2. Передаточные функции

Поскольку передаточные функции полосно-пропускающих фильтров получаются с помощью использования преобразования вида (1.35) соответствующих функций нижних частот, то передаточная функция полосно-пропускающего фильтра будет состоять из произведения сомножителей, каждый из которых получается из сомножителя функции нижних частот. Для сомножителя функции нижних частот первого порядка

(1.37)

соответствующий сомножитель полосно-пропускающего фильтра представляет собой функцию второго порядка вида

, (1.38)

где С– нормированный коэффициент соответствующего звена нижних частот первого порядка, приведенный в прил. 1 для фильтров Баттерворта и Чебышева.

Полосно-пропускающий фильтр второго порядка получается в том случае, когда соответствующий фильтр нижних частот имеет первый порядок. Таким образом, эта функция нижних частот описывается единственным уравнением (1.37) с С= 1. В этом случае из (1.38) получаем передаточную функцию

(1.39)

полосно-пропускающего фильтра второго порядка.

Передаточную функцию вида (1.39) можно определить как функцию полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева второго порядка, поскольку уравнение (1.37) при С = 1 описывает функцию Баттерворта или масштабированную функцию Чебышева нижних частот первого порядка.

Получаемые из функций нижних частот второго порядка сомножители передаточных функций полосно-пропускающих фильтров Баттерворта или Чебышева имеют следующий вид:

, (1.40)

где ВиС – соответствующие коэффициенты нижних частот (прил. 1).

В (1.38) значение Kопределяет коэффициент усиления звена, а в (1.40) K– общий коэффициент усиления двух звеньев второго порядка, соединенных каскадно для реализации функции четвертого порядка.

Передаточную функцию, заданную уравнением (1.40), можно представить в виде произведения двух функций второго порядка

(1.41)

и

, (1.42)

где

; (1.43)

. (1.44)

Таким образом, для каждого сомножителя второго порядка в соответствующем фильтре нижних частот передаточная функция полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева с порядком n= 4, 6, 8, … будет содержать сомножители, один из которых описывается уравнением (1.41), а другой – уравнением (1.42);K₁иK ₂представляют собой коэффициенты усиления двух полосно-пропускающих звеньев и должны выбираться таким образом, чтобыK ₁K ₂=K.

Типовую передаточную функцию полосно-пропускающего фильтра второго порядка или звена второго порядка полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева более низкого порядка можно записать в следующем виде:

, (1.45)

где параметры ,иполучаются с помощью приравнивания уравнения (1.45) к соответствующим уравнениям (1.39), (1.40), (1.42) или (1.43).

Интересно отметить, что параметр Епредставляет собой добротностьQкаждого звена (см. (1.41) и (1.42)). Как и для фильтров нижних частот и верхних частот, для реализации высоких значенийQобычно требуются высококачественные схемы.

3. Полосно-пропускающие фильтры с многопетлевой обратной связью и бесконечным коэффициентом усиления

Схема с многопетлевой обратной связью (МОС) и бесконечным коэффициентом усиления, изображенная на рис. 1.27, представляет собой один из наиболее простых полосно-пропускающих фильтров второго порядка.

Рис. 1.27. Схема полосно-пропускающего фильтра с МОС и бесконечным коэффициентом усиления

Она реализует функцию полосно-пропускающего фильтра (1.45) при инвертирующем коэффициенте усиления (для > 0 получаем значение –), где

(1.46)

При заданных параметрах ₀,,изначения сопротивлений определяются из следующих соотношений:

(1.47)

Можно выбрать значения емкостей С₁(близкое к значению 10/f₀мкФ) иС₂так, чтобыR₂> 0, и определить значения сопротивлений. Значение емкостиС₂находится из условия

. (1.48)

Пример.Предположим, что необходимо реализовать полосно-пропуска­ющий фильтр второго порядка с центральной частотойf₀= 1000 Гц,Q = 5 и коэффициентом усиленияK= 2. Передаточная функция, задаваемая уравнением (1.38), имеет вид

.

Сравнивая ее с (1.45), находим, что = 0,4,= 0,2 и= 1. ВыбираяС₁= 10/f₀= 0,01 мкФ из уравнения (1.48), получаем

.

Следовательно, допустимо любое положительное значение емкости С₂. Тогда, выбираяС₂= 0,01 мкФ, из (1.47) получаемR₁= 39,79 кОм;R₂= 1,66 кОм;R₃= 159,15 кОм.

Полосно-пропускающий фильтр с МОС, подобно его аналогам нижних и верхних частот, обладает минимальным числом элементов, инвертирующим коэффициентом усиления и способностью обеспечивать значение добротности Q<10 при небольших коэффициентах усиления.