книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1

а функции ®г (() являются решением дифференциального уравне­ ния

ю.+ ш2 ®. =0,

аналогичного уравнению (II.8) при с = 0. Величины ш2 суть соб­

ственные числа уравнения (II.68).

Переходя к уравнению затухающих колебаний, принимаем, что силы внутреннего трения, действующие на элемент стержня, пропорциональны -скорости перемещения элемента, зависят от динамических характеристик системы и могут быть выражены с

помощью специального оператора Фредгольма второго

рода в

виде

f ( x ) = с §F(x, s) у (s, t) т (s) ds,

L

х

где /( - г ) —сила

трения

в точке

на

единицу длины стержня;

F(x, s) — симметричное

ядро

оператора F;

с — сред­

ний

коэффициент

затухания,

зависящий

от

свойств

материала.

будет

Дополнительное перемещение, вызванное силами трения,

уЛх, t) = c \D ( X , sl)dsl

'L

s)y(s,

t) in (s) ds.

Обозначив

1

C(x,s) =

§D(x,St) F(su s)dst,

(11.69)

L

получим

yf (x,t) = c je (x,

s) у (s, t)m (s) ds.

L

С помощью

оператора С уравнение

затухающих

колебаний

запишется

так:

у (X, t) +

\D (JC, S )

у ( S , /) m (s)ds + c§

C (x, s) y{s, t ) m (s) ds = 0.

•

L

L

(11.70)

Если в качестве

ядра

затухания

С (х, s)

'принять функцию

С (х, s) =

1=1 П (X) rt

(s)

(11.71)

где г{(х) — собственные

функции

уравнения

(11.68),

а

^ — по­

следовательность собственных

чисел

ядра

С (х, s), отличная от

2

о)2, то решение

уравнения (11.70) можно

выразить в виде

(11.67),

80

где функции rt {x) остаются без изменения, а функции -в (t) яв­

ляются решениями дифференциального				уравнения
	2
(0 +	с -J-	® (t) +	ш: ®г (t) = 0.		(11.72)
Запишем решение	уравнения		(11.72):
<Р, ( 0 =	a te	°2'н Sin ( t		- a t J ;	(11.73)

Декремент колебаний составит

Та или иная зависимость декремента от частоты колебаний обус­

ловливается соотношением		между числами					и I..	Если принять
2 п ~	т			аналогичному (11.21).					Условие
"	» придем к уравнению,
независимости декремента		от	частоты		получится,			если	принять
\ = шг В	этом случае функции оД/) будут						выражаться уравне­
нием (11.24), а декремент		колебаний — равенством						(11.26).		Ядро
затухания
	С (л, s)	2 ГІ		( х ) r i		W				(11.74)
будет удовлетворять уравнению
	j e (х, s,) C(s„ s)m(s1)dsl =					£>(х, s),				(11.75)
где D(x, s) — функция влияния системы,						которая		является вто­
рым итерированным ядром по отношению							к C(x,s).		(11.74) для
Непосредственное применение				формул			(11.71) или
составления уравнений возможно в случае							замены	ядер		D(x,s)
и С (х, s)	вырожденными ядрами или матрицами п-го порядка.
Соотношение (11.75) можно			записать		в операторной				форме
		(С )2= Д								(11.76)

где С и D являются операторами Фредгольма второго рода с симметричными ядрами С (х, s) и D (x, s) и с весовой функцией /ra(s). Из (11.69) и (11.76) следует, что и в более общем случае

fi—248

81

	п—т
хг = ш.	п оператор F может	быть выражен в виде	отрицатель­
ной, а	оператор С — положительной рациональной		степени опе­
ратора	D.	колебаний однородного стержня
Для	сдвиговых поперечных

можно написать дифференциальные уравнения с учетом затуха­ ния, аналогичные (II. 57) и (II. 60):

д”-у

— с Y n t â F

д 2у

- G'F

д:у

0;

(11.76')

т d/2

дх -ді

дх-

=

=У+ с V m G ’F ^ - G ' F

дх?

=

0.

(11.76")

дг-

Через G' обозначен модуль сдвига с учетом

коэффициента фор­

мы поперечного сечения, площадь которого равна F. Для

(11.76')

метод разделения (переменных приводит к уравнениям

г" +

ßr =

0;

ср -ф CCüßcp +

(іГ® = 0.

Решением первого из них являются собственные функции

уравнения незатухающих колебаний, а решение

второго —

С«ц

ßf

®l {t) = al e

2

sin

t — azj,

где

саза

°'i = 0,i

1'

tÜi

G'F

m

Декремент колебаний

■

Так как величины

ß.

пропорциональны

частотам

,

решение

/

уравнений (11.76)

качественно

аналогично

решению

уравне-

ния (11.57).

Уравнение (11.76") эквивалентно следующим двум:

г" +

3V = 0;

О ,

Ш

о

-

ѵО‘ -f- С Н ‘ со - } - o r со =

где соотношения между ши ß такие же, как и в предыдущем слу­ чае. Первое из них снова приводит к формам незатухающих колебаний, второе имеет решение

-	І І І - 1
с?l ( t ) = a i e	2fi sin (ш' t — аг j,

82

где

шI		1 -	С3
				2 *
			4ßI
Декремен'г колебаний ог =	с у - уменьшается с увеличением
номера гармоники. Из двух	уравнений			(11.76) затухающих коле­
	1/

баний однородного стержня, испытывающего деформации сдвига, уравнение (11.76") находится в лучшем соответствии с опытом, и его решение не содержит логических противоречий, от которых не свободно решение уравнения (11.76'). Поэтому для практичес­ ких расчетов следует пользоваться уравнением затухающих колебаний сдвига в виде (П.76").

Чтобы улучшить соответствие решений уравнения с опытными

данными, в данном случае, так же как и в уравнении		(11.61), можно
использовать линейные комбинации	диссипативных	членов урав­
нений (11.76) с двумя различными	коэффициентами затухания
С\ и с2.

Составление уравнения затухающих колебаний, удовлетворяю­ щего условию постоянства декремента для всех гармоник, возмож­ но только с введением специальных операторов. Для описания колебаний однородного стержня можно ввести оператор Гильберта

Нх) сходный с оператором затухания, предложенным В. Колоуше-

ком [44], с той разницей, что в данном случае оператор действует на функцию переменной х — координаты стержня, а не на функ­ цию времени t, как в работе [44].

Оператор Гильберта Н определяется следующим соотношением:

= 4-J іт—_х d\.

(11.77)

Одно из свойств этого оператора, которое в данном случае может быть принято за его определение, выражается соотношениями

Н sin ßx = — cos ßx

(11.78)

H cos ßx — sin ßx

Уравнение

_ G 'F —		(11.79)
u	dx?

удовлетворяет поставленным требованиям. В этом можно убедить­ ся, используя подстановку

со
У (х , t) = 2	(Л, sin ß, X +	Bt cos ß, x) <?l (t),	(11.80)
1
что приводит к уравнению для <р((£)
?i +	7ші <?i + w\ t	= °*

83

которое характеризуется постоянной величиной декремента для всех форм колебаний.

Более общую зависимость декремента от частоты получим,

переписав уравнение (11.79) в виде
<Э- у -р GTF	н	д-у	-	G ' F ^ = 0.	(11.81)
т		дхді		д х 1

Как и в случае дискретных систем, возможны линейные ком­ бинации диссипативных членов, приводящие к различным видам зависимости декремента от частоты.

Г л а в а III

ИССЛЕДОВАНИЕ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ МЕТОДАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И НАТУРНЫХ ИСПЫТАНИЙ

§ 1. Определение реакций сооружений на сейсмические воздействия с помощью весовых функций

Сейсмическое движение почвы не может быть описано с по­ мощью замкнутого аналитического выражения. Поэтому при рас­ четах и испытаниях сооружений и их моделей применяются кос­ венные .методы, основанные на использовании аналитических за­ висимостей между отдельными механическими характеристиками сейсмического движения и его воздействием на сооружение, или на замене действительного процесса более простым, допускаю­ щим аналитическое описание или механическое воспроизведение. Первый подход распространен в практике проектирования при расчетах по динамическому коэффициенту ß; второй применяется при испытаниях моделей и сооружений в натуре на механические воздействия в виде ударных и вибрационных нагрузок.

Большое значение для решения задач сейсмостойкости имеет расчет сооружений на воздействия по закону акселерограмм силь­ ных землетрясений. Для этого принимают модели, описываемые дифференциальными уравнениями вида

Lx = ш0(t ) Ж,

(III.1)

где L—дифференциально-матричный оператор;

X—вектор обобщенных координат, которыми в большинстве случаев являются горизонтальные перемещения точек, несущих сосредоточенные массы в расчетной схеме;' Ж—матрица сосредоточенных масс;

ш0(^)—вектор-функция ускорения основания.

Число строк матрицы L равно числу степеней свободы системы. Решение системы (III. 1) получается в -главных координатах, при этом разделение переменных достигается только при опреде­ ленных дополнительных предположениях о характеристиках рас­ сеяния энергии ів системе. В результате каждая координата х к

представляется в виде суммы главных координат, значения кото­

рых при нулевых начальных условиях зависят от wo{t)	и закона
внутреннего трения:
П
x k = ^ l x lkTl (t,B),	(III.2)
г-і	85

где е — параметр, характеризующий внутреннее трение.

Для расчета сооружений необходимо определить максималь­

ные значения	координат и связанных с ними силовых факторов
за время землетрясения, которое принимается равным		длине
обрабатываемого интервала записи на акселерограмме.		этапа"
Решение	задачи обычно выполняется на ЭЦВМ в два

Вначале определяются частоты и формы собственных колебаний, причем, как правило, при вычислениях ограничиваются тремя первыми частотами и формами. Тем самым исходная модель за­ меняется тремя независимыми системами с одной степенью сво­ боды, сумма реакций которых приблизительно эквивалентна реакции исходной системы.

Второй этап решения заключается в определении максималь­ ных значений суммы (ІП.2). Акселерограммы обычно задаются в табличной форме и для сокращения вычислений при подготовке материала и определении значений х к max интервал обработки

акселерограммы сокращают до 4э-б сек. Максимальные значения суммы вида (III.2) приходится определять отдельно для всех необходимых кинематических компонент и силовых факторов, при­ чем структура формулы (ІП.2) каждый раз меняется.

Ценность получаемых результатов ограничена тем, что степень соответствия расчетных схем действительным механическим ха­ рактеристикам реальных сооружений недостаточно высока, в свя­ зи с чем неоднократно делались попытки испытать механические модели сооружений на воздействия по закону акселерограмм. До настоящего времени проблема создания сейсмоплатформ програм­ много действия, с достаточной точностью воспроизводящих сейс­ мические движения и обладающих необходимой грузоподъемнос­ тью, не решена.

Таким образом, в аналитических расчетах можно с большой точностью воспроизвести внешнее воздействие, используя реали­ зации сейсмического процесса, однако объектом изучения являет­ ся не само сооружение, а его идеализированная модель, представ­ ляемая расчетной схемой. При натурных испытаниях, наоборот, изучается само сооружение, но внешнее воздействие заменяется его упрощенной идеализацией.

Излагаемые «иже методы, основанные на использовании вре­ менных характеристик линейных систем, имеют целью объединить расчет и испытание сооружений на сейсмические воздействия, заданные в виде отдельных реализаций, и установить связь меж­ ду результатами натурных испытаний простейшего вида и анали­ тическими раскетами сооружений -на сейсмические воздействия.

Переходной функцией g(t)	мы будем называть реакцию си­
стемы на воздействие в виде	единичной	ступенчатой функции
о(7); определяемой равенствами
o(t) =	1, t > и,

о ( * ) = 0 , * < 0 ,

86

а весовой функцией h(t) — реакцию на воздействие единичной импульсной функции 8(t), обладающей свойствами

8(0 = 0,

О,

j 8 (t) dt = 1.

Если L — оператор системы, то

gj(t) = L - l o.(t)

(ІИ-3)

J j ( t ) = L - 18.(^)

где gj {t) — столбец переходных функций, а lij (t) — столбец весо­

вых функций, соответствующих воздействию на /-м входе, при ра­ венстве нулю воздействия на остальных входах [43, 76, 86]:

	1, (0 = [e*j (0);
	hj(t) = [hk j (t)],		Ä = l,?, ... ,	n.
Линейная	система с т входами и ѣ выходами				может	быть
полностью описана матрицей			переходных	функций		нли
весовых функций || hkj |J		, причем
ë kj (0	= hkt (0	(k = 1,2, ... , ѣ\ j =		1,2, ... ,	т).

Как известно, реакция на k-u выходе при воздействии w0j (х) на у'-м входе определяется выражением

x kj (0 - J woj (') ё кі (t

і) dr = j w0j (x) hkj (t — x) dz.

(III.4)

U

U

При определении реакций механических систем на сейсми­ ческие воздействия нет необходимости вычислять переходную или весовую матрицу, так как все входные величины пропор­ циональны ускорению основания wQ(t) и действуют одновременно. В этом случае удобно рассматривать заданную систему как имеющую один вход и ѣ выходов. Матрица весовых функций заме­

няется вектором с	составляющими gk{t)	или соответственно
hk(t), где	т
ё к (*) = У>£ы (О
	j - 1	(III.5)
м * )	= 2 А*у{t)' k = h 2	п
	/=•1

Здесь движение всех точек основания сооружения рассматрива­ ется как синхронное. Весовыми функциями можно пользоваться

87

при изучении влияния факторов протяженности на сейсмические воздействия. При этом движение различных точек основания не будет синхронным, и систему следует рассматривать как имею­ щую большое или бесконечное число входов. Этот вопрос рассмот­ рен в § 9 настоящей главы.

Поскольку	все величины (III.	5)	являются	непрерывными
функциями t, требуется только одна программа				вычисления ин­
тегралов:	і	(
х к (^) =	)' wo (т) Sk V ~ - ) ä -	= j	wü {'-) hk (t — x) dx.		f III.6)
	I)	0

Акселерограмма w0(t) задается обычно в виде таблицы. Весо­ вые функции можно вводить в машину также в табличной форме, или в виде графика, если позволяет входное устройство вычисли­ тельной машины. Результат вычислений получается в виде дис­ кретных значений функции x(t) с шагом, равным шагу акселеро­ граммы. При обычном шаге 0,01 сек. и длине обрабатываемого участка акселерограммы 11 сек. для каждой функции ,ѵ(/) будет

найдено	1100 ординат.	Можно	было бы	включить в программу
определение максимума		|.ѵі'Л|	и получать результат в виде толь­
ко одной	цифры, однако в этом случае			будет потеряна ценная

информация об изменении искомой величины во времени. Иногда

можно использовать программу,	предусматривающую определе­
ние нескольких, например десяти,	последовательных максимумов
с указанием соответствующих моментов времени.

Применение формулы (111.6) для определения воздействия по закону акселерограммы имеет некоторые преимущества перед другими методами. Одно из них заключается в том, что вычисле­ ние весовых функций во многих случаях возможно в замкнутом виде, без предварительного вычисления частот и форм колебаний. В частности, весовые функции могут быть получены на аналого­ вых установках. Кроме того, интегралы в формуле (III.6) вычис­ ляются по стандартной программе, обладающей большой уни­ версальностью: она не зависит от числа учитываемых форм коле­ баний и характера определяемой величины и не меняется при оп­ ределении нагрузок, перерезывающих сил или других параметров напряженного состояния.

§ 2. Аналитическое определение весовых функций
В теории лимейных систем весовые функции	определяются

аналитически как решение системы уравнений свободных колеба­ ний при начальных условиях [43, 86, 108]

х] (0) = 0,	* ,( 0 ) = ^ - ,
1	J	“ 0/

88

где a0j — коэффициент при Xj в у-м уравнении. (В более общем случае a0j — коэффициент при производной высшего порядка в у'-м уравнении).

Весовая функция в этом случае применительно к механическим системам соответствует реакции на действие единичного импульса

силы на у'-ю массу, в результате чего эта масса		приобретает
начальную скорость ѵ. (0) =	При исследовании	сейсмических

воздействий удобнее рассматривать действие возмущения в осно­ вании сооружения. Если, следуя указанной методике, определять весовую функцию как реакцию на единичный импульс силы, то век­

торы hk (t) и gk (t), определяемые соотношением (III. 31, будут

представлять собой решения уравнений свободных колебаний при начальных условиях

, k = 1,2, ... , и.

к

где тк — масса, сосредоточенная в точке k , так как при единич­

ном силовом импульсе все точки сооружения будут иметь, указанную начальную скорость. В формулах (III.6) вместо функ­ ции w0(t) в подынтегральном выражении нужно было бы записать не ускорение w0 (t), а т} w0 (t ) — сейсмическое инерционное-

усилие, действующее на у'-ю массу [6].

Предпочтительнее, однако, иметь дело с уравнениями в виде (III. 6), так как они имеют более универсальную форму. Для этого сейсмическое -воздействие следует рассматривать как фак­ тор не силовой, а кинематический, каковым оно по существу и является. Весовой функцией следует считать реакцию на воздей­ ствие в виде единичного импульса ускорения, определяемого со­ отношением

w0{t) =	3(2!),
где w0(t) — ускорение основания	сооружения.	равна еди­
Начальная скорость всех точек	сооружения будет
нице, следовательно, векторы gk{t) и hk (t), которые		мы в даль­

нейшем будем называть весовыми функциями сейсмических реакций (в отличие от весовых функций в собственном смысле,, которые снабжаются двумя индексами, соответствующими номерам входа и выхода), будут определяться как решения уравнений свободных колебаний

L x = 0

при начальных условиях

X . (0) = 0; X . (0) = 1, / = 1,2.......

пг.

(Ш.7/

89