биофизика

M (X i )

Перейдем к перечислению основных свойств математического ожидания.

1.Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т. е. если С - константа, то М(С) = С.

2.Математическое ожидание суммы произвольных случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Следствие. математическое ожидание суммы конечного числа произвольных случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т. е. M( ∑X i ) = ∑

i

i

Пример 2. Найти математическое ожидание числа m наступлений события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р или не появляется с вероятностью q.

Решение:

n

Очевидно, что m может быть представлено в виде суммы: m = ∑X k ,

k =1

где Хк есть случайная величина, равная единице, если событие А произошло в k-м испытании, ти нулю, если событие А не произошло. Таким образом, P(Xk = 1) = p и P(Xk = 0) = q.

На основании последнего свойства математического ожидания

n

имеем: M (m) = ∑M (X k )

k =1

Как было доказано, М(Хк)=р. Следовательно, М(m) = n p. Итак, математическое ожидание случайной величины,

распределенной по закону Бернулли, равно n p.

3.Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

272

M(X Y) = M(X) M(Y)

Следствием 1-го и 3-го свойств является утверждение: постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е. М(С Х) = С М(Х).

Наиболее употребительной характеристикой рассеивания случайной величины Х является так называемая дисперсия, которую будем обозначать символом Д(Х).

Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения Х от своего математического ожидания:

D(Х)=М(Х-М(Х))2

Таким образом, если Х - дискретная случайная величина, принимающая конечное число значений х1, х2, .....хn с вероятностями, соответственно равными р1, р2, ...рn, то по определению

n
D (X ) = ∑(xk − M (x))2 pk .	(7.32)

k =1

По аналогии для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности f(x) дисперсия Д(Х) определяется с помощью равенства

+∞
D (X ) = ∫(x − M (X ))2 f (x)dx	(7.33)

−∞

Перечислим теперь основные свойства дисперсии:

1)дисперсия постоянной равна нулю, т. е. если Х=С, то D(С)=0;

2)дисперсия любой случайной величины есть число неотрицательное, т. е. D(Х)≥0;

3)дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата математического ожидания, т. е. D(Х)=М(Х2)-(М(Х))2;

273

4)если С - константа, то D(СХ)=С2D(Х);

5)дисперсия суммы или разности независимых случайных величин

равна сумме их дисперсий: D(X±Y)=D(Х) ± D(Y).

Это свойство остается справедливым для любого числа случайных величин, т. е. D(Х1±Х2±Х3±.....±Хn)=D(Х1)+.....+D(Хn), где Х1, Х2, ....Хn - попарно независимые случайные величины.

Пример 3. Найти дисперсию случайной величины Х, распределенной по закону Бернулли.

n

Решение. Как указано выше, справедливо равенство X = ∑X k ,

k =1

где все Хк (к=1, 2,. , n) попарно независимы и имеют закон распределения

Xk	0	1
pk	q	p

n

На основании 5-го свойства имеем равенство D(Х) = ∑ D(Хк).

k =1

На основании 3-го свойства имеем равенство D(Хк) = М(Хк2)-

М2(Хк).

Выше было найдено, что М(Хк) = р. Очевидно, что М(Хк2) = р,

следовательно, D(Хк) = = р – р2 = р(1 – р) = р q. Окончательно получаем:

D(Х) = n p q.

В вычислительном отношении более удобна не дисперсия, а другая мера рассеивания случайной величины Х, которая чаще всего и используется, - это корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком, которая называется средним квадратичным отклонением или стандартным отклонением случайной величины.

Стандартное отклонение обычно обозначается символом σх или σ(Х):

274

σ(Х) = D(X ) .

Удобство стандартного отклонения состоит в том, что оно имеет размерность самой случайной величины Х, в то время как дисперсия имеет разномерность, представляющую квадрат разномерности Х.

Отметим в заключении, что дисперсия среднего арифметического Х из n независимых одинаково распределенных случайных величин Х1, Х2, ......, Хn равна дисперсии какой-либо из этих величин, деленной на общее число величин:

D( X )=D((Х1+Х2+....+Хn)/n)=D(Х)/n.

Отсюда следует, что σ( X )= σ(Х)/ n .

Именно так обстоит дело, когда мы производим n измерений какой-либо физической величины. Важно то, что результат каждого измерения не зависит от результатов отдельных измерений; тогда последовательные измерения можно рассматривать как значения не зависимых и одинаково распределенных случайных величин. Средняя квадратичная ошибка одного измерения (стандартное отклонение Х) будет при этом σ(Х), а средняя квадратичная ошибка среднего арифметического Х из n измерений будет в n раз меньше средней квадратичной ошибки одного измерения. Следует заметить, что если в опыте наш прибор давал систематическую ошибку, то никакими повторениями опыта от нее не избавиться.

7.2.4. Нормальный закон распределения.

Среди непрерывных распределений наиболее важную роль играет нормальное распределение. К нормальному закону распределения, называемому законом Гаусса, при весьма часто

275

встречающихся условиях приближаются другие законы. Если мы, в частности, имеем сумму большого числа независимых величин, подчиненных каким угодно законам распределения, то при некоторых весьма общих условиях она будет приближенно подчиняться нормальному закону.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

			1	−(x−a )2	,	(7.35)
	f (x) =	σ		e 2σ 2
			2π
где постоянные а и σ - параметры распределения.
Кривая	распределения,					соответствующая	нормальной
плотности, показана на рисунке 6.

Рис.7.11. плотность вероятности нормального распределения

1

σ 2π

a-3σ a-2σ a-σ a

a+σ a+2σ a+3σ

Легко видеть, что f(a+x) = f(a–x), так что кривая плотности симметрична относительно прямой х = а. Методами дифференциального исчисления можно установить, что кривая плотности имеет единственный максимум при х = а и две точки перегиба при х = а ± σ.

Если случайная величина подчинена нормальному закону распределения вероятности с параметрами а и σ, то этот факт для краткости может быть записан в виде Х Ν(а, σ).

276

Вероятностный смысл параметров а и σ выясняется после нахождения математического ожидания и дисперсии.

Оказывается, что М(Х) = а, Д(Х) = σ2 .

Заметим, что иногда в качестве характеристики рассеивания для нормального закона вместо стандартного отклонения применяется так называемая мера точности, обозначаемая обычно через h.

Под мерой точности понимается величина, обратно пропорциональная стандартному отклонению

h = 1/σ√2.

Термин «мера точности» заимствован из теории ошибок измерений. Чем точнее измерение, тем меньше стандартное отклонение и тем больше мера точности. Если в качестве характеристики рассеивания применяется мера точности h, плотность вероятности нормального закона запишется в виде

f (x) =	h	e−h2 (x−a)2 .	(7.36)
	π

Функция распределения случайной величины Х Ν(а, σ) может быть выражена через функцию Лапласа следующим образом:

F(x)=1/2+Ф((х-а)/σ). (7.37)

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

вида

Ф(x) =	1	∫x e−t 2 /2 dt	(7.38)
	2π	0

носит название нормированной функции Лапласа или просто функции Лапласа. Смотри таблицу 3.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

Ф(0)=0,

277

Ф(-∞)=0,5, Ф(-х)=-Ф(х).

Вычислим теперь вероятность попадания случайной величины Х Ν(а,σ) в промежуток (α,β):

Р(α<Χ<β) = F(β) – F(α) = Ф((β−а)/σ) − Ф((α – а)/σ). (7.39)

Если промежуток симметричен относительно М(Х) = а, то

получаем формулу следующего вида
Р{|Х-а| < ε} = 2Ф(ε/σ).	(7.40)

Полагая в последней формуле ε = хσ, получим: Р{|Х – а|<σx σ} = 2Ф(х). В частности полагая последовательно х = 1, 2, 3 и пользуясь таблицей 3, получаем:

Р{|Х-а|<σ} = 2Ф(1) = 0,6827 Р{|Х-а|<2σ} = 0,9545 Р{|Х-а|<3σ} = 0,9973.

Последнее равенство дает основание к следующему практическому правилу, которое часто называют правилом «3σ»: все практически возможные значения случайной величины,

подчиненной нормальному закону N(а,σ), заключены в интервале (а

– 3σ, а + 3σ).

Самостоятельная работа.

Дискретные случайные величины.

1. Построить закон распределения и функцию распределения числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0,4.

Ответ:

278

0 1 2

Х

р 0,36 0,48 0,16

0, прихх≤0

0,36, при0 < x ≤1

F(x) =

0,84, при1 < x ≤ 2

1, прихх> 2

2. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наугад отобраны 2 детали. Составить закон распределения стандартных деталей среди отобранных.

Ответ:

0 1 2

Х

р 1 16 28

45 45 45

3. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наугад отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных.

Ответ:

Х	0	1		2		3
р	0	1		3		1
		5		5		5

4. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений четного числа очков на обеих игральных костях.

Ответ:

0 1 2

Х

279

р		19		6		1
	16		16		16

5. В парии деталей 10% нестандартных. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных.

Ответ:

Х	0	1	2	3	4
р	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Непрерывные случайные величины.

6. Дана плотность распределения вероятности:

	x ≤ 0
0,				π
f (x) = sin x, 0 < x ≤				2
		π
	x >
0,		2
Найти F(x).
Ответ:
	x ≤ 0
0,					π
			0 < x ≤
F(x) = 1−cos x,					2
		π
	x >
1,		2

7. Дана плотность распределения вероятности:

	0,	x > 2
		1
	f (x) = x −		,	1	< x ≤ 2
		2
	0,	x ≤1

Найти F(x).

280

Ответ:

0,			x ≤1
1			(x2 − x), 1 < x ≤ 2
F(x) =
	2
			x > 2
1,

8. Дана плотность распределения вероятности:

	x ≤	π
0,		6
		π		π
			< x ≤
f (x) = 3sin 3x,		6		3
	x >	π
0,		3

Найти F(x). Ответ:

	x ≤	π
0,		6
			π		π
				< x ≤
F(x) = − cos 3x,			6		3
		π
	x >
1,		3

9. Дана плотность распределения случайной величины Х:

	x	≤ 0
0,					π
			0	< x ≤
f (x) = cos x,					2
			π
	x	>
0,			2

Найти функцию распределения F(x). Ответ:

	x ≤ 0
0,			π
		0 < x ≤
F(x) = sin x,			2
		π
	x >
1,		2

281