книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1

ний и может считаться достаточно освоенным. Различные его ва­ рианты..одисаны в литературе. Как правило, метод сброса нагру­ зок применялся для определения периода и декремента основного тона колебаний сооружений [13, 27, 28, 31, 64, 107, 123]. Для этой цели достаточен сброс нагрузки, приложенный в одной точке соо­ ружения.

Чтобы определить матрицу весовых функций, нагрузку следует прикладывать отдельно в каждой точке входа, так же как при испытании-ударной нагрузкой. В горизонтальные обвязки наруж­ ных. стен следует заделывать анкеры или петли для крепления

тросов, создающих горизонтальную нагрузку. Расположение			ан­
	керов и регистрирующих приборов оста­
	ется таким же, как и при испытании удар­
	ными нагрузками. Любые методы мгно­
	венного сброса нагрузки могут быть ис­
	пользованы при условии, что известна с
	достаточной точностью величина	сбрасы­
	ваемой нагрузки. Наиболее простым		и
	дающим вполне надежные результаты яв­
	ляется способ разрыва калиброванных ме­
	таллических стержней при натяжении их
	лебедкой или с помощью бульдозера.
Рис. 31. Схема внезапно­	Этим путем можно получать усилия по­
го сброса нагрузки:	рядка 5-РІО т.	эквива­
а —система с л степенями сво­	Мгновенный сброс нагрузки
боды; б’—состояние системы в	лентен внезапному приложению к системе
момент сброса нагрузки.
	постоянного усилия Р, равного и противо­

положного усилию в тросе в момент сброса. Непосредственная за­

пись возникающих колебаний' дает реакцию системы				на	воздей­
ствие ступенчатой функции Pa(t); следовательно, таким					путем
можно получить не весовые, а переходные функции g(t).					Кроме
того, .ступенчатая функция Po(t) при		сбросе	нагрузки действует
на систему, которая несколько отличается от			исходной.		В этом
заключаются	некоторые особенности	метода	сброса	нагрузки,
которые следует рассмотреть подробно.		(рис. 31,	а) на	воздействие
Если реакцию исходной системы
ступенчатой	функции на /ім входе обозначить g kj(t),			то для де­
формированной системы (рис. 31,6)		будем	иметь
	gkj{t,P) = gbj{ t ) + \ kj .				(Ш.29)
Определив весовые функции по формуле
получим	h ( t ) = g ( t ) ,
	h ,{ t,P ) = g kj( t,P ) = gk i {t) = hiJ{t),
.

откуда видно, что весовые функции обеих систем — исходной и деформированной — одинаковы.

100

Следовательно,	для получениявесовых	функций	- методом
сброса нагрузок	следует применять те же	прмбЪры'й'датчики,
что и -при ударных нагрузках, но записи необходимо'			продиффе­

ренцировать по времени. Численное дифференцирование обычно не представляет принципиальных трудностей, так 'Наік записи можно вести при достаточно быстрой развертке, обеспечивающей плавность кривых. Однако шаг измерения рекомендуется умень­

шить іпо крайней	мере вдвое, т.	е. брать ординаты через интервал
не более 0,005	сек.	,,
§ 5. Размерности и масштабные коэффициенты			. ,	,
весовых функций			ч
В технике обычно используется система единиц				МКГСС,	в
которой основными являются единица'длины L—1 м, единица си­
лы F—1 кГ и единица времени Т—0 сек. В практике расчета со­
оружений часто единицей силы		является не 1 кГ,	а'Т	г-^ГООО кГ.
Размерности будем обозначать		квадратными' скобками1. Так,			ес­
ли w(t)—ускорение, то запись

и * ) ] = j r = L T - 2

обозначает, что ускорение имеет размерность длңи.ы, деленной на

время в квадрате. ... ; Основная формула для определения реакции систе’уіьі на'про­

извольное воздействие f(t)

t

о
требует следующего соотношения размерностей: .	, ...
\ к щ = щ т т -	оп-зо).

Сейсмическое воздействие, заданное в виде акселерограммы w 0(t), имеет размерность ускорения. В соответствии с фор­ мулой (III.6)

.г (t) = J w0(т) Ii (t - 1) dz

О1

найдем размерность весовой функций для перемещений hu (t):

[М О ]	[* (0 ] _	L	=т.	(III.31)
	Г [Wo(О I	T L T ~ *

Таким образом, весовая функция для перемещений должна выражаться® единицах времени— секундах. Этот'результат можно получить непосредственно, если принять во виимдіние, что

101

при расчете по формуле (III. 6) весовая функция является реак­ цией «а единичный импульс ускорения. Импульс создает началь­ ную скорость, равную единице, ио(0) = 1. Так как решение урав­ нения линейной системы x(t) должно быть при отсутствии пра­ вой части пропорционально начальным условиям, то для h„(t) ■получаем

_ £ ( 0 К (О ~ V(0) ’

откуда следует (III. 31).

Аналогичным путем получим, что весовая функция для ско­ рости будет равна отношению скорости системы к начальной ско­

рости, а ее размерность равна	единице (нулевая	размерность):
М 0	[«W1	(ш -32)
	= ^ Щ = 1 .

Весовая функция для ускорения равна отношению ускорения системы, вызванного единичным импульсом, к начальной ско­ рости:

	[М Ч ] = - | ^ [			=	г " .	(111-33)
Следовательно, весовые		функции	для		ускорений	выражаются в
единицах	частоты.
Проверим для примера размерность весовой функции ускоре­
ния по	формуле (III.	10):
	«	-	- ^	t
	K V ) = 2віѴи* ‘				S i n ( ü ) ^ - a ) .

Так как экспоненциальный и тригонометрический множители безразмерны, остается выяснить размерности о, ц гы. Ордина­ ты нормированных форм колебаний удовлетворяют соотношению

2 г1іть = 1 ’

откуда следует

			Ы = [ т Г *
(т — обозначение		массы).	П
Величины	<к	равны	= 2 rkimk' следовательно, [ од —
1	_		k=i	L J
			и функция hw(t)	имеет размерность
= [/га]отсю да I o.r^.j = 1

частоты іо.

102

Размерности весовых функций сейсмической нагрузки и перерезывающей силы составят

[ s{t) ] = [S(*)] = тТ~1= FL~l Т.

(III.34)

Последние соотношения можно получить по общему правилу, рассматривая весовые функции нагрузок и перерезывающих сил как отношения соответствующих усилий, возникших в системе, к начальной скорости:

[і(г)] = [і(0] = - Д г = « - 'т

Размерности переходных функций g (t) легко найти, исходя из соотношения

h ( 0 = g(t).

Обозначив индексами и, v, w и s соответственно функции для перемещений, скоростей, ускорений и усилий, найдем

(III.35)

[gs (t)] = FL-' Г-

Te же результаты можно получить из физических соображений. Переходной функцией мы называем реакцию системы на ступен­ чатое воздействие постоянного ускорения, равного единице. Сле­ довательно, переходные функции являются отношениями реакций системы к возмущающим ускорениям, откуда легко получаются написанные соотношения.

Обработка записи динамических испытаний для получения ве­ совых функции заключается в измерении ординат осциллограмм и умножении их на соответствующие постоянные множители, кото­ рые мы будем называть масштабными коэффициентами. Они необходимы для того, чтобы привести записанные при испытаниях реакции сооружений к реакциям на единичный импульс ускорения основания. Масштабные коэффициенты зависят от характеристик записывающих приборов, параметров ударного (или натяжного) устройства и массы сооружения.

Ординаты записи измеряются с помощью микроскопа или ав­ томатического считывающего устройства. Измерение лучше всего производить через 0,01 сек., для чего осциллографы должны иметь достаточную скорость развертки. При недостаточной скорости раз­ вертки приходится ограничиться измерением ординат вершин кри­ вой, что превращает ее в ломаную линию. Для вычисления весо­ вых функций по формулам (III.24) или (III.25) значения ординат между вершинами определяются по интерполяции. При измерении по вершинам точность результатов снижается.

103

При обработке записей приходится также решать вопрос о построении нулевой линии. Здесь возможно применение методов, изложенных в [101], однако большой необходимости в этом, по-ви- димому, нет по следующим причинам. Запись колебаний после удара или сброса нагрузки имеет небольшую длину, как правило, не более 3 сек., и на ленте всегда имеются прямые, соответствую­ щие положению равновесия до начала испытаний и после оконча­ ния процесса.

Продолжения этих прямых с достаточной точностью дают по­ ложение нулевой линии на записи. Записи обычно производятся в режиме малой чувствительности приборов, поэтому микросейсмы не искажают положения линий равновесия. Кроме того, для определения сейсмических воздействий по заданным акселеро­ граммам ошибка в определении положения нулевой линии, сво­ дящаяся к ее параллельному смещению относительно истинного положения, не будет иметь значения, если акселерограмма скор­ ректирована по нулевой линии и, следовательно, имеет нулевое математическое ожидание. Из формул (III.4) и (III.6) видно, что в этом случае добавление постоянного слагаемого к весовой функ­ ции не меняет результата.

При измерении или, как принято говорить, при цифровании записей ординаты удобнее всего измерять и заносить в таблицы в миллиметрах. Абсциссы в таблицы следует заносить переведен­ ными в секунды. При наличии отметок времени через 0,01 сек. время в сотых долях секунды, отсчитываемое от начальной точки, равно номеру ординаты.

Переходим к определению масштабных коэффициентов. Рас­ смотрим сначала испытания ударной нагрузкой.

При отношении массы этажа к массе маятника (100 или боль­

ше передаваемый .сооружению импульс можно		определить по
формуле
/ = ст0ѵо,
где с — коэффициент восстановления при	ударе;	ѵ0— скорость,
(горизонтальной составляющей) движения	маятника в момент

удара; т0— масса маятника.

Будем пользоваться системой единиц МТС, где Т — единица

Т•сек“

силы или веса. Скорость выражается в місек, а масса—в ■: .

Масса будет равна m =		, где Q — вес в тоннах.	Импульс
будет измеряться в	Т-сек.		масса в
Под действием	импульса /. j -я сосредоточенная

расчетной схеме mj (в одномерной схеме ш} —масса у-го этажа), приобретает начальную скорость ѵ. :

	fj	m0
V ; =	—	= C V n ---- .
J	Ttlj	0 rrij

104

Так	как единичный		импульс ускорения основания создает во
всех	точках	сооружения		начальную скорость, равную		единице,
то ординаты		записи	для	приведения	к единичному	импульсу
надо	разделить на		. Таким образом,		если импульс /.	записан

приборами в п точках выхода, то весовые функции будут равны

h	hh,	т,	~
	— - к1	= --- !—	h
kj	Vj	cvom o	’

где hkj — реакция сооружения на /г-м выходе при ударе в /-й точке.

Для определения величины hkj по записи прибора надо знать,

коэффициент увеличения прибора ^ в комбинации с данным ос­ циллографом и примененный при испытаниях коэффициент загрубления ß. У акселерографов величина [а обычно меньше единицы. Коэффициент увеличения вообще должен считаться величиной, имеющей определенную физическую размерность. Например, для акселерографов истинная величина записанного ускорения равна

где	— ордината записи, измеренная в единицах длины. От­
сюда	видно, что размерность |а— сек2.

Для сейсмографов коэффициент увеличения имеет нулевое измерение.

Для определения весовых функций пригодны только те при­ боры, частотные характеристики которых мало отличаются от столообразной формы в рабочем диапазоне частот. Рабочим диапазоном в данном случае является интервал частот от перво­ го тона колебаний сооружений и выше, до самых высоких частот» записываемых прибором. Желательно иметь приборы с достаточно равномерной характеристикой на интервале не менее 7\ч-0,ЮТѴ где Т1— период первого тона колебаний сооружений. В этом случае за коэффициент увеличения можно принять его значения для частоты первого тона колебаний.

Выше мы условились ординаты записи измерять в миллимет­

рах, поэтому истинное	значение реакции сооружения в системе
единиц МТС запишем	как
Окончательно ординаты весовой		функ
	m-j f	Уьі'	(Ш.36)
	100(V

lOS

где rtij— масса этажа (у-я сосредоточенная масса в расчетной

»		удар,	I LС/Ѵ
схеме), воспринимающая			—-— ;
Р — безразмерный	коэффициент загрубления (р > 1 );
Р — коэффициент увеличения		прибора,		размерность кото-
рого в общем	случае равна ы		=	L
				[Л] ;

А— записанная величина, т. е. смещение, скорость, ускоре­ ние, напряжение и т. п.;

с— безразмерный коэффициент отскока при ударе (см. § 3 настоящей главы);

ѵ0 — скорость маятника, м/сек;

Т >сек'1 mQ— масса маятника, -------;

y kJ — ордината записи, мм. Масштабный коэффициент равен

га, ß

II —------------- (111.37)

•« 1000|j.ct'orao

Так как величина у всегда измеряется в единицах длины (мил­ лиметрах), то масштабный коэффициент должен иметь раз­ мерность

[k} = [hl

где £/і] — размерность данной весовой функции.

Весовые функции для смещений, скоростей и ускорений имеют размерности, не зависящие от единицы длины (Т, 1, Т~1 соответ­ ственно). Поэтому при определении реакций системы на воздей­ ствие в соответствии с законом акселерограммы по формуле (III. 6) или (III. 4) результат получится с теми единицами дли­ ны, которые входят ,в численные значения ординат акселерограм­

мы. Так, если акселерограмма	табулирована в см/сек2, то сме­
щения, скорости и ускорения	системы получатся	соответственно
в см, см/сек, см/сек2, что не представляет никаких		затруднений.

Иначе обстоит дело при определении сейсмических нагрузок или перерезывающих сил. В этом случае единицы измерения весовых функций должны быть согласованы с единицами измерения ак­ селерограмм. Для того чтобы пользоваться системой МТС, необ­

ходимо	ординаты	акселерограммы		выразить	в м/сек2. Удобнее,
однако,	оставить	табулированные		значения	акселерограмм	з
см/сек2,	множитель ™ отнести к			масштабному коэффициенту
весовых функций, после чего он будет равен
		kм	y-cvümt)	10-	(III.38)

При данном значении масштабного коэффициента все резуль­ таты расчетов по формуле (III. 6) будут получаться в системе единиц МТС.

J06

Формулы (III. 36) и (III. 37) относятся к весовым функциям для ускорений, скоростей и смещений. Для сейсмических нагру­ зок будем иметь

	«	т, пи ß	•		(I1L39>
Однако умножение	на	т к можно выполнять после суммирова­
ния весовых функций	по	формулам	(III.	24) и	(III. 27) или
(III.28).			от	маосы в	точке удара,
Масштабный коэффициент зависит

параметров удара, которые могут быть различными в разных точ­

ках, и от	параметров	прибора, на котором сделана запись. По­
этому при	вычислении	весовых функций h k(t) по	формуле

(III. 24) последняя в развернутом виде запишется следующим

образом: для весовых функций смещений, скоростей и					ускоре­
ний
ЛА, (/) =	к г 5 V	т> 'Ѵ - у		■	(III.40)
		cс .ѵvQпітпJm0jУ- к1		'
для сейсмических нагрузок
s, (/) H ie r 5 mk V		h	укі.		(III.41)
Если при испытании	протяженных		зданий удары		произво­
дятся в нескольких вертикальных		плоскостях		(створах), то ре­

комендуется сначала вычислить функции /і(к (t) для каждого /-го

створа, после чего произвести суммирование по формулам (III.27) и (III.28). Для весовых функций сейсмических нагрузок умноже­ ние на тк выполняется в последнюю очередь.

При испытании методом сброса нагрузки после такого же, как и в предыдущем случае, цифрования записи и составления таб­ лиц ординат, измеренных в миллиметрах, следует определить истинное значение реакций путем дифференцирования запи­ санной функции по времени, найти реакции, соответствующие весовым функциям, привести к единичному воздействию и сог­ ласовать единицы измерения с акселерограммой. При всех преобразованиях единица измерения времени остается неизмен­ ной, так как абсциссы при составлении таблиц измерений сразу должны быть занесены в единицах времени. Поэтому порядок выполнения преобразований не имеет значения. Покажем более удобный порядок. После того как в результате цифрования за­ писей составлены таблицы, в которых абсциссы выражены в единицах времени, а ординаты—.в миллиметрах, выполняется численное дифференцирование полученных функций по времени:

Аг к

ук (III.42)

Atк

107

где

I

а 2( - ординаты записи.

Затем ординаты ук умножаются на масштабный коэффици­

ент, который определяется следующим образом. Истинная вели­ чина производной реакции, записанной на ленте, будет

	Л	kJ	= і ^
			1000 р.
где	3 и [J. — коэффициенты загрубления и коэффициент увеличе­
ния	прибора; ykj — производная, определенная по формуле (III.42).
	Сбрасываемая нагрузка или разрывное усилие Я. создает ус­

корение массы /га., равное

w.

Для приведения к единичному ускорению на эту величину

следует разделить hkj . Кроме того, необходимо учесть множи­

тель ІО-2 для перевода ординат акселерограммы в м/сек2. Окон­ чательно получим весовую функцию: для смещений, ускорений и скоростей

ВТП:	(“1.43)
й« = й ir f r J V

‘І

для сейсмических нагрузок

s*/=- 10'уЯ. УкГ	(III.44)
Вычисление функций hk (t) и sk (t), т. е.	суммирование ор­

динат по вертикали и горизонтали, выполняется так же, как при обработке записей испытаний ударной нагрузкой.

Правильное суммирование составляющих	весовых	функций
требует точной синхронизации всех осциллограмм, так		как все
суммируемые ординаты должны относиться	к одному	моменту

времени, отсчитываемому от общего для всех записей начала.

§ 6. Определение весовых функций при произвольном внешнем воздействии

При исследованиях и испытаниях сооружения часто записы­ ваются реакции на различные внешние воздействия, например та­ кие, как микросейсмы, взрывы в грунте, вибрационные воздейст­ вия и др. Обработка записей обычно сводится к определению пе­ риода первой формы колебаний и значительно реже — декремен-

108

тов и периодов нескольких гармоник (здесь не имеются в виду испытания мощными вибромашинами, которые проводятся с дру­ гими целями) [2, 5, 37—39, 57, 58, 63, 71—73, 78, 79, 124, 132].

Желательно использовать результаты указанных видов испы­ таний сооружений для определения весовых функций, которые содержат более существенную информацию о механических свой­ ствах сооружения.

Рассмотрим случай воздействия, передающегося сооружению через основание. К этому виду воздействий относятся землетря­ сения, взрывы в грунте, сбрасывание груза на грунт около соору­ жения, сотрясения, вызываемые проходящим транспортом и др. Землетрясения здесь упомянуты в связи с тем, что в настоящее время начинает функционировать обширная сеть инженерно-сей­ смометрической службы в городах и на крупных строительствах. Основной задачей сейсмометрической сети является запись коле­ баний грунта около сооружения, на фундаментах и перекрытиях, при действии слабых и сильных землетрясений. Полная програм­ ма службы предусматривает регистрацию смещений и ускорений по трем составляющим. Излагаемая ниже методика предназначена б первую очередь для обработки ценного материала, собираемого станциями инженерно-сейсмометрической службы.

Запись ускорений колебаний груінта «близи сооружения будем

называть воздействием, записи колебаний в различных		точках
сооружения—реакциями. Более точно	воздействием будем на­
зывать акселерограмму составляющей	движения грунта в	вер­

тикальной плоскости, совпадающей с плоскостью колебаний соо­ ружения. В принципе данная методика может быть распростра­ нена и на обработку сейсмограмм, однако точность результатов при этом снижается.

Рассматривая вертикальную (одномерную) систему с п сте­ пенями свободы как систему с одним входом и п выходами, об­

ратимся ко второму равенству формулы (III. 6), которое					может
быть написано в двух видах:
*		(
x k (t) = \ w 0(-z)hk ( t - x ) d x =		\ w0{ t - ^ ) / i k (z)di,			(H I-45)
здесь x k (t) — реакцияо	на k выходе	ио	w0 (t) — воздействие		в ука­
занном выше смысле,	hk(t) — весовая функция,			которая	должна
быть определена по реализациям и’0(t) и x k (t).				Опуская	в даль­
нейшем для упрощения записи индексы 0 и k,				поставим следую­

щую задачу.

Свертка двух функций

jc = w* h (III.46)

задана в графической или табличной форме и известна функция ■w, которая также может быть представлена в виде графика или

109