- •Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс.
- •1.3.Затухающие колебания
- •1.3.1. Затухающие колебания
- •- Амплитуда затухающих колебаний(рис.1.3.1).
- •1.3.2. Характеристики колебательной системы
- •1.3.3. Энергия затухающих колебаний
- •1.4. Вынужденные колебания
- •1. Уравнение вынужденных колебаний
- •2 . Энергия вынужденных колебаний
- •3. Резонанс
2 . Энергия вынужденных колебаний
Рассмотрим зависимость энергии W осциллятора, совершающего установившиеся колебания, от времени.
Энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий:
.
График зависимости представлен на рис.1.4. 5.
Колебания энергии будут тем меньше, чем ближе частота к , и при = энергия не будет зависеть от времени:
В установившихся колебаниях при работа вынуждающей силы за период будет компенсировать потери энергии с системе за счет работы сил сопротивления.
Мощность же вынуждающей силы в каждый момент времени будет равна модулю мощности сил сопротивления только в случае =. В противном случае эти мощности будут равны по модулю только в среднем за период.
3. Резонанс
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы ω.
При определённом значении ω амплитуда достигает максимума.
Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.
Чтобы найти резонансную частоту, найдём максимум амплитуды (1.4.5) или, что то же самое, минимум знаменателя функции :
Это уравнение имеет три решения: ω= 0;
При ω= 0 имеет место максимум знаменателя.
Из остальных двух решений отбрасываем отрицательное, так как ω≥0, и получаем:
Тогда
При отсутствии сопротивления среды β=0, , – резонансная частота совпадает с собственной частотой колебательной системы.
Чем больше затухание β, тем меньше арез и ω.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называетсярезонансной кривой и представлена на рис.1.4.3.
Из рисунка видно,
что чем меньше β, тем выше и правее лежит максимум данной кривой.
При очень большом затухании выражение для резонансной частоты становится мнимым и резонанс не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает.
При ω, стремящемся к нулю, все резонансные кривые стремятся к значению . Это смещение от положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы, равной амплитуде вынуждающей силы .
При ω, стремящемся к бесконечности, все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро меняет своё направление, что система не успевает заметно сместиться от положения равновесия.
Чем меньше β, тем острее максимум амплитуды, и тем он выше.
При малом затухании и тогда .
Явление резонансаиграет большую роль в физике и технике.
- Его используют, если нужно усилить колебания,
- всячески избегают, если резонанс может привести к нежелательным усилениям колебаний.
Добротность равна
Она показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы.
Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на , это отставание 0≤φ≤π.
Зависимость от ω для разных β имеет вид, представленный на рис. 1.4.4.
При резонансная частота меньше собственной, следовательно, при резонансе <π/2.
При малом затухании и .
На рисунке 1.4.5 данграфик средней (за период ) мощности вынуждающей силы от её частоты .
- при независимо от коэффициента затухания.
- Важным параметром резонансной кривой , характеризующим «остроту» резонанса является её ширина на половине «высоты».
- При малом затухании (<<) отношение , где Q – добротность осциллятора.