5.4.Политропические процессы

Политропическими (политропными) называются процессы, при кото­рых теплоемкость тела остается постоянной. Таким образом, условие, которое выполняется в ходе политропического процесса, заключается в том, что .

Найдем уравнение политропы для идеального газа. Напишем уравнение первого начала термодинамики (для одного моля газа)

.

В полученное уравнение входят все три параметра: р, V и Т. Один из них можно исключить с помощью уравнения состояния. Чтобы получить уравнение политропы сразу в переменных р и V, исклю­чим Т. Для этого продифференцируем уравнение Менделеева -Клапейрона pV = RT:

.

Тогда или

Согласно уравнению Майера, тогда, разделив переменные, получаем

Величины являются постоянными. Поэтому после интегри­рования получаем

Разделив это соотношение на (что возможно, еслисс_v) и произведя потенцирование, получим

(5.10)

где (4.11)

Это и есть искомое уравнение политропы идеаль­ного газа для случая, когда сс_v. Величина п называется показателем политропы.

Чтобы установить характер политропического процесса при с = с_v, обратимся к уравнению (5.10). При с = с_v это уравне­ние принимает вид (с − с_p) ln V = const, откуда следует, что V в ходе процесса остается постоянным. Таким образом, политропи­ческий процесс с теплоемкостью с = с_v является изохорическим процессом. Это можно было предвидеть заранее, поскольку с_v = const и пред­ставляет собой теплоемкость при постоянном объеме, т. е. при изохорическом процессе. Согласно (5.11) по­казатель политропы при изохорическом процессе равен бесконечности.

Остальные рассмотренные в предыду­щем параграфе процессы также относятся к категории политропических процессов. Изобарическому процессу соответствует n = 0, изотермическому — n = 1 и, наконец, адиабатическому — n = γ. Значения показателя политропы n для перечисленных процессов даны в табл1.

Решив уравнение (5.11) относительно с, получим формулу для теплоемкости идеального газа при политропическом процессе:

.

Подстановка n = γ обращает это выражение в нуль

.

Следовательно, теплоемкость идеального газа при адиа­батическом процессе равна нулю. При адиабатическом процессе теплоемкость равна нулю для всех тел. Это вытекает из того, что при адиабатическом процессе d'Q = 0, в то время как изменение температуры dT отлично от нуля.

При n = 1

Таким образом, при изотермическом процессе теплоемкость бес­конечно велика. Это объясняется тем, что при изотермическом про­цессе dT = 0, в то время как теплота d'Q отлична от нуля.

5.5.Работа, совершаемая идеальным газом при изопроцессах

Работа, совершаемая телом над внешними телами, при переходе из состояния 1 в состояние 2 равна:

.

Рассмотрим различные процессы

1. политропический процесс

,

где p₁, V₁; p₂,V₂ – давление и объём в первом и втором состояниях, р,V – объём и давление в промежуточном состоянии. Имеем

,

тогда

.

Если , и

, (5.12)

или, заменив , имеем:

.

При адиабатическом процессе

.

При изотермическом процессе T=const, n=1

,

при изобарическом процессе p=const, n=0

.

при изохорическом процессе V=const и A₁₂=0.