- •Глава 1.
- •§1.1.Преобразование Лапласа и его основные свойства.
- •§ 1.2. Применение операторного метода для анализа процессов в цепях сосредоточенными элементами.
- •§1.3 Общий вид решения задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях.
- •§1.4. Свободные колебания в динамических системах с распределенными элементами
- •§1.4.1.Классификация длинных линий
- •§1.4.2.Построение решений уравнений длинных линий (телеграфных уравнений) операторным методом
- •§1.4.Алгоритмы решения задачи о собственных колебаниях в длинной линии
- •Глава 2. Колебания в линейных праметричеких
- •§ 2.1. Линейные спектра входного сигнала, при прохождении через линейные параметрические цепи.
- •§ 2.2. Аксиоматики теории цепей в параметрическом случае.
- •§2.3. Прохождение сигналов через параметрические r – цепи.
- •§2.4. Прохождение сигнала через параметрические
- •§ 2.5. Процессы в параметрической колебательной системе с обной степенью свободы. Энергетическое рассотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы.
- •§ 2.5.1. Процессы в параметрической колебательной системе с обной степенью свободы.
- •§ 2.5.2. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы.
- •§2.5.Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье.
- •2.6. Параметрическое усиление колебаний в одноконтурной системе.
- •§2.2.4 Параметрический генератор(параметрон).
- •§2.2. Двухконтурные параметрические системы.
- •§2.2.1Теорема Менли-Роу.
- •§ 2.2.2 Параметрические умножение и деление частоты.
- •§2.4. Некоторые приближенные методы исследования процессов в. Параметрических системах
- •§2.4.1. Метод «замороженного» параметра.
- •§2.4.1 Метод замороженного параметра.(второй вариант).
- •§2.4.2 Метод последовательных приближений.
- •§2.4.2. Метод последовательных приближений (второй вариант).
- •§2.4.3 Метод вкб.
- •§2.4.3. Метод вкб (Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна)(второй вариант).
- •Глава 3. Анализ колебаний в нелинейных цепях.
- •3.1 Нелинейные элементы цепей
- •§3.2.Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях.
- •§3.3. Анализ колебаний в цепях, составленных из нелинейных активных сопротивлений.
- •§3.4. Метод линеаризации.
- •§3.2. Метод гармонической линеаризации (мгл).
- •§3.2.1. Эквивалентные параметры нелинейных элементов.
- •§3.3.Методы малого параметра. Метод последовательных приближений.
- •§3.4.Метод медленно меняющихся амплитуд (ммма).
- •§3.5.Метод малого параметра. Исследование ммма колебаний в автогенераторе на туннельном диоде.
- •§3.6.Метод фазовой плоскости.
- •1.Метод изоклин.
- •2.Особые точки.
Глава 3. Анализ колебаний в нелинейных цепях.
3.1 Нелинейные элементы цепей
1. Нелинейный элемент активного сопротивления – идеализированное устройство, рассеивающее эл. энергию, характеризуемое ур. связи U=R(i)i; i=G(U)U
R(i) Для анализа нелинейных цепей используют вольт-амперные
характеристики нелинейных активных сопротивлений. Вольт-
амперная характеристика элемента эквивалентна уравнению
связи. U=f(i); i=φ(U)
i(u)
u
Отношение U/i=f(i)/i=R(i) называют статическим сопротивлением, которое обычно определяют для фиксированных значений i=I0 и U=U0
Отношение i/U=φ(U)/U=G(U) – статической проводимостью
Рассматривая U(t)=f(i(t)) или i(t)=φ(U(t)) имеем для дифференциалов:
и
Для конечных приращений, в пределах которых вольт-амперную характеристику можно считать линейной, имеем:
и
где и-дифференциальные сопротивление и проводимость. В окрестности i=I0, u=U0 – это постоянные коэффициенты. Рассматривая конечные приращения в качестве колебаний можно для последних записать уравнения связи: и .
Дифференциальные сопротивления (проводимости) могут принимать как положительные, так и отрицательные значения (смотри рис.)
характеристика туннельного диода характеристика ионного прибора хар-ка типа N (стабиловольта) характеристика типа S
Нелинейные элементы активных сопротивлений являются, при определённых условиях, электровакуумных и п/п диодов, варисторов, стабиловольтов, баристоров и т.п.
Для линейного постоянного активного сопротивления имеем: U=f(i)=Ri. Откуда из Rст=f(i)/i=R и Rдиф.=df(i)/di=R. Т.е. статическое и дифференциальное сопротивления линейного постоянного активного сопротивления совпадают и равны R.
2. Элемент нелинейной индуктивности – идеализированное устройство, способное запасать энергию в форме магнитного поля. Уравнение связи элемента имеет вид:
L(i)
Уравнение связи можно представить в виде:
; - правая часть есть функцияi(t). Следовательно, это уравнение не пригодно для составления системы уравнений с помощью метода узловых напряжений - МУН.
Для анализа нелинейных цепей используют эквивалентную уравнению связи зависимость магнитного потока ψ(i) от тока i. Заметим, что ψ(i) =L(i)i.
Отношение называютстатической индуктивностью (определяемую, чаще всего для какого-то фиксированного I0).
Величина - называетсядифференциальной индуктивностью. Для линейного постоянного элемента индуктивности значение Lстат и Lдиф совпадают.
Вернёмся к уравнению связи.
; т.е.
Следовательно, если величина колебаний тока настолько мала, что в пределе участка характеристики последний может считаться линейным, уравнение связи является линейным
Элемент нелинейной индуктивности является хорошей моделью катушки индуктивности, имеющей магнитный сердечник с пренебрежимо узкой петлёй гистерезиса (гистерезис характеризует активные потери).
В отличие от дифференциального активного сопротивления, которое может принимать как положительные тaк, и отрицательные значения, дифференциальная индуктивность принципиально не может быть отрицательной поскольку увеличение тока через L не может приводить к уменьшению магнитного потока, т.е. Lдиф>0
3. Элемент нелинейной ёмкости – идеализированное устройство, способное запасать энергию в форме электрического поля. Уравнение связи элемента имеет вид:
Возможная форма уравнения связи:
но она не пригодна для составления системы уравнений с помощью метода контурных токов – МКТ, т.к. правая часть в неявном виде содержит U(t).
Для анализа нелинейных цепей используют эквивалентную уравнению связи - зависимость заряда q от напряжения U – вольт-амперную харектеристику.
Заметим, чтоq=c(u)u и следовательно можно записать отношение - называетсястатической ёмкостью. Эти характиристики чаще всего определяют для малой окрестности некоторого фиксированного значения U0. Для линейной постоянной ёмкости Сстат=Сдиф=С
Уравнение связи можно записать в форме:
т.е.
Если величина колебаний напряжений относительно U0 мала, то в пределах рабочего участка характеристики последняя может считаться линейной, что обуславливает линейность уравнения связи
, откуда
Как и Lдиф элемента индуктивности, Сдиф элемента ёмкости всегда положительна, Сдиф>0. Это обусловлено тем, что увеличение U на ёмкости не может приводить к уменьшению заряда.
4. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
Как указывалось ранее удобными характеристиками нелинейных элементов являются не уравнения связи, а вольтамперная характеристика активного сопротивления или, или зависимость- для нелинейной индуктивности (ампер-веберная характеристика), или зависимостьq(u) – для нелинейной емкости (вольт-кулонная характеристика).
і(t) Ψ(t) q(t)
Если любая из этих характеристик задана аналитическим выражением, то в окрестности рабочей точки, функция может быть представлена, разложением в ряд Тейлора (в окр. х0) или
, где R – остаток разложения в ряд Тейлора.
Если же характеристика задана графически, тогда аппроксимацию можно осуществить укороченным степенным рядом (полином), ограничивая его второй –пятой степенью.
Составляем систему уравнений:
Здесь yn, xn, x0 – известные величины, поэтому эту систему можно решить (по методу Крамера),
относительно коэффициентов al.
Если x=x0+S (х0 постоянное смещение, а s малый сигнал), то ,
где α – дифференциальный параметр нелинейного элемента.
Иногда характеристики нелинейных элементов аппроксимируют трансцендентными функциями. Например
или .
Широко применяется и кусочно-линейная аппроксимация
I
u
Имеем . Пусть s(t)=s1(t)+s2(t)
,
если s2(t)=S2cosω2t
s(t)=S1cosω1t + S2cosω2t
Возводя двухчлен s(t)=s1(t) + s2(t) в nю степень и, группируя затем члены суммы можно убедиться, что в составе реакции y(t) имеются слагаемые частот ξω1±ηω2, где ξ и η – любые числа, не исключая нуль, т.е. спектр содержит слагаемые комбинационных частот, т.е. в нелинейных цепях возможны различные радиотехнические процессы ( стабилизация постоянного тока и напряжения, умножение, выпрямление, модуляция, детектирование и многое другое.