книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1

таблицы. Требуется найти вторую функцию свертки—Іг. Посколь­ ку речь идет о численном задании функции, 'решение будем ис­ кать в виде совокупности дискретных значений функции h в рав­ ноотстоящих точках оси времени t.

Решение этой задачи с помощью интегральных преобразова­ ний рассмотрено ниже. Здесь остановимся на приближенном оп­

ределении значений функции /і непосредственно из	уравнения
(III46), которое может найти применение также	при обработ­

ке результатов натурных и модельных испытаний и при обработ­ ке материалов инженерно-сейсмометрической службы.

Все три функции, входящие в выражение (III. 46), существу­ ют в течение конечных промежутков времени, которые будем на­ зывать длиной функции. Уточним это понятие и установим со­ отношение между длинами функций х, w и h.

Для затухающих сейсмических процессов, таких как землетря­ сения, взрывы и т. п., на записи всегда можно указать точку, ко­ торую следует считать началом процесса. Конец процесса опре­ делить труднее, однако можно установить некоторое минимальное значение амплитуды воздействия и считать, что участок записи с меньшими амплитудами не влияет на реакцию. Это значение за­ висит от требований к точности расчета, но нужно иметь в виду, что на типовых осциллографах нельзя получить хорошо разреши­ мую запись при отношении максимальной амплитуды к мини­ мальной более 25. Поэтому обрабатываемый интервал записи функции w(i) следует ограничить справа точкой, после которой амплитуды воздействия становятся меньше 44-5% от максималь­ ной амплитуды. То же правило относится и к определению длины

функции x(t). Обозначим длины функций буквой					Т с соответству­
ющими	индексами. Взяв	первое	из равенств		(II 1.45),	найдем,
что подынтегральная функция отлична от				нуля	при условиях
	r < T w " ь - ' < Гн ■					х(і) от­
Решая	эти неравенства	и имея	в виду,	что функция
лична от нуля при t < T x , получаем T v =				Tw-)- Th.
Следовательно, если длины воздействия и реакции известны,
то длина весовой функции равна
		TH= T X - T w.				(111-47)

Длина весовой функции по формуле (III. 47) определяется приближенно, а значение минимальной амплитуды этой форму­ лой не обусловливается. Из формулы (III. 45) и приведенных ниже уравнений можно видеть, что в конце времени реакции, при t, близких к Tw+ ТІГзначения реакции х зависят от произ­ ведений последних ординат функций w и h. Суммирование этих произведений, выражаемое интегралом (III. 45), приводит к ве­ личинам, имеющим порядок одного из сомножителей. Поэтому, если предельные значения ординат реакции имеют такой же по­

110

рядок, что и ординаты воздействия в конце интервала (О, Tw), тсь этот ж,епорядок будут иметь и ординаты /г. В отдельных случаях, однако, возникают существенные отклонения, поэтому результат, полученный по формуле (III. 47), следует проверять путем тео­ ретических оценок длины весовой функции. Это можно сделать,, если известны хотя бы приблизительно период Т и декремент 6і основного тона колебаний сооружения. Амплитуды /весовой функ­ ции в конце интервала ее существования убывают по экспонен­

циальному .закону 1= - f - . Принимая и для весовой функции отношение максимальной амплитуды к минимальной равным 20,.

получаем		_ .
1п 20 = 3 ,0 ^ -		(III.48)'
Приведенная оценка дает удовлетворительные результаты для
жестких сооружений с декрементом основного	тона	колебаний
6^0,3. Для гибких сооружений с большим периодом		колебаний
и малым затуханием формула (III. 48) дает	большие	значения
длины весовой функции, не имеющие практического		значения.
На практике достаточно принимать
		(III.49)
Отметим, что при экспериментальном определении весовых

функций диапазон разрешимости записи прибора не может быть

использован		полностью,	поэтому		экспериментальные		весовые
функции	имеют длину,		как правило, меньшую			теоретической.
Поэтому	рекомендуется,		сопоставив		результаты	по	формулам
(III. 47),	(III. 48) или (III. 49),			принять Тп по формуле			(III. 47),
если разница		не очень велика,		в противном же случае взять сред­
нее значение. Если принятое значение длины Тк больше								полу­
ченного	по формуле (III. 47), то следует увеличить длину							обра­

батываемого участка реакций так, чтобы выполнялось равенство

(III. 47), т. е. определить длину Тхпо формуле
			L =	Г ,	+ т к .
Весь	интервал		обработки	Тх разобьем на одинаковые про­
межутки	Дt, равные 0,01 сек, —шагу					измерения ординат на запи­
сях воздействия и реакции. Длины функций будут равны
	гн-	^	т „ =	Т,=		/?,	>1н+	nw=	пх■
.Алгоритмы для вычисления реакции по формуле									(III. 45) —
		х к =	Аf V w, V	, , k =		1. 2, 3.....пх ■				(Ш.50)
			/3)
здесь индексы		указывают на		то,	что	значение		функции		берется
в точке	с данным		номером.	Для	вычисления			интеграла		взята

іи

формула прямоугольников, точность которой при шаге интегри­ рования 0,01 сек. вполне достаточна.

В формуле (111.50) можно положить х п = w0= 0, тогда как в со­ ответствии с выражением (ШЛО) ордината может не быть рав­ ной нулю. Выражение (11.50) эквивалентно следующей системе равенств:

X , = f\h(>

х 2—fJh ~т / Ф о

Л'з	= / , А	2 +	/ 2Л і +	/ 3Л 0
- Ц	—f	" Ф / г h-i		f -Лі	fJh
Х к, -			Т - / 2	/г* , - 2	+ .............. +		Л	1- і	л т +	Л , Л 1
			+		+ •	• •	Ч	+ і	^ °
										. (III.51)
Xnh + 2 =		0 +	Uhnh+ Л		/ / я л -	1 "Г
								'“ ■ Ч +2 11°
АЧ	= 0	° " " 0 + ^ „ - » А /Ч				' f " " + f "wА°
Х пх+к, - 0 0 ..............0 ^ -					/ «	+ *	Л	/ , +	' "
					Ч
	х		= 0	0 ..................0 + f				h.	nl,	)
		пх					J	пх
Здесь принято,		что nh <.tia)\			£ ,< л л;		k>< д л.			Если функции

h{t)nw{t) известны, то соотношения (III. 51) служат для вычис­ ления реакции x{t) в любой момент времени. Число слагаемых написанных равенств изменяется от 1 до пи, а число уравнений равно пх. При исследовании воздействий по закону акселерог­ раммы количество ординат весовой функции nh может быть по­

рядка 1000, а л,.—2000. Поэтому вычисления следует выполнять на ЭЦВМ.

Если известны воздействие -w{t) и реакция x(t), то выраже­ ния (III. 51) могут быть использованы для вычисления неизвест­ ных ординат весовой функции Л*. Если бы были известны точ­ ные значения ординат функций x(t) и w(t), то решение этой задачи не представляло бы затруднений. Неизвестные ординаты hk можно было бы найти, решая системы /?7і+1 первых или пос­

112

П,+П h ur

Рис. 32. Вид матрицы сис­ темы уравнений для оп­ ределения весовой функ­ ции при произвольном воздействии.

я

c?1

+ + 4-++

+++ -H-+

+ ++++ + -f- + * + ++++

+++++++

+++++++

++ ++ ++ +

++++++

+++ + +

+++ +

++ +

ледних уравнений, так как эти системы имеют треугольные мат­ рицы (рис. 32). Однако все коэффициенты и правые части урав­ нений (III. 51) известны приближенно, поэтому можно утверждать

а priori,	что данная система пл. уравнений с числом неизвестных
n h < n x не будет совместна. Результат		решения	будет зависеть
от того,	какая группа пк+] уравнений	выбрана	из общего числа

пх уравнений. Из выражений (III. 51) и рис. 32 можно видеть, что любая группа пк+І уравнений, выбранная подряд из системы

<111. 51), соответствует определенной фазе сейсмического движения. Это обстоятельство позволяет получить приближенные значения ординат hk с таким расчетом, чтобы удовлетворя­ лись уравнения, соответствующие фазе наибольших амплитуд реакции. По-ви­ димому, ошибка в определении h(t) при этом будет наименьшей, хотя, конечно, она может быть и не малой в абсолют­ ном смысле. Тем не менее, простота алгоритма для определения функции h(t) на основании натурных экспери­ ментов может компенсировать неиз­ бежные недостатки этого метода.

Наиболее существенная фаза реак­ ции и воздействия в большинстве слу­ чаев, например, при взрывных испыта­

ниях, непродолжительна и находится в начале процесса, непосред­ ственно после фазы вступления. На этом основании можно избрать следующий путь решения задачи. Прежде всего следует положить равными нулю несколько первых ординат функции ад(£), которые в начальной стадии имеют малую величину и измеряются на записи

недостаточно точно. Следует стремиться за первую					отличную
от нуля ординату функции w (t) принять ординату первой						наделе­
но измеренной вершины		на записи	воздействия.	Предположим,
что для этого пришлось		положить	равными нулю первые			т ор-
динат	функции w (t).	допущение f k = 0(1		k <	т {)	равно­
Как	видно из (III. 51),

сильно вычеркиванию тл первых столбцов из матрицы системы уравнений (III. 51). После этого уравнение номер т{ + k будет иметь вид

Xmt+k ~

+

Wт,+2 'Л*-й-З2+

+*»,»,+*V

Далее следует найти номер ординаты реакции т{ + т2. С этого номера начинается наиболее существенная фаза реакции, харак­ теризующаяся большими амплитудами на интервале длиной Тк. Иными словами, требуется начиная с номера /те, + пи выделить часть записи из пк последовательных ординат, расположенную

8—248

113

в зоне максимальных значений реакции. Число т2, как правило, имеет порядок от 10 до 20. В уравнении номер шх + щ будет содержаться т2неизвестных. Так как нумерация неизвестных hb

начинается с А0, то номер последнего неизвестного будет т2—1.

Все неизвестные h0 , Л; , ...... h	х в	первый раз встречаются в
уравнении с номером тх+ от2.	Для	решения системы относи­

тельно nh+ 1 неизвестных выбираем такое же количество урав­

нений из системы		(III. 51) начиная с уравнения	номер	тх + тг.
В выборку войдут уравнения с номерами тх +			т2; тх	т2+ 1;
......;	m x+ m 2+ nh.	Если продолжительность воздействия			более
1,1	сек., то по построению тх+ тп2+ nh < пх. Первое			из	выб­

ранных уравнений содержит пи неизвестных, а каждое последу­ ющее до номера mx-\- nh -\-1 — на одно неизвестное больше предыдущего. На этом основании можно последовательно иск­

лючить все неизвестные ЛА, А >			— 1, после чего останется
т2 уравнений		с номерами mx-\-nh + 1, тх+ nh + 2, ...тх+ т2+
+ дЛ,	каждое	из которых содержит т2 неизвестных с номерами
/г0 ,/іх	А	Г Решив эту систему,	найдем первые т2 неизвест­

ных и через них все остальные. Полученное решение будет удовлетворять группе уравнений с номера тх+ т2 до номера

Щ+ m 2+ nh.

Если имеется несколько записей реакций на воздействие одного и того же типа и приблизительно равной интенсивности, то точ­ ность определения весовой функции можно повысить, осреднив значения, полученные по различным реализациям. Изложенная методика должна рассматриваться как предварительная схема, которую можно уточнить в процессе дальнейших исследований.

§7. Определение частотных характеристик

ипередаточных функций

Применяя к обоим частям уравнения (III.45)		преобразование
Фурье, получаем
Sx (m) = Sw (ш) Ф (т),		(III.52)
где	оо
	Sx {im) = §x(t)e~iatdt	(III.53)
	0
— спектр на выходе	или спектр рассматриваемой	реакции;
Sw(to) = j w ( t ) e - Mdt		(III.54)
	0
— спектр воздействия	(ускорения основания);
' Ф (ш )= \ h { t ) e - iM'dt		(III.55)
	о

114

— частотная характеристика системы на рассматриваемом выходе. Последнее понятие требует некоторого уточнения.

Пусть на у-м входе системы действует единичное комплекс­ ное гармоническое возмущение еш , имеющее размерность силы. Реакцию на А-м выходе обозначим x kj (іш, t). Частотной ха­ рактеристикой на А-м выходе системы относительно воздействия

на у'-м входе	называется отношение			реакции к			воздействию:
	ф*у (*ш)		x kj	(іш,	і)			(III.56)
			еы
Матрица частотных		характеристик			||Ф^. ||		содержит	полное
описание линейной системы с т входами						и п выходами,' так'ж е
как и матрица	весовых	функций		||.
Если известна частотная характеристика							то	реакция
на единичное	гармоническое		воздействие			определяется		в соот­
ветствии с (111.55) по формуле
		x kj(t) = ®kj(to)eM .						(ІИ-57)

Произвольное внешнее воздействие w (t ) на у-м входе мои^ет быть представлено интегралом Фурье в виде

со «о

w (t) =		j é mtdv j w (t) e~iaidt =
		—CO	0
		oo
	= i	j'	(to)etatda>.		(III.58)
Применяя к	(III.57)	обобщенный		принцип	суперпозиций
(III. 19), находим	реакцию x kj{t)		системы	на А-м выходе при про­

извольном воздействии ге>. (t) на у-м входе:

х т (0 =		ijсо	%	(to) (M) eMdШ.	(ПІ.59)
		—oo
Таким образом, реакция на произвольное воздействие					может
быть выражена через	частотную			характеристику в виде	(III.59)
или в виде двойного интеграла
		00		оо
x bJ (t)=	j	% (to)eiaidw j w. (t) e~M dt.			(Ш.60)
	—oo			0

Аналитическое выражеше для частотной характеристики ста­ ционарной системы с п входами и пг выходами можно получить путем решения системы дифференциальных уравнений, описыва­ ющих эту систему. Как показано в главе II, колебания такой оиотемы при различных видах зависимости декремента колеба­

115

ний от частоты могут быть описаны системой дифференциальных уравнений с .постоянными 'коэффициентами вида

		Lx = w\	(III.61)
здесь	L —-матрица дифференциальных операторов второго			по­
рядка
		L = \\Lkj\\	(III.62)
(Lk/ =	mkjp2 + ckjp -f kkJ — дифференциальные операторы второго
порядка,		где /? —символ дифференцирования);	je = [xk (£)}л —
столбец		неизвестных; w = [wk (£)}л — столбец	внешних	воз­

действий.

Если на у'-м входе имеется единичное гармоническое воздей­ ствие с размерностью силы

	Wj (О = еш ,
а остальные воздействия отсутствуют, т. е.
	w L(t) = 0,
то установившаяся	реакция	на	k-u		выходе			равна	[85, 111]
	Х А * )	Mkj (/ш)		Jmt					(111.63)
		D (tm)		е	'
где M kj (ш) — определитель матрицы,					которая			получается из L
вычеркиванием &-й строки и у-го			столбца,			а символ р			заменен
на £ш; D (ш) — определитель		матрицы			L,	в	котором		оператор
дифференцирования р заменен на г'ш.							составляет
Следовательно, частотная		характеристика
	ф*; («“ )		M kj (im)						(III.64)
			D (iw)
Согласно (111.55) весовая функция связана с частотной харак­
теристикой обратным	преобразованием				Фурье
		оо
	=	—оо							(іН-65)

Уточним технику применения частотных характеристик к случаю, когда воздействием w(t) является запись ускорения основания.

Во внутреннем интеграле фоумулы (111.60) величина тег (t)

имеет размерность ускорения, тогда как в формуле (III.61) пра­ вая часть должна иметь размерность силы. Чтобы весовые функции, определяемые по формулам (III.65), сохраняли ту же размерность, которую они имеют в формуле (III.45) и предыду­ щих, следует определить частотную характеристику как отно-

П 6

шение реакции на воздействие т} еш к единичному

нию еші. Соответственно получим формулу

Вместо (III.64) будем писать

_ mj Mkj М

Ф кІ(ш) =

D (но)

Выражение (III.65) перепишется в виде

	со
V * ) = i	I	(* ■ > )*'"'< *«* .
	—оо

ускоре­

(111.66)

(111.67)

( ш -6 8 )

причем весовая функция будет			иметь размерность		реакции		на
единичный	импульс	ускорения	(а не	силы, как	в формуле
(III.65)).		внешнего воздействия, заданного				ускоре­
Для исследования
нием основания сооружения, удобно рассматривать систему							с п.
степенями	свободы как имеющую один			вход, подобно		тому,
как это было сделано		ранее (см. § 1 настоящей главы и				далее).
В соответствии с этим		частотной	характеристикой Фк (tu>)			будем,

называть реакцию системы на k -м выходе при единичном уско­ рении основания. Аналитическое выражение для частотной ха­ рактеристики запишется как

ф» <“ > = z w		“ А		« 1'») = w	s p	<ІІШ >
где Dk(i<o) — определитель матрицы,				которая	получается из мат­
рицы L заменой k-то столбца на столбец
Обратное преобразование Фурье
		оо
М	* ) = І	I	®k {to)eM da			(III.70)
дает весовую функцию	на k-м		выходе системы. При			выполне­
нии вычислений, соответствующих				формулам	(III.52),	(III.70) и

др., удобно	использовать		аппарат теории преобразований Лап­
ласа. Для этого		следует	аргумент іи> заменить на s = с + гш.
Вместо выражения (III.69)			получим
				D „ (s)
			ф > м = т т -		( І І Ш )
Функция		(s) называется		передаточной функцией	системы.
Она связана	с весовой функцией парой преобразований				Лапласа
		А* (0 =	^7	) Ф * 0 0 ^ :	(III.72)
			С — І оо

117

ф *(s) = i К {t)<rsidt.	(III.73)
о

Определенные таким образом 'частотная характеристика и пе­ редаточная функция равны отношению перемещения на выходе системы к ускорению основания, изменяющемуся по гармоничес­

кому закону. Соответственно			весовые		функции	(III. 70) или
(III. 72) будут весовыми функциями перемещения.
Весовые функции для ускорений можно найти						двукратным
дифференцированием	этих	выражений			по времени:
				со
А»*Ю = ~ Ъ г 5				w2<&b(iw)eM dw =
		C-f/co
=	^ J	j	s2<&ft(sK ^ s .			(III.74)
Выражения	C — loo
	св2ФЛ(iw)			и s2®ft (s)

будем называть частотными характеристиками и передаточными функциями для ускорения и обозначим ФшЛ (гш) и Фшк (s). Ана­

логично

ФіА (iw) = т у Фй (ію) и Фік (s) = mks2ФА(s)

будут частотными характеристиками и передаточными функция­

ми для сейсмической	нагрузки.		На основании	соотношения
(III. 52) частотные характеристики могут быть				определены эк­
спериментально, путем обработки записей на входе и					выходе
системы. Частотная характеристика			находится по формуле
	ф* (м>)	skx (Н			(III.75)
		Sw(Н

где в числителе стоит преобразование Фурье, или комплексный спектр реакции на k-м выходе, а в знаменателе—преобразование Фурье записи ускорения основания. Если вместо преобразований Фурье применить преобразования. Лапласа, получим формулу для передаточной функции

ф* (s) =	$kx Is)	(III.76)
	^ 00

Выражения (III.70) и (III.75) дают решение задачи об экспери ментальном определении весовой функции:

2тГ	S kx (іа>)	еш d ш.	(III.77)
	0'">)
	— <м

■118

Обратное преобразование Лапласа дает другое выражение для весовой функции:

С-И оо

С~ ico

Размерность Фл(гш) зависит от размерности реакции x k (t). Если х к (і) — запись ускорения на к-м выходе, а w (t) — ускоре­

ние основания, то формула (III.75) дает частотную характерис­ тику для ускорений ФшЛ(гш), а формула (III.77) — весовую функ­

цию ускорений. То же относится к формулам (III.76) и (III.78). Частотные характеристики часто используются для определе­ ния спектральной плотности и дисперсии реакции системы.

Спектральная плотность определяется выражением

5 cK ) = J - | 5 A.(tu))p.	(ПІ-79)
J X
Средний квадрат реакции (дисперсия) равен
т	(III.80)
1X
где Тг — время существования реакции.

В подынтегральное выражение могут входить как вероятност­ ные спектры, так и спектры отдельных •воздействий. Под последни­ ми понимаются записи ускорения грунта при различных возму­ щениях.

Остановимся на определении размерностей частотных харак­ теристик и передаточных функций.

При аналитическом определении частотных характеристик по формуле (III.73) имеем следующие соотношения. В уравнении (III.61) правая часть имеет размерность силы, а неизвестныеразмерность длины. Следовательно, все элементы матрицы L

F	размерности длины), и
имеют размерность ~ (а — обозначение
[D (ш)] = Fna~n.
Определитель Dk(i(o) отличается от	D(m) только одним
столбцом, в котором элементы матрицы	заменены массами m.j.
Поэтому

р й(го))] = Fn- l or(n~l)M.

Отсюда получаем размерность частотной характеристики для перемещений

[Ф (гео)] = F ' 1LM = Т \

119