lektsii_TsOS_gruppa_RK_01 (1)

ˆ

- 11 -

I.

f1 = 2 Гц; fд1 = 8 Гц;

= 0,25

f1

II.

f2 = 5 Гц; fд2 = 20 Гц;

fˆ2

= 0,25

S( ωˆ )

S(f)

S(

ˆ

f )

f

ˆ

ωˆ

f

2

5

0,25

π/2

а)

б)

в)

Рис.1.1.2. Спектры сигналов (а – частота циклическая ненормированная, б –

частота циклическая нормированная, в – частота круговая нормированная).

f1 = f2 = f0 = 0,25

и

ω1 = ω2 = ω0

= π 2.

1.2. Дискретные системы

Обобщенная структурная схема системы цифровой обработки сигналов приведена на рис.6.2.1.

Источник	x(t)	Ограничитель x1(t)				x1(n)	Цифровой
аналогового		спектра		АЦП				процессор
сигнала	1			2		3		4
		Приемник		Сглаживаю-
	аналового		y(t)	щий фильтр	y1(t)	ЦАП		y1(n)

сигнала ` 6

5

Рис.1.2.1. Обобщенная структурная схема системы цифровой обработки сигналов.

Так как реальный аналоовый сигнал имеет конечную длительность, то его спектр бесконечен по частоте. Поэтому для его дискретизации необходимо ограничить ширину спектра. Эту операцию и выполняет ограничитель спектра. На рис.1.2.2 приведены эпюры, поясняющие работу структурной схемы, изображенной на рис.1.2.1.

(f)

x1(f)

x1(n)

1

2

3

f

f

n

y1(n)

y1(t)

y(t)

- 12 -

Fв

Рис.1.2.2. Эпюры, поясняющие работу системы цифровой обработки сигналов.

Цифровая обработка аналогового сигнала может идти в реальном и нереальном масштабе времени. В реальном масштабе времени обработка происходит в темпе поступления информации, то есть алгоритм обработки сигнала должен сработать за интервал времени Т, то есть за период дискретизации.

1.2.1. Стационарные линейные дискретные системы и их математическое описание.

Стационарной дискретной системой называется система, характеристики которой не зависят от выбранного момента отсчёта. и её отклик не может поступить раньше воздействия на оператор F при нулевых начальных условиях. Под нулевыми начальными условиями понимается равенству нулю реакции при нулевом воздействии: х(п) = 0, у(п) = 0 при п < 0.

Стационарная система называется причинной, если её отклик не зависит от будущих значений воздействия

Пусть дана стационарная линейная дискретная система (рис.1.2.3), где x(n) – входной дискретный сигнал, y(n) – выходной дискретный сигнал.

	x(n)		Стационарная	y(n)
			дискретная
воздействие			система	реакция
			(оператор F)

Рис.1.2.3. Устройство цифровой обработки сигналов.

Это правило называется оператором.

Воздействию х(n) по некоторому правилу F ставится в соответствие отклик у(n). Это правило называется оператором.

{y(n)} = F{x(n)}, где F – оператор преобразования;

х(n) – некоторое множество входных значений, которому ставится в соответствие множество у(n).

- 13 -

Система называется линейной, если она удовлетворяет двум требованиям:

1. однородность:
F{a x1(n )} = a F{x1(n )}, где а – сonst.	(1.2.1)
2. аддитивность:
F{x1(n) + x2 (n)} = F{x1(n)}+ F{x2 (n)}.	(1.2.2)

Математически оператор F записывается в виде разностных уравнений, которые можно получить из дифференциальных уравнений заменой дифференциала конечными разностями.

Первая разность представляет собой разность между двумя соседними отсчетами дискретной последовательности

			1 = х(п) – х(п – 1).		(1.2.3)
Вторая разность – это разность между двумя соседними первыми
разностями				],
2		1(п) –	1(п – 1) = х(п) – х(п – 1) – х(п –1) – х(п – 2)
	=		Δ2 = х(п) –2 х(п –1) + х(п –[2).		(1.2.4)
Общий вид разностного уравнения:
M −1			N −1

∑ai y( n − i ) = ∑b j x( n − j ) .

i =0 j =0

Полагая ао = 1, получим:

N −1	M −1
y( n ) = ∑b j x( n − j ) − ∑ai y( n − i ) .		(1.2.5)
j =0	i =0

Максимальное значение из «M – 1» и «N – 1» определяют порядок разностного уравнения. Коэффициенты аi и bj - вещественные постоянные, не зависящие от времени. Совокупность аi и bj полностью определяет свойства системы. Для нахождения реакции у(n) при заданном воздействии необходимо решить разностное уравнение. Его можно решить одним из трех способов:

1). Метод прямой подстановки:

дано: y(n) = x(n) −0,2 y(n −1) ; x(n) = (0,3)n .

y(n −m) = 0 n <m →начальное условие; x(n −m) = 0 n <m →начальное условие;

y(0) = x(0) − 0,2 y(0 −1) = x(0) − 0,2 y(−1) =1; y(1) = x(1) − 0,2 y(1−1) = x(1) − 0,2 y(0) = 0,3 − 0,2 1 = 0,1;

y(2) = x(2) − 0,2 y(2 −1) = x(1) − 0,2 y(1) = 0,09 − 0,2 0,1 = 0,07;

…	…	…	…	…	…	… …
y(n) = x(n) − 0,2 y(n −1) .
2). Метод Z -преобразований:						x(n) = (0,3)n .
Дано: y(n) = x(n) −0,2 y(n −1) ;

- 14 -

Возьмём Z -преобразование от правой и левой части разностного уравнения:

y(n) Y( z) ;

x(n) X( z) ;

y(n −1) Y( z ) z −1;

Y ( z ) = X( z ) −0,2 z −1 Y ( z ) ;

Y ( z ) + 0,2 z −1 Y ( z ) = X( z );

Y ( z ) (1 + 0,2 z −1 ) = X( z ) ; Y ( z ) =

X( z )

.

(1.2.6)

1 +0,2 z −1

1

Найдем изображение воздействия X (z) =

.

1 − 0,3 z −1

Подставляя X (z) в (1.2.6), получим изображение выходного

сигнала:

1

Y (z) = 1 − 0,3 z −1 =

1

.

1 + 0,2 z −1

(1 + 0,2 z −1 ) (1 − 0,3 z −1 )

Y (z) =

z2

.

(z + 0,2) (z − 0,3)

Взяв обратное Z – преобразование от Y(z) с помощью теоремы о вычетах, получим выходную дискретную последовательность (знаменатель Y(z) имеет два корня Z1 =-0,2 и Z2 = 0,3).

y(n) = lim (z + 0,2)

z 2

z n−1

+

(z + 0,2) (z − 0,3)

z→−0,2

+ lim (z − 0,3)

z

2

z n−1

;

(z +

0,2) (z − 0,3)

z→0,3

y(n) = lim (z + 0,2)

z 2

z n−1 +

z→−0,2

(z + 0,2) (z − 0,3)

;

+ lim (z − 0,3)

z 2

z

n−1

=

z→0,3

(z + 0,2) (z − 0,3)

y(n) = lim

z n

+ lim

z n

= lim

z n

+ lim

z n

=

0,3 z −1 )

(1 + 0,2 z −1 )

0,3 z −1 )

+ 0,2

z→−0,2 (1 −

z→0,3

z→−0,2 (1 −

z→0,3 (1

z −1 )

=

− 0,2 (−0,2)n

+

0,3 (0,3)n+1

= 0,4 (−0,2)n + 0,6 (0,3)n

− 0,2 − 0,3

0,3 + 0,2

п = 0

у(0) = 1;

п = 1

у(1) = 0,4 ( – 0,2) 1 + 0,6 (0,3) 1

= – 0,08 + 0,18 = 0,1;

п = 2

у(2) = 0,4 ( – 0,2) 2 + 0,6 (0,3) 2

= 0,16 + 0,054 = 0,07.

Значения

совпадают с

найденными

предыдущим методом,

следовательно

y(n) = 0,4 (−0,2)n + 0,6 (0,3)n .

3). Метод разложения на простые дроби:

- 15 -

Y (z) =

1

=

A

+

B

;

(1+ 0,2

z

−1

) (1−0,3

z

−1

)

0,2

z

−1

0,3 z

−1

1+

1−

Y (z) =

A (1− 0,3 z −1 ) + B (1+ 0,2 z−1 )

A − 0,3 A z−1 + B + 0,2 B z −1

=

;

(1+

0,2 z−1 ) (1−

0,3 z −1 )

(1+ 0,2

z−1 ) (1− 0,3

z−1 )

1

=

A + B + z−1 (−0,3 A + 0,2 B)

.

(1+ 0,2 z−1 ) (1− 0,3 z−1 )

(1+ 0,2 z−1 ) (1− 0,3 z−1 )

Так как в числителе правой части последнего уравнения нет слагаемого с множителем «z –1», то из последней полученной дроби можно получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными А и В.

А + В =1

0,2 В = 0,3 А

А = 0,4

.

0

1

− А

= 0,6

−0,3 А +0,2 В =

В =

В

Окончательно получим

Y (z) =

0,4

+

0,6

.

1+ 0,2 z

−1

1−0,3 z

−1

Используя свойство линейности и таблицу соответствия оригиналов и их Z – изображением, получим

y(n) = 0,4 (−0,2)n + 0,6 (0,3)n ,

что совпадает с откликом, полученным предыдущим методом. Уравнение (1.2.5) описывает систему, реакция которой

представляет собой алгебраическую сумму задержанных отсчетов реакций и воздействий, и называется рекуррентным, а описываемая таким уравнением система - рекурсивной.

Если реакция системы не зависит от задержанных отсчетов откликов, то система называется нерекурсивной.

Для рекурсивной системы хотя бы один из коэффициентов аi кроме ао отличен от нуля и разностное уравнение

M −1	N −1
y( n ) = ∑bi	x( n − i ) − ∑ai y( n − j ) .	(1.2.7)
i =0	j =0
Для нерекурсивной системы все коэффициенты ai			i ≠ 0 = 0 (ао
=1) и разностное уравнение принимает вид
	M −1
y(n ) =	∑bi x(n − i ) .	(1.2.8)

i =1

Удобно описывать свойства дискретных и цифровых цепей через соотношения Z – преобразований реакции и воздействия. Согласно свойствам Z – преобразования Z – образы выражений (1.2.7) и (1.2.8) примут вид:

	- 16 -
M −1	N −1
Y (z) = ∑bi	z −i X (z) − ∑ai z −i Y (z)	(1.2.9)
i=0	i=0
для рекурсивной цепи и
M −1	z −i X (z)
Y (z) = ∑bi		(1.2.10)

i=0

для нерекурсивной цепи.

1.2.2. Временные характеристики дискретных цепей

К временным характеристикам дискретных цепей относятся импульсная и переходная характеристики.

Импульсной характеристикой дискретной цепи называется отклик (реакция) цепи на воздействие в виде единичного цифрового

импульса u0 (n) при нулевых начальных условиях и обозначается g(n).

Переходной характеристикой дискретной цепи называется отклик (реакция) цепи на воздействие в виде единичного цифрового

скачка u1 (n) при нулевых начальных условиях b и обозначается h(n).

Под нулевыми начальными условиями понимаются следующие соотношения:

y(n − m) = 0	при n m ,
x(n − m) = 0	при n m.	(1.2.11)

При описании и анализе дискретных цепей используется только импульсная характеристика, так как переходная характеристика легко получается из импульсной.

∞

Так как u1 (n) = ∑u0 (n − m) , то по свойству линейности

m=−0

∞

h(n) = ∑ g(n − m) .

m=−∞

Импульсная характеристика полностью описывает все свойства дискретной цепи. С помощью импульсной характеристики можно найти отклик (реакцию) цепи на любое воздействие.

Пусть дана некоторая дискретная цепь с импульсной характеристикой g(n). На входе цепи действует дискретная последовательность x(n). Тогда по свойству селективности

∞
x(n) = ∑ x(m) u0 (n − m).	(1.2.12)
m=−∞
Согласно свойству линейности и определению g(n) сигналу
u0 (n − m) на входе цепи соответствует отклик (реакция)	g(n − m) , а

- 17 -

сигналу x(m) u0 (n − m) соответствует отклик x(m) h(n − m) и

тогда

∞
y(n) = ∑ x(m) g(n − m) .	(1.2.13)
m=−∞
Сделаем замену переменной n-m=k, тогда m=n-k и выражение
(1.2.13) запишется в виде
∞
y(n) = ∑ x(n − k) g(k).
k =−∞
Обозначив k=m, окончательно получим
∞
y(n) = ∑ x(n − m) g(m) .	(1.2.14)
m=−∞

Выражения (1.2.13) и (1.2.14) эквивалентны и называются дискретной сверткой.

Таким образом отклик дискретной цепи представляет собой свертку воздействия и импульсной характеристики этой цепи.

Свойства импульсных характеристик 1). Длительность импульсных характеристик

• Нерекурсивных цепей

Рассмотрим нерекурсивную цепь, которая описывается разностным уравнением второго порядка

y(n) = b0 x(n) + b1 x(n −1) + b2 x(n − 2).

Найдем импульсную характеристику при нулевых начальных условиях:

g(0) = b0 u0 (0) + b1 u0 (−1) + b2 u0 (−2) = b0 , g(1) = b0 u0 (1) + b1 u0 (0) + b2 u0 (−1) = b1 , g(2) = b0 u0 (2) + b1 u0 (1) + b2 u0 (0) = b2 ,

g(n) n 2 = 0.

В нерекурсивных цепях отсчеты импульсной характеристики совпадают с коэффициентами разностного уравнения. Длина импульсной характеристики на единицу больше порядка разностного уравнения, а сама импульсная характеристика конечна. Поэтому нерекурсивные дискретные цепи называют еще КИХ-цепями (цепи с конечной импульсной характеристикой).

• Рекурсивных цепей

Рассмотрим рекурсивную цепь, которая описывается разностным уравнением первого порядка

y(n) = b0 x(n) −a1 y(n −1).

- 18 -

Найдем импульсную характеристику при нулевых начальных условиях:

g(0) = b0 u0 (0) − a1 h(−1) = b0 ,

g(1) = b0 u0 (1) − a1 h(0) = b0 (−a1),

g(2) = b0 u0 (2) − a1 h(1) = b0 (−a1 )2 ,

… … … … … … …

g(n) n 2 = b0 (−a1)n .

Импульсная характеристика рекурсивной цепи бесконечна. Поэтому рекурсивные дискретные цепи называют еще БИХ-цепями (цепи с бесконечной импульсной характеристикой). Эти цепи помнят всю историю импульсной характеристики.

2). Устойчивость

Под устойчивостью будем понимать способность системы иметь конечную реакцию на конечное воздействие.

Необходимым и достаточным условием устойчивости дискретной системы является сходимость ряда, составленного из отсчетов импульсной характеристики, что эквивалентно условию:

∞

∑

g(n)

∞

.

(1.2.15)

n =0

1.2.3. Основы построения функциональных схем

дискретных цепей

При построении дискретных цепей используются следующие

элементы:

элемент задержки

•

Z −1

x(n)

T

x(n-1) x(n)

x(n-1)/

•

сумматор

x1(n)

y(n)=x1(n)+x2(n)

x2(n)

• умножитель на постоянный коэффициент

x(n)
	k			k·x(n)

- 19 -

Примеры структурных схем

• Нерекурсивная цепь

Разностное уравнение нерекурсивной цепи имеет вид

y(n) = x(n) +b1 x(n −1) +b2 x(n − 2).

Тогда структурная схема цепи примет вид

x(n)

Z −1

Z −1

b0

b1

b2

y(n)

• рекурсивная цепь Разностное уравнение рекурсивной цепи имеет вид

y(n) = x(n) +b1 x(n −1) −a1 x(n −1).

Тогда структурная схема цепи примет вид

x(n)	b1
	Z −1

y(n)

Z −1

a1

1.2.4. Передаточные функции линейных дискретных цепей.

Передаточной функцией линейных дискретных цепей называется отношение z-изображений реакции (отклика) к Z - изображению воздействия, т.е.

T (z ) =	Y (z )
	X (z ),	(1.2.16)

где Y(z) – изображение реакции; X(z) – изображение воздействия. Передаточная функция получается из разностного уравнения (6.2.7).

Пусть Y (z ) - Z–изображение отклика дискретной системы y(n), а X (z ) - Z-изображение воздействия х(n).

Запишем в общем виде разностное уравнение дискретной цепи

M −1 N −1

∑ai y( n − i ) = ∑b j x( n − j )

i =0 j =0

Возьмём прямое Z-преобразование от правой и левой части этого уравнения. С учётом свойств линейности и задержки получим:

		- 20 -
M −1				N −1
Y (z ) = ∑ bi X (z ) z −i			− ∑ai Y (z ) z −i
i =0					i =1	, или (1.2.17)
	M −1				N −1
Y (z ) = X (z ) ∑ bi z −i					−Y (z ) ∑ai z −i
	i =0				i =1
	N −1	z−i			M −1	z−i
				= X (z) ∑bi
Y (z) 1 + ∑ai
i =1					i =0

				M −1	z −i
T (z) =	Y (z)			∑bi
		=		i =0		.	(1.2.18)
	X (z)			N −1
			1 + ∑ ai z −i

i =1

Если хотя бы один из коэффициентов ai при i ≠ 0 отличен от

нуля, то это уравнение описывает передаточную характеристику рекурсивной цепи.

Если все коэффициенты ai =0 при i≠0, то следующее уравнение

описывает передаточную характеристику нерекурсивной цепи:

		Y (z)		M −1
	T (z) =			= ∑bi z −i .	(1.2.19)
		X (z)
				i=0
	1.2.5. Нули и полюса передаточной функции.
	Нулём передаточной функции (обозначим как				βi ) называется

значение переменной Z, обращающее передаточную функцию в ноль – это эквивалентно обращению в ноль числителя передаточной функции:

M −1

∑ bi z −i = 0 – это уравнение решается не относительно l =0

переменной z −1, а относительно переменной Z, следовательно, надо

привести к полиному относительно переменной Z умножением правой и левой части на z M −1, т.е. на Z в наибольшей степени.

Полюсом передаточной функции (обозначим как αi ) называется

значение переменной z, обращающее передаточную функцию в бесконечность – это эквивалентно обращению в ноль знаменателя передаточной функции, т.е.

N −1
1 + ∑ ai z −i = 0 .	(1.2.20)

i =1

Нули и полюсы полностью определяют свойства системы. Изображение нулей и полюсов на комплексной плоскости Z

называется картой нулей и полюсов (рис.1.2.3).