биофизика

10. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью

	вероятности f (x) =	2	sin 3x в интервале, вне этого интервала f(x) = 0.
		3

Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее

π	;	π
интервалу		4	.
6
Ответ:		π		< X	<	π		=	2	.
	P		6			4			9
11. Случайная величина Х задана функцией распределения:
0,			x ≤ 0
F(x) = x 2 , 0 < x ≤1
1,			x >1

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

Ответ: 0,25.

Числовые характеристики.

12. В парии деталей 10% нестандартных. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных.

Ответ:

Х	0	1	2	3	4
р	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

13. Случайная величина Х задана законом распределения:

Х	– 4	6	10

282

р	0,2	0,3	0,5

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения.

Ответ: М(Х) = 6; D(X) = 28; σ(X) = 5,38.

0, x ≤ −4

0,2, −4 < x ≤ 6

F(x) =

0,5, 6 < x ≤101, x >10

14. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,2.

F(x)

1

0,5

0,2

– 4

0

6

10

x

Ответ: D(X) = 0,8.

15. Дискретная случайная величина Х принимает только два возможных значения х1 и х2, х1 > х2, Р(Х = х1) = 0,6. Найти закон распределения величины Х, если М(Х) = 1,4; D(X) = 0,24.

Ответ:

1 2

Х

р 0,6 0,4

16. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности:

283

0,	x ≤ 0
	0 < x ≤1
f (x) = 2x,
	x >1
0,

Найти математическое ожидание величины Х.

Ответ: M (X ) = 23 .

17. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности:

0,				x ≤ 3
				2		45
3
f (x) =			x		+6x −		,	3 < x ≤ 5
	4					4
				x > 5
0,

Найти математическое ожидание величины Х. Ответ: M ( X ) = 4 .

18. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности:

0,	x ≤ −3
	1
		,	−3 < x ≤ 3
f (x) =	9 − x2
p
	x > 3
0,

Найти дисперсию Х. Ответ: D( X ) = 4,5 .

19. Плотность вероятности случайной величины Х, равномерно распределенной на [a, b]

0,			x ≤ a
		1
f (x) =				, a < x < b
b		− a
0,			x > b

Найти:

1) функцию распределения F(x) и начертить ее график;

284

2)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х.

Ответ:

0,		x ≤ a
		− a
x
F(x) =				,	a ≤ x < b
b		− a
0,		x > b
M (X ) = a +b				,	D(X ) =	(b − a)	, σ(X ) = b − a .
		2				12	2	3

Нормальный закон.

20. Масса взрослого животного некоторого видя является нормально распределенной случайной величиной со средним значением 100 кг и стандартным отклонением 8 кг. Наудачу выбирают взрослое животное. Найти вероятности следующих событий:

1)масса животного меньше 90 кг,

2)больше 110 кг,

3)находится в интервале от 95 до 105 кг,

4)находится в интервале от 97 до 112 кг. Ответ:

1)Р(X<90) = 0<1056,

2)P(X>110) = 0,1056,

3)P(95<X<105) = 0,4681,

4)P(97<X<112) = 0,57894/

21. Диастолическое давление крови выпускников некоторого училища является нормально распределенной случайной величиной со средним значением 80 мм и стандартным отклонением 5 мм. измеряют давление крови у случайно выбранного выпускника. Определить вероятности того, что:

1)давление ниже 70 мм,

2)выше 85 мм,

3)выше 90 мм, но при дополнительном условии, что пациент выбран из числа тех, у кого на день проверки диастолическое

давление оказалось выше 85 мм. Ответ:

1)P(X<70) = 0,0228,

2)P(X>85) = 0,1587,

285

3) P(X>90|X>85) = 0,1437.

22. Предприятие выпускает стеклянные ампулы, средняя длина которых 100 мм и стандартное отклонение 1 мм. Ампула считается бракованной, если она короче 98 мм или длиннее 101 мм. Найти среднее число бракованных ампул среди наудачу взятых ампул.

Ответ: 90,75.

23. В условиях задачи 3 найти интервал, симметричный относительно среднего значения бракованных ампул, в который попадает реальное число бракованных ампул с вероятностью не менее 0,96.

Ответ: (73;109).

24. Определить среднеквадратическую ошибку весов, если систематических ошибок весы не имеют, а случайные распределения по нормальному закону и с вероятностью 0,9 не выходят за пределы ± 20 мг.

Ответ: σ = 12,16.

25. Амперметр имеет систематическую ошибку 0,5а и среднеквадратическую ошибку 0,1а. Найти вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 0,5а.

Ответ: P( X <0,6) = 0,8413.

26. Весы имеют среднеквадратическую ошибку 60 мг, систематические ошибки отсутствуют. сколько необходимо произвести взвешиваний, чтобы с вероятностью не менее 0,9 ошибка хотя бы не превосходила по абсолютной величине 7,5 мг.

Ответ: не менее 22 взвешиваний.

27. Производится два независимых взвешивания на весах, имеющих среднеквадратическую ошибку 30 мг и систематическую ошибку +10 мг. Какова вероятность того, что обе ошибки измерения, имея разные знаки, по абсолютной величине превзойдут 10 мг?

Ответ: 0,2525.

28. Изделие считается высшего качества, если отклонение его длины от номинала не превосходит по абсолютной величине 3, 45 мм. Случайное отклонение длины изделия от номинала подчиняется закону со среднеквадратическим отклонением в 3 мм. Систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего сорта если изготовляются 4 изделия.

286

Ответ: ≈ 3 изделия (2,9992).

29. При большом числе измерений установлено, что 75% ошибок:

1)не превосходит 1,25 мм,

2)не превосходит по абсолютной величине 1,25 мм,

Заменяя частоты появления ошибок их вероятностями, определить в обоих случаях среднеквадратическую ошибку измерения, если систематические ошибки отсутствуют.

Ответ: 1) σ = 1,85 мм 2) σ = 1,09 мм.

30. Весы не имеют систематических ошибок. Случайная ошибка распределена по нормальному закону, причем σ = 10 мг. Сколько нужно произвести взвешиваний одного и того же предмета, чтобы с вероятностью не менее 0,98 средний арифметический результат имел ошибку в пределах ±3 мг.

Ответ: не менее 61 взвешивания.

31. В условиях задачи 9 сколько нужно взять изделий, чтобы среди них с вероятностью не менее 0,97 было хотя бы одно изделие не высшего качества?

Ответ: не менее 13 изделий.

32. Средняя жирность данной партии молока 2,5 %. Отклонение жирности в отдельных пакетах от номинала составляет ± 0,1% с вероятностью 0,9973. Сколько пакетов молока нужно проверить, чтобы среди них был хотя бы один с молоком жирности менее 2,4% с вероятностью не менее 0,9.

Ответ: не менее 1705 пакетов.

33. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 175 см, а среднее квадратическое отклонение

– 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.

Ответ: ≈ 0,99.

34. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания в интервал (10,15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (35,40) ?

287