lektsii_TsOS_gruppa_RK_01 (1)

- 51 -

TH (ω) =	T (ω)
		.	(1.5.1)
	T (ω)
	max

АЧХ фильтров могут быть, как симметричными, так и несимметричными.

В таблице 1.5.1 приведены идеальные АЧХ и требования к реальным АЧХ основных цифровых фильтров:

-фильтра низких частот (ФНЧ);

-фильтра высоких частот (ФВЧ);

-полосового фильтра;

-заграждающего фильтра.

Как правило, при построении этих фильтров АЧХ выбирается симметричной.

Требования к фильтрам могут задаваться не только в частотной области, но и во временной. В этом случае требования предъявляются к импульсным или переходным характеристикам, требования к АЧХ не накладываются. Требования к импульсным характеристикам характерно при проектировании согласованных и некоторых БИХ – фильтров.

Иногда требований предъявляются к ФЧХ, при этом на АЧХ не накладывается жёстких ограничений. В некоторых случаях задаются одновременно требования и к АЧХ, и к ФЧХ. Основное требование к ФЧХ – это требование абсолютной линейности за исключением скачков на π , которые имеют место в точках, где АЧХ обращается в

ноль, т.е. фазочастотная характеристика цифрового фильтра должна иметь вид:

ϕ(ω) = −L ω T +ϕ0 .			(1.5.2)
Линейность ФЧХ эквивалента постоянству группового			времени
запаздывания во всей полосе частот от 0 до π:
τгр (ω) = −	∂ϕ(ω)	= L T ,	(1.5.3)
	∂ω

т.е. для всех спектральных составляющих входного сигнала выполняется требование одинаковой задержки во времени.

При проектировании цифровых фильтров их синтез производится из условия минимальных затрат при максимальном удовлетворении требований, т. е. решается задача оптимизации.

Тип

фильтра

ФНЧ

ФВЧ

полосовой

- 52 -

Таблица 1.5.1.

Идеальная		Реализация АЧХ
нормированная АЧХ
T (ωˆ )	T (ωˆ )
	1	1
1
	ωˆ	δ2	ωˆ
ωˆ гр		ωП
	π

T (ωˆ )		T (ωˆ )
1		1	δ1
	ωˆ	δ2	ωˆ
ωˆ гр			ωП
	π

T (ωˆ )	T (ωˆ )
1	1		1
	δ2		δ2	ωˆ
ωгр 1	ωˆ	ωП	ωП
	ωгр

- 53 -

заграждения

T (ˆ )	T (ωˆ )
1	1	1
	1
ωгр 1 ωгр 2 π		δ2	ωˆ
		ωП	ωП

Существует много методов проектирования оптимальных фильтров, к которым относятся фильтры Баттерворта, Чебышева первого и второго рода, эллиптические фильтры Золотарева-Кауэра. Все они оптимальны, но с разных позиций.

В таблице 1.5.2 приведены амплитудно-частотные характеристики вышеперечисленных фильтров.

Фильтр

Баттерворта

Чебышева первого рода

			Таблица 1.5.2
Характеристика АЧХ			Рисунок
			T (ωˆ )
Характеризуется
гладкостью, как в полосе
заграждения,	так	и	в
полосе прозрачности

T (ωˆ )

Характеризуется гладкостью в полосе заграждения и пульсациями в полосе прозрачности

- 54 -

Чебышева родавторого

Характеризуется

T (ωˆ )

заграждения

в

полосе

гладкостью

прозрачности

и

пульсациями

в

полосе

		T (ωˆ )
-	Кауэра
Золоторёва		Характеризуется
		пульсациями и в полосе
		прозрачности, и в полосе
		заграждения

Несмотря на то, что требования к фильтрам с заданной степенью точности могут быть удовлетворены как БИХ-, так и КИХ - фильтрами, тем не менее синтез этих фильтров рассматривается отдельно, т. к. БИХ- и КИХфильтры отличаются рядом существенных свойств:

КИХ-фильтры:

−всегда устойчивы,

−могут обладать линейной ФЧХ,

−позволяют синтезировать дифференциаторы, интеграторы и

преобразователи Гильберта.

Все спектральные составляющие входного сигнала при преобразовании Гильберта сдвигаются по фазе на π2 );

БИХ-фильтры:

−всегда имеют меньший порядок, чем КИХ-фильтры,

−могут быть неустойчивыми,

−не обладают линейной ФЧХ,

−позволяют синтезировать фазовые корректоры.

1.5.1.Теорема о КИХ-фильтрах с линейной ФЧХ.

Рассмотрим два полинома:

	N −1	−n ,	(1.5.4)
	B (z ) = ∑ bn z
	n =0
	N −1		(1.5.5)
	B (z −1 )= ∑ b z n .
	n

n =0

Предварительно докажем, что при z = e j ωˆ эти полиномы

являются комплексно-сопряжёнными, причём полиному (1.5.4) соответствует физически реализуемая цепь, а полиному (1.5.5) соответствует физически нереализуемая цепь (“+” в показателе

ωˆ [0,π

		- 55 -
степени z – возврат в прошлое, “–” –			запаздывание). Подставляя
z = e j ωˆ :	N −1	N −1	N −1
B(e j ωˆ )= ∑bn e− j ωˆ n		= ∑bn cosωˆ n −	j ∑bn sin ωˆ n и	(1.5.6)
	n=0	n=0	n=0
B(e− j ωˆ )	N −1	N −1	N −1
	= ∑bn e j ωˆ n = ∑bn cosωˆ n +		j ∑bn sin ωˆ n.	(1.5.6,а)
	n=0	n=0	n=0

Перепишем (1.5.6) и (1.5.6,а) в экспоненциальной форме

( j ωˆ	)=	( ˆ )	e	− j ϕ1 (ωˆ )				и
B e		B ω
( − j ωˆ )=		( ˆ )	e	j ϕ2		(ωˆ )	, где
B e		B ω
B(ωˆ ) =	N −1			2		N −1				2
	∑bn cosωˆ n				+ ∑bn sin ωˆ				n	,
	n=0					n=0

	N −1
	∑bn sin ωˆ n	= ϕ(ωˆ ),
ϕ (ωˆ ) = −arctg	n =0

1	N −1
	∑bn cos ωˆ n
	n =0

(1.5.7)

(1.5.7,а)

(1.5.8)

(1.5.9)

B(ωˆ ) =	N −1	2	N −1	2
	∑bn cosωˆ	n	+ ∑bn sin ωˆ	n	,
	n=0		n=0

N −1

∑bn sin ωˆ n

ϕ2	(ωˆ ) = arctg	n=0		= −ϕ(ωˆ )	.
		N −1
		∑bn cosωˆ	n

n=0

(1.5.10)

(1.5.11)

Учитывая (1.5.8) – (1.5.11) выражения (1.5.7) и (1.5.7,а) можно переписать в виде:

( j ωˆ	)=	( ˆ )	e	j ϕ (ωˆ )	и	(1.5.12)
B e		B ω

B(e− j ωˆ )= B(ωˆ ) e− j ϕ (ωˆ ) , т.е.

(1.5.12,а)

B(e j ωˆ ) и B(e− j ωˆ ) - комплексно-сопряженные величины.

Теорема

Для того, чтобы КИХ-фильтр обладал линейной ФЧХ во всей полосе частот ] за исключением скачков на π радиан на тех

частотах, где АЧХ обращается в ноль, необходимо и достаточно, чтобы передаточная функция T(z) описывалась выражением вида:

T (z)= B(z)± z−R B(z−1 ) ,

(1.5.13)

где R ≥ N −1.

- 56 -

Для доказательства теоремы воспользуемся соотношениями (1.5.12) и (1.5.12,а) и рассмотрим частотную характеристику, соответствующую выражению (1.5.13) при положительных и отрицательных знаках.

( j ωˆ

)=

(

ˆ )

e

j ϕ(ωˆ ) ±

e

− j ωˆ R

( ˆ )

e

− j ϕ(ωˆ )

или

T e

B ω

B ω

ˆ

ˆ

ωˆ R

ˆ

ω R

ˆ

ω R

( j ωˆ

)=

( ˆ )

− j

j

ϕ(ω )+

− j

ϕ(ω )+

e

2

e

2

±

e

2

.

T e

B ω

При знаке “+”

ωˆ R

ˆ

R

− j

( j ωˆ )=

2

( ˆ )

( ˆ )+

ω

e

2

.

T+ e

B

ω

cos ϕ ω

2

Обозначим

(1.5.14)

(1.5.15)

(1.5.16)

( ˆ ) = ( ˆ )		( ˆ )+	ω	R
D ω 2 В ω			ˆ
	cos ϕ ω					, (1.5.17)
			2

которая называется амплитудной функцией и может принимать как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от знака косинуса. Тогда выражение (1.5.16) примет вид

( j ωˆ	)=	ˆ		e	− j	ωˆ R
						2	.	(1.5.18)
T+ e		D(ω)

Амплитудно-частотная характеристика или модуль выражения (1.5.18) будет определяться выражением:

j ωˆ

=

ˆ

R

ˆ

=

T+ (e

)

=

ˆ

=

2

ˆ

ˆ

+

ω

].

T (ω)

D(ω)

B(ω)

Cos[ϕ(ω)

2

(1.5.19)

Фазочастотная характеристика определяется соотношением

−

ˆ

R

ˆ

ω

,

D(ω) 0

2

=ωˆ R

− ± π , D(ωˆ ) 0 (1.5.20)

2

иявляется линейная функция частоты за исключением скачков на π в

точка на оси частот, где косинус меняет свой знак. Эти частоты ωˆi находятся из соотношения(ωˆ )ϕТ

ˆ

R

π

ˆ

)

+

ωi

=

(2

k

+

1), k = 0, 1, 2, …, К-1,

(1.5.21)

ϕ(ωi

2

2

где К – число нулей на интервале нормированных частот 0 – π. Общий вид фазочастотной характеристики приведен на рис.1.5.2.

- 57 -

ϕТ (ωˆ )
ˆ	ωˆ2	ˆ	ωˆ
ω1		ω3
π
Рис.6.5.2. Общий вид фазочастотной характеристики
цифрового фильтра с линейной ФЧХ

При знаке “-”

ˆ

R

− j

ωˆ R

( j ωˆ )

=

2

j

( ˆ )

( ˆ )

+

ω

e

2

(1.5.22)

T− e

B ω

Sin ϕ ω

2

ˆ

R

− j (

ωˆ R

−

π

)

(

j ωˆ )=

2

(

ˆ )

( ˆ )+

ω

e

2

2

. (1.5.23)

или T− e

B ω

Sin ϕ ω

2

Обозначим

R

~

ω

ˆ

D(ωˆ ) = 2 В(ωˆ ) Sin ϕ

(ωˆ )+

,

(1.5.24)

2

которая называется амплитудной функцией и может принимать как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от знака синуса. Тогда выражение (1.5.22) примет вид

(	j ωˆ )=	~ ˆ	e
T+ e		D(ω)

− j (	ωˆ R	−	π	)
	2		2 .		(1.5.25)

Амплитудно-частотная характеристика или модуль выражения (1.5.25) будет определяться выражением:

j ωˆ

=

~ ˆ

ˆ

R

ˆ

=

T− (e

)

=

=

2

ˆ

ˆ

+

ω

].

(1.5.26)

T (ω)

D(ω)

B(ω)

Sin[ϕ(ω)

2

Фазочастотная характеристика определяется соотношением

ˆ

R

π

~

ω

−

+

, D(ωˆ ) 0

ϕТ

(

ˆ )

=

ˆ

2

2

(1.5.27)

ω

R

π

~

ω

−

−

, D(ωˆ ) 0

2

2

-58 -

иявляется линейная функция частоты за исключением скачков на π в

точка на оси			частот, где синус меняет свой знак.		Эти частоты
ˆ	находятся из соотношения
ωi
	ϕ(ωˆi ) +	ωˆi R
				= π k , k = 0, 1, 2, …, К-1,	(1.5.28)
		2

где К – число нулей на интервале нормированных частот 0 – π. Фазочастотная характеристика ϕТ (ωˆ ) будет иметь похожий вид, что и

предыдущая, но со смещением на π/2 по оси ординат .

1.5.2.Следствия из теоремы о КИХ – фильтрах

слинейной ФЧХ

1.КИХ – фильтры с линейной фазочастотной характеристикой обладают двумя типами ФЧХ:

(	)	= −	ωˆ R	и	(	)	=	π		−	ωˆ R	.	(1.5.29)
ϕT1 ωˆ			2		ϕT 2 ωˆ			2			2

Сдвиг фазы на π2 позволяет строить дифференцирующие устройства

ипреобразователи Гильберта.

2.КИХ – фильтры обладают линейной ФЧХ, если отсчеты импульсной характеристики (коэффициенты передаточной функции)

симметричны (bn = bN −1−n ) или антисимметричны (bn

Пример:

B(z ) = b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + b3 z −3 B(z −1 )= b0 + b1 z + b2 z 2 + b3 z 3

Примем R = 3.

Построим передаточную функцию как: а)

T (z)= B(z)+ z−3 B(z−1 )= b0 + b1 z−1 + b2 z−2

+ b0 z−3 + b1 z−2 + b2 z−1 + b3

=−bN −1−n ) .

+b3 z−3

или T (z) = b0 + b3 + (b1 + b2 ) z −1 + (b1 + b2 ) z −2 + (b0 + b3 ) z −3. (1.5.30)

Как видно из выражения (1.5.30) коэффициенты передаточной функции симметричны. А так как отсчёты импульсной характеристики КИХ-фильтра совпадают с коэффициентами передаточной функции (разностного уравнения), то и отсчеты импульсной характеристики симметричны.

б)	T (z)= B(z)− z −3 B(z −1 )= b + b z −1		+ b	2	z −2 + b z −3	− b z −3	− b z −2	− b	2	z −1 − b
	0	1			3	0	1			3
или	T(z) = b0 −b3 +(b1 −b2 ) z−1 −(b1 −b2 ) z−2 −(b0 −b3 ) z−3 .							(1.5.31)

- 59 -

Как видно из выражения (1.5.31) коэффициенты передаточной функции антисимметричны. Следовательно, и отсчёты импульсной характеристики КИХ - фильтра антисимметричны.

Существует всего 4 типа фильтра с линейной ФЧХ. Параметры их импульсных характеристик приведены в таблице 1.5.3

				Таблица 1.5.3.
	длина	порядок		ИХ
			симметричная	антисимметричная
	нечётная	чётный	1	3
	чётная	нечётный	2	4

Для этих четырех типов фильтров из формул, полученных при доказательстве теоремы, можно получить следующие комплексные передаточные функции:

• для фильтров I – го типа

T1 (e

jωˆ

e

− j

ωˆ R

R 2

bk

ˆ

R

k)],

)

=

2

∑2

(

−

(1.5.32)

Cos[ω

2

k

где

R

− k

-

целое число, так как R

- целое четное число,

2

позволяет синтезировать любой частотно-избирательный фильтр (все определяется коэффициентами импульсной характеристики;

• для фильтров II – го типа

T2 (e

jωˆ

e

− j

ωˆ R

R 2

bk

ˆ

R

k)],

)

=

2

∑2

(

−

(1.5.33)

Cos[ω

2

R

k

где

− k -

не целое число, так как R

-

целое нечетное число,

2

позволяет синтезировать хорошие фильтры низких частот и полосовые фильтры, но нельзя получить заграждающие и фильтры высоких частот;

• для фильтров III – го типа

ωˆ R π

R −1

R

− j (

2

T3 (e

jωˆ

)

e

+

)

∑2

bk

ˆ

(

−

k)],(6.5.34)

=

2

2

Sin[ω

2

R

k

где

− k

-

целое число, так как R

-

целое четное число,

2

позволяет синтезировать полосовые фильтры и преобразователи Гильберта;

• для фильтров IV – го типа

- 60 -

ωˆ R π

R −1

R

− j (

2

T4 (e

jωˆ

)

e

+

)

∑2

bk

ˆ

(

−

k)],

=

2

2

(6.5.33)

Sin[ω

2

R

k

где

− k

-

не целое число, так как R - целое нечетное число,

2

позволяет синтезировать дифференцирующие устройства.

1.5.3. Однородные фильтры.

КИХ – фильтр называется однородным, если все коэффициенты его передаточной функции одинаковы. Тогда передаточная характеристика примет вид

N −1		1 − z	−N
T (z ) = A ∑z −n	= A		−1 .	(1.5.34)
n =0		1 − z

Из выражения (1.5.34) следует, что при реализации однородного фильтра возможны два варианта:

1). В виде нерекурсивной цепи (в этом случае однородный фильтр всегда устойчив), изображенной на рис.6.5.3.

x(n)	A	z −1	z −1
	T (z)
	1
			y(n)

Рис.1.5.3. Однородный фильтр в виде нерекурсивной цепи.

2). В виде рекурсивной цепи, изображено на рис.1.5.4 (может быть неустойчив).

x(n)	−N

1/N

(n)

Z −1

Рис.1.5.4.Однородный фильтр в виде рекурсивной цепи.

Для определения коэффициентов А наложим на передаточную характеристику следующее требование: