книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1

В теории колебаний доказывается, что произведение матриц

[.м - 1) [К] = W*,

где	[.МТ1] = R~X			R,
		\K\-=R~XKR,
всегда приводит к диагональной			матрице W2 с			положительными
элементами а>^, т. е.	существуют		диагональные				матрицы	W =
j_
= (IF2) 2 с действительными элементами ш/ .
Основываясь на свойстве транзитивности преобразования по­
добия и учитывая, что
[R\ A[ R]B = / Г 1A R R - 1 BR = [/?]						AB,
находим:		j_	_i_	[м	1
w= \м~х ]2 [/r]			2 =		®] [/<•*].
Умножая это равенство		слева на матрицу			- _і_		_і	, по­
					[ М	2 ] = [Л42 ]
лучаем		_і_		_і_
		[ M 2\ W = [ к 2].
Обозначим матрицу в левой части через					1Г*. Матрица (У7*,			оче­
видно, имеет действительные элементы.
Таким образом,	имеем равенство			\_
		W* = R~l K 2R.
Умножая последнее равенство слева на						R	и справа на
R~x , приходим к выражению				1
		RW* R - 1= К 2,						(11.44)
где матрица в левой части имеет действительные							элементы. Су-
ществование матрицы		К 2 с действительными элементами доказа­
но. Ее симметричность		обусловлена симметричностью матрицы К-

Вместе с тем, равенство (11.44) дает и один из возможных мето­

дов вычисления	корня квадратного		из	матрицы К, при котором
требуются вычисления собственных			чисел и		собственных векто-
					j_
ров матрицы М~х К, после чего		определяются W* и К 2по формуле
(11.44). Этот путь	не является	наиболее		экономичным, особенно
в случаях, когда	частоты и формы колебаний				в дальнейшем не

используются, однако одним из преимуществ его является нали­ чие во многих вычислительных центрах готовых программ для определения W2 и R.

70

§ 6. Вычисление коэффициентов матрицы рассеяния энергии

Л'Іатрица собственных векторов обладает свойством

/ Г 1 = R М,
где R — транспонированная	матрица собственных векторов.
Таким образом, корень	квадратный		из	матрицы жесткости
может быть, согласно (11.44), определен			по	формуле
- L - L		—		(11.45)
К 2 = M 2R WRM.

После вычисления квадратного корня из матрицы жесткости определение элементов матрицы затухания не представляет за­ труднений:

_і_ _і_
С = ЛМ 2К 2.	(П.46)

Уравнения колебаний системы со многими степенями свободы часто записываются с помощью матрицы единичных перемещений А которая является обратной по отношению к матрице жестко­ сти К:

D = К~х .

Уравнение вынужденных колебаний с правой частью в виде акселерограммы землетрясения, согласно (II. 28), запишется так:

—	_L 1	—	_	_	(11.47)
М х -j- ^M 2 К 2		X	К х = — М w0(t).

Умножая это равенство слева на матрицу D, получаем систему уравнений в перемещениях:

—

— — — —

—

D M X + yDM 2 К 2 х + х — — D M w0(t).

Вэтой системе уравнений матрица затухания будет

1I

С— -\DM 2 К 2,

что на основании (II. 45) приводится к виду

С = тD M R W~RМ.

(11.48)

Матрицы

S — R W R

и

T = M R W R M

71

симметричны, что следует учитывать при их вычислении.

В .качестве примера рассмотрим вычисление матрицы затуха­

ния для системы с тремя степенями свободы, приведенной на
рис. 29. Данные заимствованы	из работы [49].
Матрица единичных перемещений такова:
'3,48	4,242	4,242
D = 4,242	8,54	9,147
4,242	9,147	13,35

				Матрицы масс, собственных частот и нор­
т3 = 6,43		'I		мированных форм					колебаний		соответственно
				равны:
т: = 12,55		1				/12,55				0	°	\
					Л1 = \		0			12,55
											0	;
4), =12,55		X				V	о			0	6,43/
						/	6,98			0	0	А
					W = \		0			21,4
											0
Рис. 29. Система			с			\	о			0	34,2	/
					/	0,105			0,208		0,158
тремя	степенями
свободы.				/? =		0,198			0,0462 -0,194
					V 0,237			- ■0,258			0,181
Производя		умножение			матриц		в	соответствии с				формулой
(II. 48),	получаем
				/ 1,856		-0,708				-0,003 N
		S =		-0,708			1,541			-1,129
				\ —0,003		-1,129				2,947 ,
			/	292,32		-111,51				0,242
		=	-111,51			242,708			-	91,11
			V	0,242		- 91,11				121,84
Матрица затухания будет
					/54,53		25,50			13,02\
	С = ~{DT = ІО- “1( 28,99						76,63			36,65	,
					\22,33 ■ 53,07					79,40/
где принято		у= 0,1,		что	соответствует декременту							колебаний
б « 0 .3 .

Для проверки правильности вычислений можно использовать равенство, основанное на соотношении

/ Г 1( М~1 К) R = U72,

72

где Wi—диагональная матрица квадратов собственных частот,

R- 1CR = M~RCR =

Система уравнений сейсмических колебаний будет иметь вид:

43,67 л'і + 53,24 л 2 + 27,28 х ь + 54,53 х ±+ 25,50 л2 +

+ 13,02л'з + ІО4 x L= — 150,15 w0 (t),

53,24 + 107,18 л'., + 58,82 Зс3 + 28,99 jq + 76,63 х 3 +

+ 33,65 ^з+ Ю 1X-2 = - 275,21 w0 (t),

53,24Ä-j+ 114,80л', -f 85,84^3 + 22,33 x, + 53,07 x ,+

-f 79,40 хз+104х 3 = — 171,93 IWQ (0-

Путем решения этой системы можно определить в виде функ­ ций времени перемещения точек системы лу , сейсмические нагруз­ ки я перерезывающие силы.

§7. Системы с распределенны ми параметрам и

На примерах изгибных и сдвиговых колебаний однородного стержня покажем возможность построения уравнений в частных производных с действительными коэффициентами, удовлетворя­ ющих тем же условиям—линейности, устойчивости, независимо­ сти декремента колебаний от частоты. При этом решения получа­ ются в виде рядов по формам собственных колебаний стержней

без	затухания.
ня	Уравнение свободных изгибных колебаний однородного стерж­
	без затухания имеет вид
		El	дку -j- т	д^у	=	0,		(11.49)
			дх1	dt-
где	Е — модуль	упругости	материала,			/ — момент инерции		попе­
речного сечения, т — масса единицы длины.								разде­
Подстановка		в (II.49) у (х, t) = X			(х) Т (t) приводит к
лению переменных
		T(t) + u T { t )			=		0,	(11.50)
			- Р Х	( X )		=	0,	(11.51)
где

m ш2

"ЕЛ '

73.

Уравнение		(11.50) соответствует гармоническим					колебаниям
-с частотой	ш.:
		T(t) = a, sin (ш ^ -о ,).						(11.52)
Решениями уравнения (11.50) являются балочные							функции
Xj (х) = At sin ß, ■* +				Bt cos ^i x + Cl sh ß, л: + Dt ch ß, Л'.				(11.53)
Собственные значения				ß(	и постоянные	At ,B., С., D{ опреде­
ляются по заданной системе граничных условий.								Сезава
Уравнение затухающих					колебаний было составлено
(К. Sasawa)	в	1927 г.*	[147]. Вывод уравнений приведен					в более
известной у нас работе			[148]. В основу положена гипотеза вяз­
кого трения, согласно которой нормальная						вязкость	пропорцио­
нальна скорости деформации:
				dv{t) ^				(11.54)

где dv (t ) — сила сопротивления, приходящаяся на элементарную

площадку	поперечного сечения; г — продольная де­
формация;	; — коэффициент вязкости.

Изгибающий момент сил сопротивления, действующих на эле­ мент площади поперечного сечения, будет

dp(t) = ^ z d F ,

где 2—расстояние элементарной площадки от нейтральной оси. Деформация е может быть выражена через внешний изпиба-

чощий момент:

М г

£ = £7-

.Подставляя значение е в предыдущее выражение, находим

dp {t) = -ßT~dTzdF.

Момент сил сопротивления в поперечном сечении равен

дМ	дМ.
Р (О EI dt	Е dt

сотому моменту	соответствует		поперечная нагрузка на элемент
длины стержня:
	do =	дз	g	âM	dx.
		d x J	E	dt

* В известной книге С. П. Тимошенко «Колебания в инженерном деле», Физматгиз, 1959 г., как первоисточник указывается работа X. Хольцера, опублико­ ванная в 1928 г.

74

Подставляя в последнее равенство М = - £ / ^ и сокращая на

■dx, получаем силу сопротивления в сечении с координатой х, отнесенную к единице длины стержня:

=

Чтобы получить уравнение затухающих колебаний, надо подставить в правую часть уравнения (II. 45), получим

2У	+ 5/	д:>х	■ Я /|^ = 0.
dt-		dxldt	дхі

(11.55)

эту силу после чего

(11.56)

В этом уравнении коэффициент \ зависит только от физических свойств материала, так же как и модуль упругости Е. Поэтому можно ввести другой коэффициент нормальной вязкости

		ч
	V =	С
		~Е
и записать уравнение затухающих колебаний как
ді- + ѴЕІ	дъу	+ Ш	д1у	= 0.	(11.57)
	dxlât		дх*
Из уравнения (II. 57) ясно,	что принятые			авторами предпосылки

приводят к пропорциональной зависимости сил сопротивления от поперечной жесткости стержня.

Разделяя переменные подстановкой у(х, t)=X(x)T(t), полу­ чаем

E I ^ ( T ( t ) + Z ' f ( t ) ) + m X T ( t ) = 0,

■что равносильно двум уравнениям:

d*X

ЕІ dx* №

t{t) + l a 2t(t) + a ? T { t ) = 0 .

Первое уравнение совпадает с уравнением (II. 51), поэтому собст­ венные функции краевой задачи (II. 56) совпадают с таковыми для уравнения незатухающих колебаний. Второе уравнение имеет

DeuieiHHe

Tt (t ) = ate 2

sin ( ш. t — a.j,

где

(11.58)

7o

Декременты колебаний —

9
3.1= ігГ -и)І. - .	(11.59)
I
Выражения (II. 58) и (II. 59), где со,-—частота	незатухающих
колебаний, совпадают с выражениями (II. 12) и	(II. 13), кото­

рыми определяются частоты и декременты затухающих колеба­ ний дискретной системы, если принять матрицу рассеяния про­ порциональной матрице жесткости. Это совпадение вполне зако­ номерно, так как уравнения (II. 10) и (II. 56) основаны на одной и той же предпосылке о пропорциональности сил сопротивления поперечной жесткости системы. Выше было показано, что реше­ ния, получаемые на основе этой предпосылки, приводят к логи­ ческим противоречиям и не согласуются с результатами опытов. Остановимся еще на выводах, к которым приходит автор ра­ боты [148].

Исходя из выполненных еще в 1908 г. опытов Г. Оморп, в ко­ торых определен логарифмический декремент первой формы ко­

лебаний кирпичной колонны и получено 7^ = 0,26	сек.,	öi = 0,148,
по формулам (11.58), (11.59) можно установить,	что	наивысшая
действительная частота колебаний не превышает	80	в секунду.

На этом основании К. Сюэхиро приходит к выводу, что во всех случаях колебания выше третьего или четвертого тона не могут в действительности иметь места, так что не следует учитывать ко­ лебаний более высоких тонов.

Для зданий и сооружений более сложной конструкции, чем кирпичная колонна, декременты первых форм колебаний обычно находятся в пределах 0,2ч-0,3, поэтому для них колебания по высшим формам тем более были бы невозможны.

Работы К. Сюэхиро (К. Suyehiro [149]) по инженерной сейсмо­ логии серьезно повлияли на развитие исследований по сейсмо­ стойкости в СССР, и некоторые специалисты до последнего вре­ мени считали, что колебания сооружений по высшим формам не­ возможны. В наши дни это представление, по-видимому, уже пе­ рестало существовать, главным образом под влиянием выводов гистерезисной теории затухания и многочисленных экспериментов, показавших, что формула (11.58) не отражает действительного положения вещей.

Чтобы к стержню с непрерывно распределенной массой приме­ нить методику, разработанную для дискретных систем, следует отказаться от исследования сил сопротивления, действующих на элементарные площадки поперечного сечения и пропорциональ­ ных скорости изменения нормальных деформаций. Вместо этого будем считать, что силы сопротивления, действующие на элемент длины стержня, пропорциональны скорости его перемещений (воз­ можность такой точки зрения отмечена в работе [120], но в ней воп­ рос рассматривается в другой постановке). Кроме того, примем,

76

что эти силы зависят не только от физических свойств материала, но и от механических характеристик сооружения.

Простейший вид	такой	зависимости — пропорциональность
сил трения массе элемента		длины —приводит к уравнению
	д*у	em _ду_		■EI ^		(11.60)
	de­	öt		Ол■'
Применяя метод	разделения		переменных, приходим к двум
уравнениям:
	д4х
	d x {
причем	Т	c f		ш2Т = 0,
		Р4	/ Я Ш 3
			~ЕГ '
Первое уравнение совпадает			с	(II. 51),	второе	аналогично
уравнению (II. 7). Следовательно,				формы	колебаний,	соответст­
вующие уравнению	(II. 60), одинаковы с				формами	колебаний

стержня без затухания, а главные координаты имеют вид (II. 8). Так же как и для уравнений дискретной системы с матрицей рас­ сеяния, пропорциональной матрице распределения масс, частоты

затухающих	колебаний	составят
Декременты	колебаний
		с~
убывают обратно пропорционально частоте.
Решение уравнения		(II. 60) обладает теми же свойствами, что
и решение системы (II.		3). Оно находится в лучшем соответствии

■с опытом и, по-видимому, ведет к некоторой переоценке влияния

высших форм	колебаний. В	большинстве случаев это	лучше,
чем недооценка, которая связана с решением уравнения			(11.56).
Учет затухания	по уравнению	(II. 60) предпочтительнее	еще и

потому, что решение не содержит очевидных противоречий с фак­

тами и допускает	представление		затухающих колебаний	в	виде
ряда по собственным функциям, тогда как для уравнения				(II.	56)
такого ряда не	существует.	В	выражении
		оо
	У(Л'Д)=	6=1

77

в случае уравнения (II. 56) действительными являются только не­ сколько первых членов, поэтому общее его решение не может быть представлено этим рядом. То же относится и к системе урав­ нений (II. 10) при достаточно большом числе степеней свободы- (практически при п > 4).

Учет затухания в форме (II. 56) и (II. 60) обусловливает со­ ответственно прямую и обратную пропорциональность декремен­ та частоте колебаний.

По аналогии с уравнениями для дискретных систем можно ожидать, что существуют другие операторы, с помощью которых получаются промежуточные закономерности. Ниже будет пока­ зано, что в общем случае для систем с распределенными пара­ метрами построение операторов, удовлетворяющих всем постав­ ленным требованиям, сложнее, чем для дискретных систем. Ука­ жем на простую возможность, вполне аналогичную рассмотрен­ ной в § 2 настоящей главы. Уравнение

т	сРу	+	( ctm + с-,ЕІ	_cH_	ду	E I ^	(11.61)
	дР			д х і	dF	öx'

подстановкой у = X{x)T[t) приводится к двум уравнениям с раз­ деленными переменными:

ЛІѴ- фХ= 0;

Т4- (Сі -|- с,ш-)Т -f- ш-Г — О,

где

Первое уравнение снова приводит к формам незатухающих ко­ лебаний, а второе решается так же, как уравнение (II. 17). Урав­ нение (II. 61) приводит к таким же качественным результатам в смысле зависимости декремента колебаний от частоты, как и система уравнений (II. 17).

§ 8. Уравнения с интегральны ми операторами

Для схем с непрерывно распределенной массой можно напи­ сать интегральные уравнения, аналогичные системе (II. 16). Ум­ ножив уравнение (II. 16) слева на матрицу (М~1 К)~1, запишем его в следующем виде:

_	л—m_.
DMx +	с (.D M ) ~ х + х = 0,	(11.62)

где

D= К ~ 1

—матрица влияния, элементы которой dlk равны перемещению точки і по направлению единичного усилия в точке k. Матрица

78

М обратна матрице М~х К , поэтому, применяя оператор [/?], по­

лучаем уравнение в главных координатах, эквивалентное урав­ нению (11.17):

-2ÜZÜ- _

W - v + c W п ср+ср = 0.

(11.63)

Для непрерывных систем матричному оператору D аналогичен оператор Фредгольма второго рода, который определяется ра­ венством

Df{x) = \ D { X , s)f(s) ds;

L

D(x, s)—функция влияния, выражающая прогиб в точке х при единичной нагрузке в точке s. Функция влияния симметрична относительно переменных х и s:

D{x, s) = (s, x).

С помощью оператора D уравнение незатухающих колебаний мож­ но написать в виде, аналогичном (11.34) при с= 0:

Dmy + у = 0,

или в развернутом виде:
\ D ( х , S ) у ( S , t) т (s) ds + у (х, t) = 0.			(11.64)
Точки обозначают дифференцирование по t.		представление	его в
Симметричное ядро D (х,	s) допускает
виде билинейного ряда по собственным функциям rt(x):
D (х, s)	(х) rt (S)		(11.65)
	2	»
	21 = 1

обладающим свойством орто-нормировайнОістл с весом т(х):

J (х) гк (х) т (х) dx = olk.

(11.66)

Решение уравнения (11.64) выражается через собственные функ­ ции в виде

У{1х,і)—	V rt (х) (t ),	(11.67)
	і=1

где функции rt(x) удовлетворяют интегральному уравнению

гі W = ш/ j D (х, s) rt (s) т (s) ds,	(11.68)
L

79