2. Основные понятия алгебры логики

Введение в алгебру логики

Алгебра логики – это формальный аппарат описания логической стороны процессов в цифровых устройствах. По имени автора этого математического аппарата Джорджа Буля его называют булевой алгеброй.

Булева алгебра имеет дело с логическими переменными, которые могут принимать только 2 значения: истина и ложь, true и false, да и нет, 1 и 0. Наиболее распространено последнее обозначение. 1 и 0 – это не числа. Над ними нельзя производить арифметические действия.

Эти логические переменные хорошо описывают состояния таких элементов, как реле, тумблеры, кнопки и т.п., т.е. таких элементов, которые могут находиться в двух состояниях: включено – выключено. К подобным объектам относятся и полупроводниковые логические элементы, на выходе которых может быть лишь один из двух уровней напряжения – низкий или высокий.

Часто высокий = 1 (логич.), низкий = 0 (логич.).

Функции алгебры логики принимают значения 1 или 0 в зависимости от значений аргументов.

Одна из форм задания логической функции – табличная. Можно задавать логические функции словами или алгебраическими выражениями. Пример: компьютер следует приобрести, если есть в этом необходимость и имеются деньги.

Набор трех логических функций НЕ, И, ИЛИ называют булевым базисом.

Если Y – функция, а – аргумент, то можно рассматривать состояния , то есть функция равна аргументу или– это инверсия (рис. 2.1).

Таблица 2.1

Аргументы		Функция
Имеются деньги	Необходимость есть	Приобрести компьютер
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Для 2 аргументов число комбинаций 4, для 3 – 2³ = 8 и т. д. по степеням двойки.

Булевый базис

Функция НЕ – это функция одного аргумента (отрицание, инверсия). Функция отрицания равна 1, когда ее аргумент равен 0, и наоборот. Отрицание отрицания аргумента равно самому аргументу: НЕ (НЕ ВКЛЮЧЕН) = ВКЛЮЧЕН. Электронный логический элемент, реализующий функцию НЕ в виде определенных уровней напряжения, называют инвертором.

Рис. 2.1. Условное графическое обозначение (а) и релейно-контактная реализация

логического элемента НЕ (б) и (в)

На рис. 2.1 показано, что логическая функция НЕ может быть реализована различными способами включения контактных элементов.

Функция И – это функция двух или большего числа аргументов (конъюнкция, логическое умножение). Обозначения: Y = a & b; Y = a ^ b;

Y = a ∙b.

Функция И равна 1 тогда и только тогда, когда все ее аргументы равны 1 (табл. 2.2).

Союз И естественного языка, как правило, выражает именно это отношение. Например: лифт пойдет, если дверь закрыта И кнопка нажата.

В релейно-контактной технике функция И реализуется последовательным включением замыкающих контактов (рис. 2.2). Только когда оба контакта замкнуты (а = 1 И в = 1), по цепи потечет ток и на нагрузке R_н создается падение напряжения U_R_н.

Элемент И часто используют для управления потоком информации. В этом случае на один его вход поступают информационные сигналы, а на другой – сигнал, разрешающий прохождение информации: 1 – пропускать, 0 – не пропускать. Такой элемент часто называют ключом (или вентилем).

Рис. 2.2. Таблица истинности, условное обозначение и релейно-контактная

реализация логического элемента И

Условное изображение элемента И в схемах показано на рис. 2.2.

Функция ИЛИ – это функция двух или большего числа аргументов (дизъюнкция). Функция ИЛИ равна 1, если хотя бы один из ее аргументов равен 1. В релейно-контактной технике функция ИЛИ реализуется параллельным включением замыкающих контактов (рис. 2.3).

Обозначение функции ИЛИ: Y = a b; Y = a + b. Последнее обозначение (знак +) применять не рекомендуется, поскольку в сложных случаях дизъюнкция (другое обозначение OR) будет смешиваться с двумя другими операциями: арифметическим суммированием и сложением по модулю 2.