биофизика

P(A) = 0,3 0,1 + 0,491 0,4 + 0,105 0,2 + 0,009 0,01 = 0,518.

По формуле (7.18) найдем:

a) P(H1 / A) = 0,3 0,0518,1 = 0,58; b) P(H 4 / A) = 0,1 0,0090,518 = 0,002.

Пример 2. В первой коробке 5 белых шариков и 4 черных, во второй

– 3 белых и 1 черный в третьей – 2 белых и 1 черный. Наугад выбирается коробка и из нее два шарика. Оба шарика белые. Найти условную вероятность того, что шары извлекались из первой коробки.

Решение:

Имеют место следующие гипотезы: Н1 –выбрана первая коробка; Н2 –выбрана вторая коробка; Н3 –выбрана третья коробка.

Т.к. выбор каждой из коробок равновероятен, то

p(H1 ) = p(H 2 ) = p(H3 ) = 13 .

Найдем условные вероятности. 1 коробка:

n = C92 =	9	8	= 36, m = C52 =		5	4	=10.
	1	2			1	2
p(A H1 ) =		10	=	5 .
		36		18

2 коробка:

n = C42 = 6, m = C32 = 3. p(A H 2 ) = 12 .

3 коробка:

252

n = C32 = 3, m = C22 =1. p(A H3 ) = 13 .

Подставляя эти данные в формулу (7.18), найдем:

					1			5							1
p(A H1 ) =			3					18						=		.
		1										1			4
			5				+	1			+
			(										)
		3		18				2				3

7.1.7. Формулы Бернулли и Пуассона.

Схемой Бернулли будем называть схему одинаковых независимых испытаний, каждое из которых заканчивается одним из двух несовместимых между собой исходов: или наступает некоторое событие А или оно не наступает, т. е. наступает противоположное ему событие A . Независимость испытаний означает, что вероятность события А в любом испытании не зависит от того, какими сведениями мы располагаем относительно результатов других испытаний. Кроме того, в схеме Бернулли предполагается, что вероятность события А в одном испытании остается постоянной во всей серии испытаний.

Многие практически важные задачи приводят к отысканию вероятности Pn(m) того, что при n испытаниях, произведенных по схеме Бернулли, событие А произойдет m раз (m = 1, 2, 3, ..., n), если известна вероятность р события А в каждом испытании.

Pn(m)=Cnm pm qn-m , где m = 0, 1, 2, ..., n. (7.19)

Эта формула называется формулой Я. Бернулли.

Пример 1. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: 1) три партии из четырех, или пять из восьми.

253

2)не менее трех партий из четырех, или не менее пяти партий из восьми?

Решение:

Так как противники равносильны, то вероятность выигрыша и проигрыша в каждой партии одинаковы.

1) Вероятность выиграть три партии из четырех:

	P (3) = C 3			1		3	1		1	.
								=
				2			2		4
	4	4

Вероятность выиграть пять партий из восьми:

	P (5) = C 5			1	5		1		3	7	.
									=
				2			2			32
	8	8

Т.к. 14 > 327 , то вероятнее выиграть три партии их четырех. 2) Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех

p = P4 (3)+ P4 (4)= 14 + 161 = 165 .

Вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми:

p = P8 (5)+ P8 (6)+ P8	(7)+ P8	(8)=	7	8		7			1		8	93
				+			+8 +1				=		.
			32			2			2			256

Т.к. 25693 > 165 , то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми.

Пример 2.

Студент отвечает на 4 дополнительных вопроса при сдаче экзамена. Вероятность правильного ответа на каждый вопрос будем считать

равной p = 14 . Предполагая, что все ответы – события независимые,

найти вероятность того, что будут хотя бы два правильных ответа.

Решение:

Хотя бы два правильных ответа – это 2, 3 или 4.

Т.к. p =	1	, то	q =1−	1	=	3	- вероятность неправильного ответа на
	4			4		4

вопрос. Эту задачу удобно решать, используя противоположные со-

бытия, а именно

P(A)=1−[P4 (0)+ P4 (1)].

254

P	(0)= C 0 p0 q4									3 4							=			81
					=1 1																		.
4	4									4								256
P	(1)= C1 p1q3							1		3					3		=	27
				=		4															.
4	4							4		4								64
P(A)=1 −		81			+	27				=1 −					189					=			67	.
						64									256						256
		256

В случаях, когда n велико, а р мало, использование формулы Бернулли связано со значительными трудностями. Часто ограничиваются формулой Пуассона

P (m) ≈ µm e−µ , µ = np .

(7.20)

n m!

Пример 3. При перевозке 1000 стеклянных колб вероятность разбить 1 колбу равна 0,002. Какова вероятность, того что будут разбиты 4 колбы?

Решение:

P	(4)	=	(1000 0,002)4	=	24		≈ 0,08 .
1000			4!e1000 0,002		1 2 3 4e2

Самостоятельная работа.

Комбинаторика.

1.Сколькими способами можно выбрать три различных краски из имеющихся пяти?

2.Сколькими способами можно составить трёхцветный полосатый флаг, если имеется материал 5 различных цветов?

3.Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков – русского, английского, французского, немецкого и итальянского – на любой другой из этих пяти языков?

4.Составляются знаки, состоящие из геометрической фигуры(окружность, квадрат, треугольник или шестиугольник), буквы и цифры. Сколько таких знаков можно составить?

5.Для эксперимента по определению скорости роста требуется выбрать 4 штамма бактерий из имеющихся восьми. Сколькими способами это можно сделать?

255

Классическая вероятность.

6.Студент знает 40 вопросов из 60, включённых в программу. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащихся в его экзаменационном билете?

7.В одном аквариуме находятся 5 белых, 4 красных и 3 голубых рыбки. Двух случайно выбранных рыбок переносят в другой аквариум. Какова вероятность того, что обе рыбки голубые.

8.Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов:

1)один выигрышный,

2)два выигрышных,

3)хотя бы один выигрышный.

9.Набирается четырехзначный номер телефона. Какова вероятность набрать его правильно с первого раза, если все цифры номера нечетные и ровно три из них пятерки.

10.Среди кандидатов в студенческий совет факультета три первокурсника, пять второкурсников и семь третьекурсников. Из этого состава наугад выбирают пять человек наконференцию. Найти вероятности следующих событий:

А – будут выбраны одни третьекурсники, В – все первокурсники попадут на конференцию,

С – не будет выбранно ни одного второкурсника, Д – выберут одного первокурсника, двоих второкурсников и двоих третьекурсников.

Сложение и умножение вероятностей.

11.На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если срывают одну астру ?

12.Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после первого отказа отвечать на вопрос, преподаватель задает еще один вопрос ?

13.Шесть человек больны заболеванием, для которого коэффициент выздоровления составляет 98%. Какова вероятность того, что:

а) выздоровеют все шестеро;

256

б) выздоровеют только пятеро?

14.В читальном зале 6 учебников по теории вероятности, из которых 3 в переплете. Библиотекарь взял наугад 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

15.Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для 1-го стрелка равна 0,7, а для 2- го – 0,8. Найти вероятность того, чтопри одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.

16.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором 3 вопроса.

17.В цехе работает 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наугад отобраны 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

18.Некто написал 3 письма, запечатал их в конверты, а затем наугад на каждом из них написал различные адреса. Определить вероятность того, что на всех конвертах написан правильный адрес.

Формула полной вероятности.

19.В первой коробке 20 ампул, из них 18 стандартных, во второй – 10 ампул, из них 9 стандартных. из второй коробки взята наугад ампула и переложена в первую коробку. Найти вероятность того, что случайным образом извлеченная из первой коробки ампула окажется стандартной.

20.В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. вероятность того. что за время выполнения расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95, а для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент выполняет расчет на наугад выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

257

21.В первой коробке 3 белых шарика и два черных, во второй – 2 белых и 3 чкрных, в третьей – 1 белый и 2 черных. найгад выбирается коробка, и из нее два шарика. какова вероятность того, что они разных цветов.

Формула Байеса.

22.Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность для первой перфораторщицы допустить ошибку равна 0,05, для второй – 0,1. При сварке была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица.

23.В первой коробке 3 белых шарика и 2 черных, во второй – 6 беых и 5 черых, в третьей – 7 белых и 5 черных. Наугад выбирается коробка и из нее два шарика. Оба шарика черные. Найти условную вероятность того. что шары извлекались из первой коробки.

24.В одной лечебнице согласно оценкам 50% мужчин и 30% женщин имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. В этой лечебнице женщин вдвое больше, чем мужчин. У случайно выбранного пациента оказалось это заболевание. Какова вероятность того, что это мужчина?

		Формула Бернулли.
25.	Монету бросают шесть раз. Найти вероятность того, что герб
	выпадает: а) менее двух раз, б) не менее двух раз.
26.	Производится	серия	из	4	выстрелов	по мишеням	с
	вероятностью	попалдания		в	каждом	выстреле p =	1	.
							4

Предполагая, что результаты выстрелов – события независимые, найти вероятность того, что будет хотя бы два попадания.

27.Монету подбрасывают восемь раз подряд. Какова вероятность того, что герб выпадет 5 раз?

28.В библиотеке имеются учебники по химии и по биологии. Вероятность того, что любой читатель возьмет книгу по химии, равна 0,7, а по биологии – 0,3. Определить вероятность того, что 5 читателей подряд возьмут книги или только по химии, или только по биологии, если каждый берет только одну книгу.

Формула Пуассона.

258

29.Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равнв 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия (остальные – годные!).

30.Среди семян ржи 0,4% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

Ответы к самостоятельной работе по разделу 7.1.

1.C53 =10 способов.

2.A53 = 60 способов.

3.A52 = 20 словарей.

4.4 32 10 =1280 комбинаций.

5.C84 = 70 .

6.		p(A) =						C402						.
									C602
7.		p(A) =							C32				.
									C 2
						12
8. 1)				C84 C21						; 2)							C83 C22			; 3) p			3	= p + p					2		=				7	.
					C105												C105								1								9
								1
9.		p(A) =									.
						16
									C 5						1						C			3	C 2				2
		p(A) =						7						=				;	p(B) =				3		12	=						;
10.															143												91
									C155															C155
									C 5						12							C1			C 2	C 2							30
		p(C) =							10					=				;	p(D) =					3	5		7				=						.
									C155						143										C155								143
		5
11.			.
		9
12.		1			.
		29

13. а)0,986 б)0,985 0,12 .

14.0,2 .

15.0,38 .

16.11557 .

17.247 .

18.16 .

19.p(A) = 0,9 .

259

20.p(A) = 0,89 .

21.2845 .

22.13 .

23.0,23 .

24.115 .

25.а) 647 б) 5764 .

26.26567 .

27.327 .

28.0,1705 .

29.0,06 .

30.0,0000055 .

7.2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

До сих пор мы изучали способы вычисления вероятностей различных случайных событий. При этом под случайными событиями понималась любая качественная характеристика результата испытания. Однако существует много задач, решение которых требует изучение явлений, характер которых определяется не фактом появления или не появления того или иного случайного события, а зависит от некоторых величин, могущих принять иные случайные значения. Такие величины в теории вероятностей называются случайными. Таким образом, если случайное событие есть качественная характеристика испытания, то случайная величина является количественной характеристикой испытания. Следует заметить, что понятие случайной величины является в известном смысле обобщением понятия случайного события, так как каждому случайному событию А можно всегда поставить в соответствие случайную величину, принимающую два значения,

260

например, 1 или 0 в зависимости от того, произошло событие А в результате данного испытания или не произошло.

Приведем примеры случайных величин:

1)продолжительность жизни любого живого существа;

2)число дефектных изделий в любой выборке данного объема;

3)прибыль предприятия за любой фиксированный отрезок времени;

4)погрешность любого измерения;

5)время безотказной работы любого технического устройства;

6)отклонения параметров данного устройства от номинальных значений.

Приведенные примеры с достаточной определенностью показывают, что со случайными величинами приходится иметь дело

всамых разнообразных областях науки и техники.

Для полной характеристики случайной величины необходимо

знать:

1)множество ее возможных значений;

2)как часто, т. е. с какой вероятностью, случайная величина принимает те или иные значения.

Такая характеристика случайной величины называется ее законом распределения. Закон распределения случайной величины может быть задан в различных формах в зависимости от типа случайной величины. Тип случайной величины определяется видом множества значений, которые может принимать рассматриваемая случайная величина. Особую важность для технических приложений имеют два типа случайных величин: дискретного и непрерывного типа.

261