Лекция 3.

Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс.

План:

1.Затухающие колебания.

• Затухающие колебания

• _{Характеристики колебательной системы}

• Энергия затухающих колебаний

2. Вынужденные колебания под действием гармонической силы.

• Уравнение вынужденных колебаний

• Энергия вынужденных колебаний

3. Резонанс.

1.3.Затухающие колебания

1.3.1. Затухающие колебания

При выводе уравнения гармонических колебаний считали, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать.

В любой реальной системе действуют силы трения, действие которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний, поэтому свободные гармонические колебания будут затухать.

Рассмотрим свободные затухающие колебания– колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.

Раз колебания свободные, значит система, будучи выведена внешними силами из положения равновесия или получив за счет внешних сил первоначальный толчок, в дальнейшем предоставлена самой себе и находится под воздействием только квазиупругой силы и силы сопротивления среды. Ограничимся рассмотрением малых колебаний.

Тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости.

Будем исходить из основного уравнения динамики, полагая, что на частицу массы m действует помимо

• квазиупругой силы,

• сила сопротивления пропорциональная скорости частицы ,

где r- коэффициент сопротивления (величина размерная).

Тогда уравнение движения имеет вид согласно уравнению динамики

или

Затухающие колебания описываются уравнением:

(1.3.1)

где ,

r–коэффициент сопротивления,

k – коэффициент упругости,

β – коэффициент затухания,

–собственная частота системы (осциллятора)- частота, с которой колебания совершались бы в отсутствии трения .

Уравнение 1.3.1 при условии описываетзатухающие колебания.

Решение этого уравнения имеет вид:

, (1.3.2)

где -постоянные, определяемые начальными условиямих(0) =х₀ и

- частота затухающих колебаний

Из (1.3.2) следует, что движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание с амплитудой, меняющейся со временем по закону

- Амплитуда затухающих колебаний(рис.1.3.1).

График функции на рисунке для случая х₀>0 и>0.

Эта функция не периодическая,

тем не менее величину называютпериодом затухающих колебаний_.

_{Множитель - амплитуда затухающих колебаний.}

1.3.2. Характеристики колебательной системы

1. Коэффициент затухания β определяет скорость затухания колебаний

2. _{Время релаксации}τ – время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Из выражения _{видно, что} и, т.е.

коэффициент затухания-это величина, обратная промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

3. _{декремент затухания - отношение амплитуд в двух соседних периодах:}

_{логарифмический декремент затухания: ,}

_{где Т- период затухания и ,}

_{где e – число колебаний за время , в течение которого амплитуда уменьшилась в е раз.}

_{Тогда закон убывания амплитуды принимает вид}

Имеем и

Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в ераз.

При малом затухании (<<)

• - характеризует относительное уменьшение амплитуды за период.

• Относительное уменьшение энергии за период равно

4. добротность - пропорциональна числу колебаний за время релаксации.