4. Полосно-пропускающие фильтры

   1. Общие вопросы

Полосно-пропускающий фильтр представляет собой устройство, которое пропускает сигналы в диапазоне частот с шириной полосы , расположенной приблизительно вокруг центральной частоты₀, рад/с, или, Гц. На рис. 1.24 изображены идеальная и реальная амплитудно-частотные характеристики. В реальной характеристике частоты_ни_впредставляют собой нижнюю и верхнюю частоты среза и определяют полосу пропускания_н<<_ви ее ширину=_в–_н.

В полосе пропускания амплитудно-частотная характеристика никогда не превышает некоторого определенного значения, например А₁(рис. 1.24). Существуют также две полосы задерживания 0<<₁и>₂, где значение амплитудно-частотной характеристики никогда не превышает заранее выбранного значения, напримерА₂. Диапазоны частот между полосами задерживания и пропускания, а именно₁<<w_ниw_в<<₂, образуют соответственно нижнюю и верхнюю переходные области, в которых характеристика является монотонной.

Рис. 1.24. Идеальная и реальная амплитудно-частотные характеристики полосно-пропускающего фильтра

Добротность Q=₀/характеризует качество самого фильтра и является мерой его избирательности. Высокому значениюQсоответствует относительно узкая, а низкому значениюQ– относительно широкая ширина полосы пропускания. Коэффициент усиления фильтра Kопределяется как значение его амплитудно-частотной характеристики на центральной частоте. Таким образом,K=Н(j₀).

Передаточные функции полосно-пропускающих фильтров можно получить из нормированных функций нижних частот переменной Pс помощью преобразования

. (1.35)

Таким образом, порядок полосно-пропускающего фильтра в 2 раза выше, чем порядок соответствующего ему фильтра нижних частот и, следовательно, всегда является четным. Результирующая амплитудно-частотная характеристика полосно-пропускающего фильтра обладает центральной частотой ₀и полосой пропусканияи имеет сходство с характеристикой нижних частот, сдвинутой вверх по частоте от 0 до₀. Таким образом, амплитудно-частотная характеристика полосно-пропускающего фильтра Баттерворта (полученная из функции Баттерворта нижних частот) изменяется монотонно в любую сторону от своего максимального значения и имеет максимально плоскую полосу пропускания (рис. 1.24). Крутизна изменения АЧХ (спада и подъема АЧХ) в два раза меньше, чем у ФНЧ и ФВЧ аналогичного порядка. Так, у ПФ второго порядка крутизна спада и подъема АЧХ – ±20 дБ/дек. Полосно-пропускающий фильтр Чебышева обладает пульсациями в полосе пропускания. В каждом случае центральная частота и частоты среза связанны следующим соотношением

₀=,

где

(1.36)

На рис. 1.25 и 1.26 изображены примеры амплитудно-частотных характеристик фильтра Баттерворта четвертого порядка и фильтра Чебышева четвертого порядка с неравномерностью передачи 1 дБ для частоты ₀= 1 рад/с при различных значениях добротностиQ.

Рис. 1.25. Амплитудно-частотные характеристики полосно-пропускающего фильтра Баттерворта четвертого порядка

Рис. 1.26. Амплитудно-частотные характеристики полосно-пропускающего фильтра Чебышева четвертого порядка

Из этих результатов следует, что увеличение добротности Qприводит к более узким полосам пропускания.