем, - да;
6)основная матрица системы имеет ранг больше трех - нет;
7)ранг основной матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы - нет;
8)ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы - да;
9)система несовместна - нет;
10)система совместна - да;
11)может быть решена методом Крамера - да;
12)может быть решена методом Гаусса - да;
13)имеет базисный минор первого порядка - нет;
14)имеет базисный минор второго порядка - нет;
15)имеет базисный минор третьего порядка - да;
16)имеет базисный минор более третьего порядка - нет;
17)имеет одно базисное неизвестное - нет;
18)имеет два базисных неизвестных - нет;
19)имеет более двух базисных неизвестных - да;
20)не имеет свободных неизвестных - да;
21)имеет одно свободное неизвестное - нет;
22)имеет более двух свободных неизвестных -
нет;
23)решений не имеет - нет;
24)имеет единственное решение - да;
|
Решите систему линейных уравнений |
|
|
|
|||||||||
|
x2 3x3 |
4x4 |
|
5, |
|
|
1 |
||||||
|
x 2x |
|
3x |
|
4, |
|
|||||||
|
3 |
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|||
3x1 |
2x |
2 5x |
4 12, |
|
1 |
||||||||
|
|||||||||||||
|
4x 3x |
|
5x |
|
5. |
|
|
|
|||||
|
2 |
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
Запишем расширенную матрицу системы
0 |
1 |
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
0 |
2 |
3 |
|
4 |
|
1 |
|
|
|||||
|
3 |
2 |
0 |
5 |
|
12 |
|
|
|
. |
|||||
|
4 |
3 |
5 |
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|||||
|
Если 0 , то неизвестные можно найти по формулам Крамера:
x |
1 |
|
x |
|
|
2 |
|
x |
|
|
3 |
|
x |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
, |
|
2 |
|
|
, |
|
3 |
|
|
, |
|
4 |
|
. |
Вычислим основной определитель матрицы системы разложением по элементам первой строки:
|
0 |
1 |
|
3 |
4 |
|
|
|
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 ( 1)1 1 |
2 0 |
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||
3 |
2 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
3 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 ( 1)1 2 |
|
1 |
2 |
3 |
|
3 1 1 3 |
|
1 |
0 |
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
0 5 |
|
|
3 |
2 |
5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
4 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 1 1 4 3 |
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
43 5
0 0 1 30 3 18 4 12 24.
Чтобы получить определитель 1 , заменим в первый столбец столбцом свободных членов
|
|
5 |
1 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
разложим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
0 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
определитель |
|
|
||||||||||||||||
12 |
2 |
0 |
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
по элементам |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
5 |
3 |
|
|
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
второго столбца |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 ( 1)1 2 |
|
4 |
2 |
3 |
|
0 ( 1)2 2 |
|
5 |
3 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
12 |
0 5 |
|
12 |
|
0 5 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
5 |
5 |
0 |
|
|
|
|
||||||
2 ( 1)3 2 |
|
5 |
3 |
4 |
|
3 ( 1)4 2 |
|
5 |
|
3 |
4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4 |
2 |
3 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
0 |
|
|
|
12 |
|
0 |
|
5 |
|
|
1 ( 30) 0 ( 2) 0 3 ( 2) 24.
Аналогично вычисляем 2 , 3 и 4 :
45
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Отсюда |
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x |
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x3 |
3 |
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1 , x4 |
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X |
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1 |
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Решите систему линейных уравнений: |
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2x |
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2x1 4x2 4x3 2x4 2x5 2, |
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2x |
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x |
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РЕШЕНИЕ: |
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0 |
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1 |
0 |
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Запишем расширенную матрицу системы A |
|
B |
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0 |
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0 |
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Ранг основной матрицы системы равен единице и совпадает с рангом расширенной матрицы сис-
46
темы, следовательно, по теореме Кронекера– Капелли система линейных уравнений совместна. Она равносильна уравнению:
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x1 2x2 2x3 x4 x5 1. |
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В качестве базисного неизвестного выберем x1 , |
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остальные неизвестные считаем свободными. При |
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x2 |
c1, x3 |
c2 , |
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x4 c3 , x5 |
c4 |
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выразим базисное |
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неизвестное через эти параметры: |
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||||||||||||||||||||
x1 2c1 2c2 c3 c4 1 . |
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Итак, |
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x1 2c1 2c2 c3 c4 1, |
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|||||||||||||||||||
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x |
2 |
c , |
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||||||
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1 |
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c2 , |
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x3 |
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||||||||
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x |
4 |
c |
3 |
, |
|
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c4 , |
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x5 |
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||||||||
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|
2 |
|
|
|
|
2 |
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|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||
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|
|
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|
|||
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|
1 |
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0 |
|
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0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||
|
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|
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|
|
0 |
|
c2 |
|
|
c3 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
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X c1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
c4 0 |
|
|
0 . |
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
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|
|||
|
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|
|
|
|
|
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|
0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
Решите систему линейных уравнений |
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|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
0 |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
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||||
x1 |
2x2 |
|
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3x3 |
4x4 |
4x5 |
4x6 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
18, |
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
X |
c1 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x2 |
|
3x3 |
4x4 |
4x5 |
4x6 |
|
18, |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
4x |
|
|
4x |
|
4x |
|
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18, |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
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|
|
3 |
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
4x2 |
|
|
6x3 |
8x4 |
8x5 |
8x6 |
36, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
30 2x1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
3x |
6x |
|
|
|
9x |
|
|
|
12x |
|
12x |
|
12x |
|
54, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
8x |
2 |
12x |
3 |
|
16x |
4 |
16x |
5 |
16x |
|
6 |
72. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4x |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
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|
|
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|
|
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|
c3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
3 |
|
|
3 |
|
|||||||||||
|
Запишем расширенную матрицу системы |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
4 |
4 |
|
18 |
|||
|
|
|
0 |
2 |
|
3 |
4 |
4 |
4 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A |
|
0 |
0 |
|
3 |
4 |
4 |
4 |
|
18 |
|||
B |
2 |
4 |
|
6 |
8 |
8 |
8 |
|
36 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
6 |
|
9 |
12 |
12 |
12 |
|
54 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
8 |
12 |
16 |
16 |
16 |
|
72 |
||||
|
4 2 1 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
18 |
|
|
||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
|
2 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
0 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
18 |
|
|
||
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
6 |
9 |
12 |
12 |
12 |
|
54 |
|
|
||
|
|
4 |
|
8 |
12 |
16 |
16 |
16 |
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
6 |
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
|
18 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
18 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 0 3 4 4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 4 |
|
|||||||||
|
|
18 0 2 3 4 |
|
18 . |
|||||||||||||||||
0 0 0 0 0 0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 0 3 4 |
4 4 |
|
18 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В левом верхнем углу матрицы стоит опреде-
|
1 |
2 |
3 |
|
литель z |
0 |
2 |
3 |
6 0 , его можно считать ба- |
|
0 |
0 |
3 |
|
зисным минором. Ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен трем и равен рангу ее расширенной матрицы, следовательно, система совместна по теореме Кронекера–Капелли. Для удобства продолжим преобразования матрицы и приведем базисный минор не только к треугольному, но и к диагональному виду. С помощью
преобразований 1 2 1 получим:
2 3 2
48
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
0 |
0 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Восстановим по полученной матрице решение системы уравнений:
x1 0,
2x2 0,
3x3 4x4 4x5 4x6 18.
Базисный минор содержит базисные неизвестные x1, x2 , x3 . Свободными являются неизвестные
x4 , x5 , x6 . Придадим свободным неизвестным |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значения x4 |
c1, |
x5 c2 , |
x6 |
c3 |
и перенесем их в |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
правую часть уравнений: |
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|
|
||||||||||||||||||||
x1 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3x |
3 |
4c 4c |
2 |
4c |
3 |
18, |
|
x |
3 |
|
|
c |
|
|
|
c |
2 |
|
|
c |
3 |
6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
|
c |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
5 |
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
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c |
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x5 |
c2 , |
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||||||||
x |
6 |
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3 |
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c3. |
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x6 |
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0 |
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0 |
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0 |
0 |
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0 |
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0 |
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0 |
0 |
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4 |
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4 |
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4 |
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6 |
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X c |
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c |
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c |
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3 |
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3 |
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|
3 |
. |
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1 |
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1 |
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2 |
0 |
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3 |
0 |
0 |
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0 |
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0 |
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1 |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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1 |
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Решите систему линейных уравнений |
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x1 2x2 3x3 4x4 4, |
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x3 x4 3, |
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x2 |
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0 |
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8 |
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|
3x2 3x4 1, |
|
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x1 |
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|||||||||||||||
31 7x |
|
|
3x |
x |
3. |
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X |
c |
1 |
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3 |
|||||||||||||||||
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2 |
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6 |
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|||||||||||||||||||||
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2 |
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3 |
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4 |
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РЕШЕНИЕ: |
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1 |
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0 |
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||||||||||
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|||||||||||||
|
Воспользуемся методом Гаусса. Запишем рас- |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ширенную матрицу системы: |
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