- •Глава 1.
- •§1.1.Преобразование Лапласа и его основные свойства.
- •§ 1.2. Применение операторного метода для анализа процессов в цепях сосредоточенными элементами.
- •§1.3 Общий вид решения задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях.
- •§1.4. Свободные колебания в динамических системах с распределенными элементами
- •§1.4.1.Классификация длинных линий
- •§1.4.2.Построение решений уравнений длинных линий (телеграфных уравнений) операторным методом
- •§1.4.Алгоритмы решения задачи о собственных колебаниях в длинной линии
- •Глава 2. Колебания в линейных праметричеких
- •§ 2.1. Линейные спектра входного сигнала, при прохождении через линейные параметрические цепи.
- •§ 2.2. Аксиоматики теории цепей в параметрическом случае.
- •§2.3. Прохождение сигналов через параметрические r – цепи.
- •§2.4. Прохождение сигнала через параметрические
- •§ 2.5. Процессы в параметрической колебательной системе с обной степенью свободы. Энергетическое рассотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы.
- •§ 2.5.1. Процессы в параметрической колебательной системе с обной степенью свободы.
- •§ 2.5.2. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы.
- •§2.5.Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье.
- •2.6. Параметрическое усиление колебаний в одноконтурной системе.
- •§2.2.4 Параметрический генератор(параметрон).
- •§2.2. Двухконтурные параметрические системы.
- •§2.2.1Теорема Менли-Роу.
- •§ 2.2.2 Параметрические умножение и деление частоты.
- •§2.4. Некоторые приближенные методы исследования процессов в. Параметрических системах
- •§2.4.1. Метод «замороженного» параметра.
- •§2.4.1 Метод замороженного параметра.(второй вариант).
- •§2.4.2 Метод последовательных приближений.
- •§2.4.2. Метод последовательных приближений (второй вариант).
- •§2.4.3 Метод вкб.
- •§2.4.3. Метод вкб (Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна)(второй вариант).
- •Глава 3. Анализ колебаний в нелинейных цепях.
- •3.1 Нелинейные элементы цепей
- •§3.2.Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях.
- •§3.3. Анализ колебаний в цепях, составленных из нелинейных активных сопротивлений.
- •§3.4. Метод линеаризации.
- •§3.2. Метод гармонической линеаризации (мгл).
- •§3.2.1. Эквивалентные параметры нелинейных элементов.
- •§3.3.Методы малого параметра. Метод последовательных приближений.
- •§3.4.Метод медленно меняющихся амплитуд (ммма).
- •§3.5.Метод малого параметра. Исследование ммма колебаний в автогенераторе на туннельном диоде.
- •§3.6.Метод фазовой плоскости.
- •1.Метод изоклин.
- •2.Особые точки.
§2.3. Прохождение сигналов через параметрические r – цепи.
Напомним, что процессы в параметрических R – цепях описываются алгебраическими уравнениями с переменными коэффициентами и прохождение сигналов через такие цепи выражается формулой: , гдеk(t) – параметрический коэффициент передачи, определяемый видом системы уравнений. В общем случае на основании правила Крамера коэффициент передачи можно получить в виде где- определитель системы уравнений,- соответствующее алгебраическое дополнение, А(t) – коэффициент, определяющий изменение размерности сигнала на каком-либо этапе решения задачи.
Следует иметь в виду, что анализ спектрального состава отклика параметрической цепи требует использования аппарата двойных рядов Фурье. В некоторых случаях удается использовать общий ряд Фурье с последующим применением тригонометрических формул.
Напомним основные формы представления функций с периодом рядами Фурье:
, где
; n=0;1;2…
; n=0;1;2…
где ;;
где .
Проиллюстрируем анализ процессов в R – цепях примерами.
Пример I. Определить коэффициент передачи параметрической R – цепи, представлено на рис.1.1
Рис.1.1
откуда
Если - периодическая функция с периодом, (- круговая частота первой гармоники колебания параметра), тои его спектр определяется рядом Фурье, например, в такой форме
, где
Пример 2. Коэффициент передачи параметрической R – цепи периодически изменяется по закону, представленному на рис.1.2. Определить спектр К(t) в тригонометрическом базисе и построить график его амплитудной части.
Рис 1.2
Используя таблицу разложения функции в ряд Фурье находим:
Для нечетной функции
где
Пример 3. Ко входу параметрической R – цепи с коэффициентом передачи,
рассмотренном в предыдущем примере, предложено гармоническое колебание
Рис.1.4
§2.4. Прохождение сигнала через параметрические
цепи первого порядка.
Напомним, что к параметрическим цепям первого порядка относятся цепи, содержащие один энергоемкий элемент (индуктивность или емкость) и резистивный элемент, причем хотя бы один из элементов цепи является параметрическим. Уравнения, описывающие процессы в такой параметрической цепи, сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка с переменными коэффициентами и имеют следующий вид
+ a(t)*S = f(t)
Как известно, такие дифференциальные уравнения, как правило, допускают непосредственное интегрирование и их решение можно представить в квадратурах. Однако очень часто полученное решение нельзя выразить в известных функциях, кроме того, его форма может не соответствовать конечным целям исследования. Например, полученное выражение в замкнутом виде трудно поддается спектральному анализу, проверке на устойчивость и т.д.
Общий подход к анализу параметрических цепей первого порядка основан на традиционных методах дифференциальных уравнений и заключается в том, что сначала ищется решение однородного уравнения
+ a(t)*S = 0,
а затем произвольная постоянная С заменяется на С(t), которая определяется после подстановки решения Sсв(t) однородного уравнения в искомое (метод Лагранжа).
Однако, так как получаемые этим методом решения не всегда удобны для анализа, в радиотехнике разработаны специальные приемы и методы решения указанных уравнений. Наибольший практический интерес представляет анализ параметрических цепей при постоянном и моно гармоническим воздействиям, так как все другие воздействия можно свести к суперпозиции этих воздействий.
Пример. В цепи изображенной на рис 2.14 генератор развивает напряжение e(t) = U0 eiωt;
R(t) параметрическая емкость меняется по закону
C(t) = , где μ – коэффициент
e(t) R емкости. Найти закон изменения и определить
спектральный состав тока в цепи.
Уравнение для тока имеет вид R i + i(τ) dτ = e(t) .
Для того, чтобы привести наше уравнение к дифференциальному уравнению первого порядка, запишем его относительно заряда, который связан с током по закону i(t) = . Кроме того, подставим выражения дляC(t) и e(t):
R + q = U0 eiωt,
где a = , b = , p = .
Общее решение данного уравнения известно:
q= e - [ e dτ + C ] .
Интегралы в показателях экспоненты являются табличными
q = .
Оставшийся интеграл не берется в известных функциях. Воспользуемся следующим разложением
= .
и, обозначив z = iaμ , перепишем последнее выражение в форме
q = J-n(z) e [b ] =
= C + b
Постоянная С определяется из начальных условий, первый член этого выражения сплывает свободный процесс, а два других – установившийся. Рассмотрим произведение рядов во втором члене:
Обозначив перепишем общее решение в виде
,
а затем
где :
Функции
Введены В.К.Туркиным и носят его имя; для этих функций составлены таблицы при различных значениях параметров .
Для установившегося режима окончательное выражение, принимает вид:
Свободный процесс описывается выражением
где С определяется из условия qсв(0) = q0.
Полученные выражения дают полное решение задачи для установившегося режима как при гармоническом воздействии вида cosω0t, sin ω0t, e±it, так и при постоянном воздействии U0 = 0, причем ответ выражается в виде суммы гармонических составляющих.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с параметрическим коэффициентом изменение, которого представляется в самом общем виде
Пусть , что допускает разложение в ряд Фурье
пусть , тогда общее решение имеет вид
Введем следующие обозначения
а
тогда получаем
Т.к. ипериодические функции, поэтому их можно разложить в ряд Фурье;
Тогда общий вид решения примет вид:
где: , а
Пример. Найти установившийся процесс в цепи, содержащей параметрический
резистор и катушку индуктивности, у которой R(t) = ( 1 + sn Ωt ) , где sn Ωt – меандровая характеристика sn Ωt = ,
Ω = , и соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид
,
где введено безразмерное время τ = Ωt, а разложение в обобщенный ряд Фурье
В соответствии с общей методикой нужно найти вспомогательные формулы
; выполним вычисления
,
,
Тогда комплексную амплитуду рядов Фурье получаем в виде:
представленные интегралы здесь вычисляются и можно найти в любом справочнике
Можно чтобы не вычислять интеграл для нахождения , получить формулы связии
В первом равенстве делаем замену переменных , тогда
Принимая во внимание свойство «нечетных рядов» ; ,
а также то, что интеграл периодической функции, взятый по длине, равной периоду, не зависит от начала отсчета, получаем:
, где
для установившегося процесса получаем
Суммы, входящие в последние выражения известны, поэтому путем простых преобразований, получаем:
, где
Из последних выражений как частные случаи следуют решения ряда задач. Например, рассмотрим цепь, в которой резистор R2 выключается с частотой Ω. Пусть к цепи приложено постоянное напряжение Е. Необходимо найти ток протекающий по такой цепи.
. В последних выражениях положим:
Тогда после простых преобразований
где
. В последних выражениях положим: