lektsii_TsOS_gruppa_RK_01 (1)

-31 -

5.Соотношение (равенство) Парсеваля

Устанавливает связь распределения энергии сигнала во временной и частотной областях.

π

∞

T

T

2 dω

∑

x(n)

2

=

∫π

X (e jωn T

)

2 π

(1.3.13)

n=0

−

T

1.3.4. Связь между спектром аналогового

и дискретного сигнала.

1

∞

Пусть задан аналоговый сигнал

x(t ) =

∫ X (j ω) e j ω tdω , где

2 π

−∞

X

(

j

ω

) – спектральная плотность сигнала

x t

( ).

Дискретный сигнал x(n) = x(t )

t =n T .

1

∞

Тогда x(n ) =

∫ X (j ω) e j ω n T dω .

(1.3.14)

2 π

−∞

Освободимсяотбесконечных пределов,заменивихбесконечнойсуммой:

				(2 m +1)	π
	∞		1		T
	x(n ) = ∑			∫ X (j ω) e j ω n T dω.			(1.3.15)
		2	π
	m =−∞			(2 m −1)	π
					T

Освободимся от скользящих пределов, введя их в аргумент подинтегральной функции

π

x(n) =

∞

1

T

π

∑

∫

X

j

ω + 2 m

e j ω n T dω

.

m=−∞ 2 π

−

π

T

T

Поменяем порядок суммирования и интегрирования:

π

x(n) =

1

T

∞

π

∫

∑

X

j

ω + 2 m

e j ω n T dω

.

2 π

−

π

m=−∞

T

T

(1.3.16)

(1.3.17)

- 32 -

π

T

T

x(mT ) =

∫ X (e j ω t ) e j ω n T dω

С

другой

стороны

2 π

−

π

(1.3.17,а)

T

Сравнивая (1.3.17) и

(1.3.17,а), получим спектр дискретного

сигнала

j ω n T

1 ∞

π

X (e

) =

∑

X

j ω + 2

m

(1.3.18)

T

.

T m=−∞

Анализ выражения (1.3.18) показывает:

1. Спектр дискретного сигнала представляет собой бесконечную

сумму спектров аналогового сигнала на периоде	2 π	,	где	2 π	= ωд
	T			T

–частота дискретизации.

2.Если ширина спектра ω аналогового сигнала больше частоты

дискретизации ωд , т. е. ω > ωд , то спектры перекрываются. Наглядно

это показано на рис.6.3.1.

X(ω)

ω

Δω

X(e jωn T)
	ω
X(e jωn T)

ω

Рис.6.3.1. Спектры аналогового (а) и дискретного (б, в) сигналов (б – спектр дискретного сигнала: ω=ωд, в – спектр дискретного сигнала: ω > ωд ).

-33 -

1.3.4.Дискретное преобразование Фурье.

Спектры периодических и конечных дискретных сигналов.

В предыдущем разделе мы рассматривали бесконечный дискретный сигнал, спектр которого представлял непрерывную функцию частоты. Реально мы имеем дело с периодической или конечной последовательностью дискретного сигнала и должны уметь определять его спектр, а по дискретным значениям полученного спектра восстанавливать исходную последовательность.

Пусть задан дискретный сигнал x(n ) конечной длины с

периодом N.

Так как сигнал периодический, то он может быть представлен рядом Фурье в комплексном виде:

∞

							xp (n) = ∑ X p (ωk ) e		j ωk n T	,	(1.3.19)
								k =−∞
							2 π
где		ωk =						k ,
			2 π				N T
ωˆ k =							k – нормированная частота, k – целое число,
				N
Ω =		2 π				– частота основной гармоники,
		N T
	ˆ	2 π					– нормированная частота основной				гармоники
				N
Ω =
сигнала.
2 π							= X p (ωk ) = X p (k ) – все три значения – одно и то же.
X p				k
N T

X p (k ) – k-ый коэффициент ряда Фурье в выражении (1.3.19). Подставляя выражение ωk в (1.3.19), получим:

	2 π		k n T .		(1.3.20)
x p (n ) = ∑ X p (k ) e j N T
∞
k =−∞
Так как e j ωk t – периодическая				функция,	то можно
ограничиться одним периодом в выражении суммы:
N −1		j ωk n T
x p (n ) = ∑ X p (k ) e
				.	(1.3.21)
k =0

Выражение (1.3.21) представляет собой обратное дискретное преобразование Фурье последовательности xp(n).

Однако принята более удобная запись:

1

- 34 -

N −1

xp

(n) =

∑ X p (k) e j ωk n

N

k =0

.

(1.3.22)

Запишем обратное дискретное преобразование Фурье в виде.

1 N −1

j

2 π

k n

x p (n ) =

∑ X p (k ) e

N

.

(1.3.23)

N

k =0

2 π n m

Умножим правую и левую части на e

− j

и просуммируем

N

полученное выражение по «n»:

N −1

− j

2 π

n m

N −1 1

N −1

j

2 π

k n

− j

2 π

n m

∑ x p (n ) e

N

= ∑

∑ X p (k ) e

N

e

N

.

n =0

n =0 N

k =0

Меняя в правой части равенства порядок суммирования, получим

N −1

− j

2 π n m

1

N −1

N −1

j

2 π

(k −m ) n

∑ x p (n ) e

N

=

∑ X p (k ) ∑ e

N

.

N

n =0

2 π

k =0

n =0

1

N −1

j

(k −m ) n

1,k = m

Так как

∑ e

N

=

≠ m

, то

N

2 π

n =0

0,k

2 π

N −1

− j

n m

1

N −1

N −1

1

∑ xp (n) e

X p (m) ∑1

∑ xp (n) e

− j

n m

X p (m) N .

N

N

=

и

=

N

N

n=0

n=0

n=0

Тогда

N −1

− j

2 π

m n

X p (m) = ∑ x p (n) e

N

(1.3.24)

n=0

Или с учетом обратной замены m=k получим прямое дискретное

преобразование Фурье

N −1

2 π

X p (k) = ∑ xp (n) e

− j

k n

N

.

(1.3.25)

n =0

Обратное дискретное преобразование Фурье имеет вид:

	1	N −1	j	2 π	k n
x p (n ) =		∑ X p (k ) e		N	.	(1.3.26)
	N
		k =0

Выражения (1.3.25) и (1.3.26) представляют собой пару дискретных преобразований Фурье.

Обозначим	− j		2 π		k n	= WNk n
e			N
		2 π
e j				k n		= WN−k n
		N

- 35 -

. (1.3.27)

WNkn и WN−k n называются поворачивающими множителями. Их

точки расположены на окружности единичного радиуса с интервалом

2 π	. Тогда	пара дискретных			преобразований	Фурье	(ДПФ)
N
перепишется в виде				N −1
		X p (k ) = ∑ x p (n) WNk n ,				(1.3.28)
				n=0
			1	N −1
		xp (n) =		∑ X p (k ) WN−k n .		(1.3.29)
			N
				k =0
	Введение	поворачивающих			множителей	требуется	для

организации алгоритма быстрого преобразования Фурье.

В выражениях (1.3.25), (1.3.26), (1.3.28) и (1.3.29) индексы k и n принимают значения от 0 до N-1, что обеспечивает вычисление N коэффициентов Xp(k) и последовательности x(n).

1.3.5. Свойства дискретного преобразования Фурье.

1. Периодичность

Функция X p (k ) периодична с периодом N

N отсчётов X p (k ) полностью определяют последовательность.

2. ДПФ – это N отсчётов спектра, взятых на интервале ωˆ =						2 π	.
Эти отсчёты эквидистанты (равномерно распределены).						T
3. Линейность
Если	xp (n) = a x1 p (n)+ b x2 p (n),			то
X p (k ) = a X1 p (k )+ b X 2 p (k ).
Периодичность		последовательности		x(n)	определяется
N = max {N1,N 2 }, где N1 и			N2 периоды последовательностей
х1р(n) и х2р(n).
4. Свёртка			последовательности x1p (n ) и
Если даны	две	дискретных

x2 p (n ), то их свертка будет иметь вид:

N −1

y p (n ) = ∑ x1p (m) x2 p (n − m),

m =0

где N = N1 + N2 −1, N1 длина x1p (n ), N 2 длина x2 p (n ).

- 36 -

Последовательности x1p (n ) и x2 p (n ) необходимо дополнить

нулями до длины N.

Тогда дискретное преобразование Фурье от y(n), будет

определяться выражением

		Yp (k ) = X1 p (k ) X 2 p (k ),	(1.3.30)
где X1 p (k )	и	X 2 p (k ) дискретные преобразования Фурье
последовательностей x1p (n ) и x2 p (n ) соответственно.

1.3.6. Представление дискретной последовательности с помощью ДПФ.

Дана дискретная последовательность х(n) длиной N:

						x(n), 0 ≤ n ≤ N −1
	xp (n) =										(1.3.31)
						0, n 0 и		n N −1
Запишем для этой последовательности Z-преобразование:
						N −1
					X (z ) = ∑ x p (n ) z −n
		2π				n =0
Полагая z = e j				k , получим
		N
			2π		k	N −1		2 π
		j					− j		k n
X			N			= ∑ xp (n) e		N		или	(1.3.32)
	e
						n=0

		N −1		2 π
		X p (k) = ∑ xp (n) e	− j		k n
				N
		n =0
		(1.3.32,а)
Сравнивая (1.3.32) и (1.3.32,) с учётом выражения (1.3.31) можно
показать, что:
	j 2 π	k
X e	N	= X (k ) – отсчёты спектров дискретного преобразования
в точках равных «k».
	Следствия:
	1. Значение ДПФ последовательности конечной длины равны
						2π
значениям Z-преобразования при условии z = e j							k
						N		в «N» точках,

- 37 -

равномерно расположенных на единичной окружности с интервалом 2Nπ .

2. Коэффициенты ДПФ однозначно определяют саму последовательность х(п).

Пример:

x(n ) = an длиной N,

1. Пусть дана последовательность

a

1.

Определим ДПФ от этой последовательности.

N −1

n

− j 2 π

k n

N −1

− j

2 π

k n

X p (k ) = ∑ a

e

N

∑

N

=

a e

.

n =0

n =0

Так как мы имеем дело с геометрической прогрессией с

	конечным			числом	членов,	то её	сумма находится	по формуле:
	∑=	S1 − S N +1	,	где S1	– первый	член	прогрессии, SN+1 –	N+1-ый член
		1 − q

прогрессии, N – число членов прогрессии, q – знаменатель прогрессии. Исходя из этого, дискретное преобразование Фурье

от x(n ) = an примет вид :

1

− a

N

e

− j

2 π

k N

1

− a

N

X p (k ) =

N

=

1 − a e

− j

2 π

k

− a e

− j

2 π

k

1

N

N

Z – изображение последовательности определяться

	N −1		1	− a	N	z	−N
	X (z ) = ∑ an z −n	=
			1 − a z −1
	n =0

.

x(n ) = an будет

.

						2π
			z = e j				k , получим
Подставляя						N
	j	2π	k			1 − a N
X e		N		=
								2π
				1 − a e− j					k	.
								N

	ДПФ		даёт значения частотных	характеристик только в
	точках	2 π	, в остальных точках значение	X (e jω ) надо уметь вычислить
		N

по значениям X p (k ). Этого можно добиться с помощью Z – преобразования.

-38 -

2.Дана последовательность x(n ) длиной N, Z – изображение

которой

N −1

X (z) = ∑ xp (n) z−n .

(1.3.33)

n=0

1

N −1

j 2 π

k n

Так как

x p (n ) =

∑ X p (k ) e

N

(обратное

N

k =0

дискретное преобразование Фурье от

X p (k )), то подставляя xp (n) в

выражение (1.3.33), получим

N −1

1

N −1

2π

j

k n

−n

N

X (z) = ∑

∑ X p (k ) e

z

.

(1.3.34)

N

n=0

k =0

Или, меняя порядок суммирования,

1

N −1

N −1

2 π

X (z) =

∑ X p (k ) ∑e j

k n

z −n .

N

(1.3.35)

N

k =0

n=0

Рассматривая вторую сумму в правой части уравнения (1.3.35) как сумму геометрической прогрессии с конечным числом слагаемых, получим

1

N −1

1− z−N

X (z) =

∑ X p (k )

N

j

2π

k

.

(1.3.36)

k =0

1− e

N

z−1

Подставив в последнее выражение

z = e j ω , найдём X (e j ωˆ ) в виде

1

N −1

1− e

− j ω N

X (e j ω ) =

∑ X p (k )

N

j

2π

k

.

(1.3.37)

k=0

1− e

N

e− j ω

После несложных тригонометрических преобразований, получим

ω N

N 1

X p (k )

e

− j ω

N −1

Sin

j ω

−

2

2

X (e

) = ∑

N

j

2π

k

.

(1.3.38)

k =0

e

ω N − 2 k π

N

Sin

2 N

- 39 -

		Sin	ω N
Функция			2			интерполирует	значения
	Sin	ω N − 2 k π
			2 N				X p (k ) на всю
коэффициентов дискретного преобразования Фурье
частотную ось (от 0 до π). Зная коэффициенты ДПФ,							можно найти
значения спектра во всех промежуточных точках.

6.3.7. Понятие о периодической свертке

Найдём дискретную последовательность у(n), дискретное преобразование Фурье которой

Y p (k ) = X1p (k ) X 2 p (k ).

(1.3.39)

С учетом обратного преобразования Фурье (1.3.29) запишем

1

N −1

y p (n ) =

∑ Y p (k ) WN−k n .

(1.3.40)

N

k =0

С учетом (1.3.39) перепишем (1.3.40) в виде

1

N −1

y p (n ) =

∑ X1p (k ) X2 p (k ) WN−k n

(1.3.41)

N

k =0

Обозначим через поворачивающие множители

N −1

X1 p (k ) = ∑ x1 p (m) W k m

m=0

N −1

k i

.

(1.3.42)

X

2 p (k ) = ∑ x2 p (i) W

m=0

Подставляя X1 p (k )

X 2 p (k )в (1.3.41), получим

y

(n)= 1

N −1

Nи x (m) W k m

N −1

x (i) W k i W −k n

−1

p

∑ ∑ 1 p

∑ 2 p

(1.3.43)

N

k =0

m=0

l =0

или, меняя порядок суммирования,

1

N −1

N −1

N −1

y p (n)= ∑ x1 p (m) ∑ x2 p (i)

∑W −k (n−m−i )

(1.3.44)

m=0

i=0

N

.

k =0

2 π

Так как W −k (n−m−i ) = e j

k (n−m−i )

N

1

N −1W −k (n−m−i )

, то

N

∑

является геометрической прогрессией.

k =0

- 40 -

Тогда
1		N −1	1,n = m + i
		∑ W −k (n −m −i )	=	, и
	N
		k =0	0,n ≠ m + i
		N −1	N −1
y p (n ) = ∑ x1p (m) ∑ x2 p (i ).				(1.3.45)
		m =0	i =0
Если i = n −m, то
		N −1
		y(n) = ∑ x1 p (m) x2 p (n − m).		(1.3.46)

m=0

Выражение (1.3.46) называется периодической сверткой.

Свойства периодической свёртки

1.Если x1p (n ) и x2 p (n )имеют разные периоды N1 и N2 , то период свертки N = N1 + N2 −1.

2.При вычислении с помощью ДПФ периодической свёртки необходимо каждую последовательность дополнить нулями до

периода свертки N = N1 + N2 −1.

3.Если последовательность y(n) = x1 (n) + x2 (n) , то

N −1

Y (k) = ∑ X1 p (n) X 2 p (k − n).

(1.3.47)

n=0

Для вычисления ДПФ требуется очень много операций.

Сокращение числа

операций достигается с

помощью

быстрого

преобразования Фурье (БПФ).

6.4. Быстрое преобразование Фурье.

Дискретное

преобразование

Фурье

X p (k )

конечной

последовательности

x n

) при

n

=

0,1,..., N

−

1 определяется

(

согласно (1.3.28):

− j 2 π k

N −1

k = 0, 1,..., N −1 ,

X p (k ) = X e

N

=

∑ x(n ) WNn k ,

(1.4.1)

n =0

а согласно (1.3.29) :

1

N −1

x(n ) =

∑ X p (k ) WN−n k ,n = 0, 1,...,

N −1 ,

(1.4.2)

N

k =0

где