Лекция 4

1.5.Электромагнитные процессы в колебательном контуре с током

_{1.Колебательный контур.}

_{2 Уравнение колебательного контура}

_{3. Свободные колебания в контуре}

_{4.Свободные затухающие колебания в контуре}

_{5. Вынужденные электрические колебания.}

_{6. Резонанс в последовательном контуре}

_{7. Резонанс в параллельном контуре}

_{8. Переменный ток}

1. 5.1. Колебательный контур.

В цепи, содержащей катушку индуктивности L и конденсатор емкости С, могут возникнуть электрические колебания. Поэтому такую цепь называютколебательным контуром.

Выясним, каким образом в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания.

• Пусть вначале верхняя обкладка конденсатора заряжена положительно,а нижняя отрицательно(рис. 11.1,а).

При этом вся энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе.

• Замкнем ключ К.. Конденсатор начнет разряжаться, и через катушкуL потечет ток. Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки. Этот процесс закончится, когда конденсатор полностью разрядится, а ток в цепи достигнет максимума (рис. 11.1,б).

• С этого момента ток, не меняя направления, начнет убывать. Однако он прекратится не сразу — его будет поддерживать э. д. с. самоиндукции. Ток будет перезаряжать конденсатор, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Наконец, ток прекратится, а заряд на конденсаторе достигнет максимума.

• С этого момента конденсатор начнет разряжаться опять ток потечет в обратном направлении и т. д. — процесс будет повторяться

В контуре при отсутствии сопротивленияпроводников будут совершатьсястрого периодические колебания. В ходе процесса периодически изменяются: заряд на обкладках конденсатора, напряжение на нем и ток через катушку.

Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей.

Если же сопротивление проводников , то помимо описанного процесса будет происходить преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.

Сопротивление проводников цепи R принято называть активным сопротивлением.

1.5.2. Уравнение колебательного контура

Найдем уравнение колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные конденсатор С, катушку индуктивностиL, активное сопротивлениеR и внешнюю переменную э. д. с.(рис. 1.5.1).

Выберем положительное направление обхода контура, например по часовой стрелке.

Обозначимчерезq заряд той обкладки конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпадает с выбранным положительным на­правлением обхода контура.

Тогда ток в контуре определяется как ₍₁₎

Следовательно, если I > О, то иdq > 0, и наоборот (знак Iсовпадает со знакомdq).

Согласно закону Ома для участка цепи 1RL2

_{. (2),}

где — э. д. с. самоиндукции.

В нашем случае

(знак q должен совпадать со знаком разности, ибоС > 0).

Поэтому уравнение (2) можно переписать в виде

или с учетом (1) как

Это и есть уравнение колебательного контура — линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдя с помощью этого уравненияq(t), мы можем легко вычислить- напряжение на конденсаторе _и силу токаI— по формуле (1).

Уравнению колебательного контура можно придать иной вид:

(5)

где введены обозначения . (6)

Величину - называютсобственной частотой контура,

β— коэффициентом затухания.

• Если ξ = 0, то колебания принято называть свободными.

- При R = О они будут незатухающими,

- при R ≠0 — затухающими.