4. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны

Одним из важнейших следствий уравнений Максвелла является существование электромагнитных волн.

Из уравнений Максвелла следует,

1. Для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, векторы напряженностей ипеременного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа:

, , (1, 2)

Где - оператор Лапласа, υ – фазовая скорость.

Всякая функция, удовлетворяющая этим уравнениям, описывает некоторую волну. Следовательно,электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн.

2. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением

, (3)

Где - скорость электромагнитных волн в вакууме,

ε₀, μ₀- электрическая и магнитная постоянные,

ε, μ- электрическая и магнитная проницаемость среды.

• В вакууме (при ε= 1 иμ= 1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с.

• В веществе εμ> 1, поэтому скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.

При вычислении скорости распространения электромагнитного поля по формуле (3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экспериментальными данными, если учитывать зависимостьεиμ, от частоты.

Совпадение же размерного коэффициента в (3) со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями,позволившуюМаксвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которойсвет представляет собой электромагнитные волны.

3. Следствием теории Максвеллаявляется такжепоперечность электромагнитных волн: векторы инапряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис. 229 показана моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны) и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору υ скорости распространения волны, причем векторы ,иобразуют правовинтовую систему.

В фиксированной точке пространства векторы и изменяются со временем по гармоническому закону:

• t= 0 . оба вектора одновременно увеличиваются от нуля

• t= ¼T. через ¼ периода достигают наибольшего значения: если направлен вверх, то направлен вправо (смотрим вдоль направления распространения волны );

• t= ½ T.через ¼ периода оба вектора одновременно обращаются в нуль.

• t= ¾ T.через ¼ периода достигают наибольшего значения, но теперь: если направлен вниз, то направлен влево.

• t= T. По завершении периода оба вектора обращаются в нуль.

Такие изменения векторов ипроисходят во всех точках пространства, но со сдвигом по фазе, определяемым расстоянием между точками, отсчитанными вдоль оси х.

4. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волневекторы и всегда колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 229), причем мгновенные значенияE Н в любой точке связаны соотношением

(4)

Следовательно, ЕиН одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль.От уравнений (1) можно перейти к уравнениям

, , (5, 6)

где соответственно индексы у и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы инаправлены вдоль взаимно перпендикулярных осейу и z.

Уравнениям (5) и (6) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

, (7, 8)

где Е₀ и Н₀ — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны; ω — круговая частота волны;k -волновое число;

φ — начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0.

В уравнениях (7) и (8) φ одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одинаковых фазах.