§1.4.Алгоритмы решения задачи о собственных колебаниях в длинной линии

1. Определение начальных условий.

2. Запись неоднородного дифференциального уравнения для конкретных начальных условий.

3. Решение неоднородного дифференциального уравнения.

4. Общее решение дифференциального уравнения для изобра­жения напряжения U(x,р) и тока I(х,р).

5. Определение коэффициентов А₁(р) и А₂(р) из граничных условий.

6. Решение для напряжения и тока в операторной форме.

7. Восстановление оригиналов для напряжения и тока.

8. Анализ полученного решения.

Пример. Разряд однородной линии без потерь (R=G=0), разомкнутой на конце через активное сопротивление .

Исследовать свободные колеба­ния в линии (рис.24).

Рис.5

t=0;

I.В соответствии с алгоритмом определяем начальные условия:

U(x,0)=E₀; i(x,0)=0.

Линия до начала исследования свободных колебаний была заря­жена от источника постоянного напряжения до величины E₀. Ток через сопротивление отсутствовал.

2. Уравнение процесса для заданных начальных условий имеет вид:

3. Находим решение неоднородного дифференциального уравнения. Так как правая часть уравнения постоянная величина (не зависящая от X ), то и частное решение неоднородного уравне­ния ищем в виде постоянной величины U⁰=const . Подставляя частное решение в уравнение, определяем:

-p²LCU⁰=-pLCE₀;

4. Записываем общее решение операторного уравнения длинной линии:

Подставляя найденное значение U⁰ и начальное значение для i (О,X), окончательно определяем:

5. Используем граничные условия для определения коэффици­ентов A₁, и А₂. В начале линии выполняется следующее соотно­шение:

x=0, U(0)=-RI(0),

так как в конце линия разомкнута, то при x=l I(l)=0.

Следовательно, при x=0

при x=l

6. Записываем решение в операторной форме:

- время задержки сигнала, т.е. время, за которое сигнал доходит до конца линии.

7. Восстанавливаем оригинал:

8. Анализируем полученный результат.

а) Определим напряжение в сече­ниях x=0, l/2 и l при x=0,

В начале линии происходят следующие процессы. В начальный момент прямая волна, распространяясь к концу линии, разряжает ее до величины 1/2 Е_о. Отразившись от конца линии, она возвра­щается к началу линии и разряжает ее до нуля. Поскольку процесс распространения прямой и обратной волн разряда линии равен 2τ , то в начале линии наблюдается прямоугольный импульс длительностью 2τ и амплитудой ½E₀. При x=l/2 (рис.26);

В сечении х=l/2 прямая волна приходит в момент време­ни τ/2 и разряжает ее до амплитуды ½Е_о, в момент време­ни t=τ волна достигает конца линии и, отразившись, про­должает разряжать ее до нулевого Рис.6 значения.

Сечение x=l/2 эта волна приходит в момент времени 3/2 τ (рис.27). При x=l

На конце линии наблюдается импульс амплитудой E₀ и длитель­ностью τ, так как волна разряда достигает конца линии за вре­мя, равное τ.

Рис.7

б) Рассмотрим распределение напряжения в различные моменты времени (рис.28). Пусть, например, t=τ/2, тогда

Первое слагаемое описывает постоянный уровеньE_о, вто­рое слагаемое - прямую волну ступенчатой формы высотой E_о/2, бегущую слева направо, третье слагаемое - обратную волну сту­пенчатой формы высотой E_о/2, бегущую справа налево. В пре­делах длины линии 0<x<l наложение этих волн описывает про­цесс разряда линии.

Рис.8