книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1

блюдения этой зависимости дают большой разброс результатов в- ту и другую сторону и предпосылка о постоянстве декремента для всех форм колебаний была принята в порядке первого приближения, а также для того, чтобы получить результаты, согласованные с вы­ водами хорошо обоснованной гистерезисной теории. Однако экспе­ риментальной базой гистерезисной теории являются испытания объектов другого, более простого вида и вполне возможно, чта дальнейшие исследования приведут к заключению о переменности декремента для высших форм колебаний зданий и сооружений. Систему уравнений (II.1) молено приближенно привести в соответ­ ствие с различными экспериментальными результатами путем вы­ бора различных матриц рассеяния. На основании формул (11.15) и (11.20) общий вид таких матриц будет

		п—т т
С = СіМ + С2К + СЪМ ~ К Ч.				(11.29)
Как показано выше, эти матрицы оператором [У?] преобразуют­
ся к диагональному виду.
Рассмотрим в качестве примера матрицу
	_1_ _2_
	Сі = сМ 3 К 3 .
Система уравнений	(11.21) будет иметь		вид
__	2__
іс + с [ М ~ 1 к ) ъ X +		М	~ х К х = 0.	(11.30)
Преобразование координат с оператором [R] приводит				систему
(II.30) к главным координатам.
Уравнение для і-й координаты будет
	_4_
	а{ + счу3 ©г -}-	срг = 0,
частота затухающих колебаний —
По сравнению	с формулой (11.12) отношение			возрастает

значительно медленнее. Критическая				частота, при которой перио­
дическое движение в случае данного				с становится невозможным,
составляет сог>-	,	что	значительно	превосходит критическую
частоту по формуле		(11.12).
Декремент	колебаний		^принимая'	^ u>£j

Ьі = с™і3

возрастает с частотой, но значительно медленнее, чем согласно вы­ ражению (11.13).

60

Если матрицу рассеяния примем как

С2= с М 3К 3 ,

то получим:

2_

3

Sj = ежа 3

Эти результаты сходны с формулами (П.8) и (II.9), но изменения частоты и декремента происходят значительно медленнее. На рис. 28 показаны зависимости декремента от частоты для матриц и С2 (кривые IV и V соответственно).

§4. С вободны е и вы нуж денны е колебания

Вдальнейшем будем рассматривать систему уравнений (11.28). Если имеется в виду аналитическое решение с помощью разложе­ ния в ряд по формам свободных колебаний, то поступаем следую­ щим образом. Находим обычными методами частоты и формы ко­ лебаний системы без затухания (у= 0); главные координаты будут

иметь вид

(О = aLsin

Главные координаты системы (11.28) получаем умножением

где ги — элементы матрицы собственных векторов. Столбцами

этой матрицы являются формы колебаний системы без затухания. Произвольные постоянные at и а. находятся обычным спосо­

бом	по заданным начальным условиям.	задачи о
Аналогично можно искать аналитическое решение
вынужденных колебаниях
	М'х + ч (M K )2 х + К х = f ( t ),	(11.32)
где /	(£) — столбец внешних нагрузок—составляет
	/ ( * ) = [ / і ( * ) . Л ( * ) . ..........> Г п Щ -

61

При сейсмических воздействиях внешние нагрузки имеют вид

f ( t ) = [ — m^w (t), — т2 w (£),...] = — М w (t ),

где w (£) — ускорение основания сооружения. Уравнение в главных координатах запишется как

У + т 1Р®+

? = R M w (t),

где R — транспонированная матрица собственных векторов мат­

рицы М~1 К. Собственные векторы предполагаются нормирован­ ными по массе:

г=і

При нулевых начальных условиях решение для і-рі коорди­ наты будет (принимается шг = я>г )

Л	і	- 1ШІ ,,	■>
о,	f			(11.33)
— “^7	j w(t)e	2	sin шг (t — z) dr,

о

лV

°i= 2 i mk rki •

*=i

Координаты x k определяются по формуле

Л
2 г« ч*і (*)•	(п-34)
г=і

Так же как и в случае свободных колебаний, нет необходимости решать систему уравнений затухающих колебаний. Решение может быть написано, если известны частоты и формы свободных коле­

баний.

Интеграл (II.33) не может быть найден в аналитическом виде, так как функция w(t) задается в табличной или графической форме. Поэтому для определения реакций на воздействие по за­ кону акселерограммы применяются другие методы решения, не связанные с разложением решения в ряды по формам собствен­ ных колебаний. К их числу относятся некоторые численные мето­ ды, методы теории линейных систем, применяемые при вычислении вероятностных характеристик реакций, и методы моделирования на различных устройствах непрерывного действия. Именно для этих целей и составлены системы уравнений (11.28) и (11.32).

Уравнение затухающих колебаний системы с одной степенью свободы на основании (11.28) будет

т х + іѴ'm k x - \ - k x = 0.

(11.35)

62

Физический смысл этого уравнения заключается в том, что сила' неупругого сопротивления зависит от динамических свойств сис­ темы, выражаемых произведением массы на жесткость. Важно от­ метить, что речь идет не о жесткости поперечного сечения, а о более полной характеристике, включающей свойства опорных за­ креплений, характер деформаций и другие факторы, от которых зависит прогиб системы в точке, несущей сосредоточенную массу.

По форме уравнение (11.35) сходно с левой частью уравнения

т х -\— — х + k x = F(.eia>ft ,

которое применяется для описания циклических процессов сис­ тем с гистерезисным затуханием [43]. Существенная разница за­

ключается в том, что в последнем уравнении сила	неупругого'
сопротивления зависит от частоты внешнего воздействия		, тог­
да как в уравнении (11.35) она зависит от частоты	собственных

колебаний^|//7г k= -£—'J и не связана с внешним воздействием. Эта

обстоятельство позволяет распространить уравнение (11.35) и на непериодические процессы.

Рассмотрим динамические характеристики системы, описывае­

мой уравнением (11.35).

Импульсная переходная функция. Импульсной переходной функцией, или весовой функцией системы называется ее реакция на воздействие мгновенного единичного импульса. Единичный

импульс сообщает массе т скорость г)0 = — . Весовая функция

определяется путем решения уравнения (11.35) с начальными ус­ ловиями

.х(0) = 0 ; * ( 0) = -^ -.

Будем, как и выше, считать приближенно, что частота затухающих колебаний равна частоте колебаний без затухания. Последнюю будем обозначать а>о-

Решение уравнения (11.35) —

х — ае

sin (ш01 — а).

Подставив в это решение начальные условия, найдем весовую функцию для перемещений:

		А. (г) = -------е 2			smcu0zf.	(11.36)
			г 4 '	пш0	и
Весовая функция для			ускорений —
Kit)	=	rf2M O	=	I 1-j X")-~ ß	2ш°‘ sin (m0t+ ocj),
		dt2		m

63

где

7

tg<4 =

Вынужденные колебания. Частотная характеристика. Переда­ точная функция. Выражение для вынужденных колебаний при произвольном внешнем воздействии f(t) и нулевых начальных ус­ ловиях можно получить с помощью весовой функции:

* w = ^

в 2

sinto0 ( t - x ) d * .

о

При единичном гармоническом внешнем воздействии с часто­ той р

	уравнение	-ро X + Шц X = eipt ,			(11.37)
	X
	левая часть которого	получается		из (11.35) делением	на т, при
	нулевых начальных условиях имеет решение
		-*•	2	еірі
				J I .
			“о —	Р + Ч шйР
	Частотная характеристика системы —
	Ф(ір),			1	(11.38)
	передаточная функция—		“о — Р°"+ г>0Р
				1
	Ф(з) =				(11.39)
			s"-f- s	+ ы0

Полюсы передаточной функции

Sl,2-----Н Г ± * “<>] / ' 1 _ 'Т

лежат в левой полуплоскости.

Это свойство используется в теории линейных систем при интег­ рировании выражений, содержащих передаточные функции или частотные характеристики.

Резонанс. При резонансе амплитуда колебаний, вызванных •единичным внешним воздействием, равна

а = _j__ Пшо

.Эта величина совпадает с решением, к которому приводит урав­ нение гистерезисной теории

64

■ * + ü>o(l +it)x=elPl,

( 11.40;

однако соответствующие им частотные характеристики различны. Форма резонансной кривой определяется величиной модуля час­ тотной характеристики (11.38)

\Ф{ір)\=	1
V	(ши - р-уі + f шір -
Для уравнения (11.40)

|Ф (ір) I =

|/~ (_“и—Р І У +7' “и

Сдвиг фаз между внешним воздействием и реакцией системы в первом случае

о = arctg	(Im Ф{ір)		= arctg j -
		Re Ф {ip)
во втором случае			шІ - р - / ’
cp =		arctg	ü)- — p~

При низких значениях у разница в форме резонансной кривой и величине фазы реакции мала и обычными измерениями не может быть обнаружена.

По гипотезе вязкого трения (гипотеза Фохта), выражаемой уравнением

х -]—2s	CD” X ~ 01
частотная характеристика будет

	Ф (ір) =	1______
		“и — р'2+2івр

Это выражение будет совпадать с (II.38), если определять коэф­ фициент е по заданному декременту колебаний:

£оцо _ 7шо 2тс — ~~2~‘

Такой прием часто применяется в литературе, особенно зару­ бежной, по сейсмостойкости сооружений, однако он возможен толь­ ко по отношению к системам с одной степенью свободы.

Диссипативная функция. Матрице рассеяния энергии

С = т М * К *

соответствует диссипативная функция

П
Vт	ік	X.	(11.41)
г,а— 1

■5-248

65

1
где &>Ä2 ' — элемент матрицы К~.
Это выражение можно записать так:
1	j __	_	_
Z7 = -1- т х* Ж 2 /с 2 х = 4 - т			W x ,
где X* — вектор-строка, а х — вектор-столбец.
__ і_	j_

Элементы матрицы IF = Al 2 ЛГ2 имеют размерность частоты.. Для системы с одной степенью свободы

с-		1		-2
г	= ~Y		т и)0 X .
Следовательно, скорость		рассеяния		энергии пропорциональ­

на кинетической энергии и частоте собственных колебаний систе­ мы. С физической точки зрения существенно, что диссипативная функция в режиме вынужденных колебаний зависит не только, от внешнего воздействия, которым определяется кинетическая энер­ гия колебаний, но и от механических свойств системы, выражен­ ных частотой его собственных колебаний.

Диссипативная		функция по гипотезе Фохта равна
			1	П
		С.		V
		F = —		Z	СІ^І <?*•
				і,	k= 1
Здесь	коэффициенты матрицы			рассеяния сосчитаются		постоян­
ными, зависящими		от свойств		материала. Поэтому скорость			рас­
сеяния	энергии и силы сопротивления непосредственно					не	зави­

сит от механических характеристик системы, таких как вид опорных закреплений, распределение масс и жесткостей. Функ­ ция F постоянно встречается в литературе, где излагается прин­ ципиальная сторона вопроса, однако не имеется никаких данных о методах определения и величине элементов матрицы рассеяния ||сіИ| применительно к строительным конструкциям и сооруже­

ниям. Этот вопрос полностью разрешен при применении матриц вида (11.27)! В сложных матрицах вида (11.29) соотношение между коэффициентами ск выбирается произвольно, с таким расчетом, чтобы получить удовлетворительную аппроксимацию заданного закона зависимости декремента колебаний от частоты высших форм. Величины коэффициентов ck определяются в соответствии

с величиной декремента основного тома колебаний. Тем самым метод вычисления всех элементов матрицы рассеяния становится достаточно определенным.

Рассмотрим пример составления и решения уравнений сво­ бодных колебаний системы с двумя степенями свободы. Объектом, исследования примем абстрактную схему с параметрами

66

2 - 1

Матрица жесткости соответствует схеме со сдвиговыми деформа­ циями при одинаковой жесткости обоих этажей. Коэффициент у принимаем 0,06, что приблизительно соответствует 6=0,2. Ввиду того что матрица жесткости симметрична, извлечение квадрат­ ного корня приводит к системе трех квадратных уравнений

^	-Хо\	/	-^*2 )	і 2	'—1
\Х2	x j	\ х 2	x j	\ —\	1(

Раскрывая квадрат неизвестной матрицы в левой части, по­ лучаем

хх х 2+ х 2 х 3= — 1; JCj+Jt* = 1.

Решая уравнения, находим

К 2 =

1

5

Ѵ 1

у

Знак

перед

матрицей должен быть положительным, так как глав-

ные

члены

матрицы

-L _L

М 2 К 2 положительны. Система уравнений

(11.28)

будет иметь вид

х і Н—

— Хо) + 2 x t — х 2= 0;

,

У 5

0,06

(2-х:, — X J

N

+ х

2— Хі =

0.

х 2+

- у —

Оператор системы —

,

, 0,18

. 0

■

0,06

.

р- + -^=г-р +2

/ 5

р —1

L =

ѵт

.

0,06

0,12

р +1

7=ГР-1

■ ’

5

У 5

V

уравнение частот —

Х2 +

-^ ü -X + 2

АЩ-Х + 1

0,06

—_ /. +1 = 0 . (11.42)

V 5

К 5

^

У ь

С округлением до трех десятичных знаков будем иметь

Х4 +

0,134X3-}- 3,003X2+

0,134/, +

1 = 0 .

67

Вместо решения этого уравнения можно рассмотреть более прос­ тую задачу о незатухающих колебаниях:

х [ -f- 2 X у— -C-j — О,

Уравнение частот

Хо -f*

л'о —'-VI

- 0.

ш'1— 3 ш- 4- 1 =

0

имеет решение

(о, =0,618;

ш, =

1,618.

Формы колебаний —

?!

=

(1,

1,618) и 7 , = (1,-0,618).

Согласно (11.24)

решение

уравнения

частот

затухающих ко­

лебаний будет

_

т

4- і

ш.

л

л і

V

4

Яй -

° '06 ХД 61-

± 0,618 і =

-

0,0185 ± 0,6181;

Із4 =

- 0,0485 ±

1,618 і.

Подстановка полученных четырех значений л в уравнение

(11.42)

показывает, что

они

действительно

удовлетворяют

уравнению

(с точностью до третьего десятичного знака).

форм

колеба­

Декременты

колебаний

одинаковы

для обеих

ний:

0,0185 X 6,28

°і

=

0,188 =

3,14 X 0,06;

0,618

о2

0,0485 X 6,26

=

0,188.

1,618

Матрица собственных

векторов —

П

і у

U.618 -0 ,6 1 8 /’

обратная матрица —

/ Г 1=

0,618

1

2-236 I 1,618

- 1

I

Вычислим

преобразование

подобия матрицы К-

3,618

3 - 1 \

/

1

1

\

1 /1,382

- 1

2

\ 1,618

0,618/ = ~уг 5~ \2,236

- 2 , 236

68

	R 1- K 2R		0,618	1	/1 ,3 8 2	3,618'
		\	1,618	— 1	\2 ,2 3 6	—2,236 /j
	2 ,2 3 6 / 5
	/3 ,0 9 0			V=	/ 0,618	0 \
	2 ,2 3 6 / 5 V	0	8,09,1		V 0 1,6 isJ‘

Пример приведен для иллюстрации основных положении, рас­ смотренных выше в связи с применением матрицы' рассеяния энергии (II. 27).

§ 5. Извлечение квадратного корня из матриц

Для аналитического расчета свободных и вынужденных коле­ баний с помощью представления решения в виде ряда по формам собственных колебаний нет необходимости вычислять коэффици­ енты уравнения (II. 28). Как и для уравнений гистерезисной тео­ рии, достаточно решить уравнения для .систем без затухания, оп­ ределить частоты и формы свободных колебаний и, зная величину коэффициента рассеяния энергии у или декремента первой фор­ мы колебаний бь записать решение для затухающих колебаний в виде (II. 31) или (II. 33). Этот метод применен в предыдущем ■параграфе.

Составление уравнений с матрицей рассеяния энергии (II. 27) требуется для применения численных методов решения, в кото­ рых не используется разложение по формам колебаний, и для составления схем на электрических и электронных моделирую­ щих устройствах. Основную трудность при этом представляет извлечение квадратного корня из матрицы жесткости К. Так как эта матрица симметрична, задача определения элементов матри­

цы К ~Т приводится к решению системы квадратных уравнений вида

(11.48)

Число уравнений и число неизвестных равно п

Эта задача

может быть решена различными способами с помощью ЭЦВМ при условии, что искомое решение существует, иначе говоря, при условии, что существует матрица X с действительными эле­ ментами x.k, х.к = х ьі, удовлетворяющая уравнению (11.43).

Доказательство следует из известных свойств матрицы жестт кости К и матрицы распределения масс М , рассматриваемых в теории колебаний, а также из доказанного выше свойства тран­ зитивности преобразования подобия с оператором , | R | относи­ тельно рациональных степеней матриц.

69