lektsii_TsOS_gruppa_RK_01 (1)

- 71 -

Если С<0 , то в р – области левая полуплоскость, А<В, r < 1, отображается в Я области внутри единичного круга. Если С>0 , то в р – области правая полуплоскость, А>В, r > 1, отображается в Z - области вне единичного круга.

3) Число полюсов цифрового фильтра равно числу полюсов прототипа (их порядки одинаковы), а число нулей цифрового фильтра может быть больше числа нулей аналогового фильтра.

4) Соотношение между аналоговыми и цифровыми частотами нелинейное, что необходимо учитывать при формулировании требований к аналоговому прототипу. Полагая С=0, из соотношения (6.7.18) найдем

2 ω T

Ω= T tg 2

ω= 2 arctg Ω T T 2

- аналоговые частоты,

(6.6.22)

-цифровые частоты.

(6.6.23)

Процедура синтеза передаточной функции БИХ - фильтра методом билинейного Z – преобразования.

•Задать требования к цифровому фильтру, включая метод аппроксимации частотной характеристики.

•сформулировать требования к аналоговому фильтру-

прототипу, при этом цифровые граничные частоты ωæ

пересчитываются в аналоговые частоты с использованием выражения (6.7.22).

•Требования к отклонению от 1 в полосе прозрачности и от 0

вполосе заграждения остаются те же, что и к цифровым фильтрам.

•В соответствии с заданным типом аппроксимации частотной характеристики цифрового фильтра определяются нули и полюсы передаточной функции аналогового фильтрапрототипа. Эти нули и полюсы пересчитываются с помощью выражения (6.7.20) из р области в z область.

•По комплексно-сопряженным нулям и полюсам построить биквадратные звенья цифрового фильтра

Ti (z) =

(1− z

0i

z−1 ) (1− z

z−1 )

1+ b

z−1 + b

z−2

0i

=

1i

2i

.

(6.6.24)

(1− z

i

z−1 ) (1− z

z−1 )

1+ a

z−1 + a

2i

z−2

i

1i

• По полученным выражениям записать переходную

характеристику всего фильтра

- 72 -

M 1+ b		z	−1 + b		z−2
Ti (z) = b0 ∏	1i			2i			.	(6.6.25)
	1+ a1i	z	−1	+ a2i	z	−2
i=1

Следует отметить, что при билинейном преобразовании нет необходимости заботиться о синтезе оптимального фильтра, поскольку сохраняется оптимальность аналогового фильтра прототипа. Если вместо нулей и полюсов задана передаточная характеристика аналогового фильтра – прототипа Т(р), то для прехода к цифровому фильтру в этой передаточной характеристике следует заменить оператор р в соответствии с билинейным преобразованием

2 1 − z −1 p = T 1 + z −1 .

6.6.4. Типовые структуры БИХ-фильтров.

При проектировании рекурсивных фильтров используются прямые, каскадные, параллельные и комбинированные структуры построения.

1). Прямые структуры построения БИХ – фильтров.

1.1. Неканоническая структура Разностное уравнение рекурсивной цепи (БИХ - фильтра) имеет

вид:

N −1	M −1		.
y(n) = ∑bn x(n − m) + ∑am		y(n − m)		(6.6.26)
m=0	m=1

От разностного уравнения легко перейти к структуре БИХ –

фильтра (рис.6.6.5).
x(n)	z −1	z −1
z −1
b0	b1	bN −1

y(n)

aM −1

a2

a1

z −1z −1z −1

Рис.6.6.5. Неканоническая структура построения БИХ – фильтров.

- 73 -

Доказано, что такая структура обладает небольшими шумами на выходе (шумы циркулируют только в правой части схемы, определяющей уровень шумов). Однако в приведённой структурной схеме используется слишком много элементов задержки.

Можно объединить элементы задержки двух частей схемы, изображенной на рис.6.6.5. Тогда получим каноническую структуру построения БИХ – фильтров.

1.2. Каноническая структура.

Структура называется канонической, если количество элементов задержки равно порядку фильтра.

Запишем передаточную характеристику рекурсивной цепи

N −1

∑ bn z −n

T (z ) =		n=0			.	(6.6.27)
		M −1		z −m
	1 − ∑ a		m
		m=1

Перепишем (6.6.7) в виде:

	1				N −1		−n
T (z) =				∑bn		z
	M −1
		−m		n=0
1 − ∑ am z
	m=1

или

T(z)= T (z) T (z)

,

где

T1

(z) =

1

1

,

2

N −1

−n

,

M −1

z−m

T2 (z) = ∑bn z

1 − ∑a

m

n=0

m=1

а их разностные уравнения имеют вид:

M −1

y1 (n) = x(n) − ∑am y(n − m)

m=1

N −1

и

y(n) = ∑bm y1 (n − m) соответственно.

m=0

(6.6.28)

(6.6.29)

(6.6.30)

Построим структурные схемы цепей, описываемых уравнениями (6.6.29) и (6.6.30), которые приведены на рис.6.6.6.

x	y )
a1	z −1
	z −1
aM −2
a	z −1

y1 (n)	y(n )
z	b0
	−1
	b1

z −1

bN −2

z −1 b

- 74 -

Рис.6.6.6.Структурные схемы цепей, описываемых разностными уравнениями (6.6.29) и (6.6.30).

Объединение двух этих схем позволяет объединить элементы задержки и перейти к канонической структуре построения БИХ – фильтров.

Выбираем наибольшее число звеньев из {M −1, N −1}, тогда

при совмещении правой и левой части рис.6.6.6 получим структуру, изображенную на рис.6.6.7.

x(n )	b0	y(n )

a1	z −1
	b
	1
a2	z −1
	b2
aN −1	bN −1
aM −1	z −1

Рис.6.6.7. Каноническая структура построения рекурсивного фильтра.

2). Каскадная структура

Каскадная структура построения БИХ – фильтров используется при реализации фильтров, синтезированных методом билинейного Z – преобразования.

Так как передаточная характеристика таких фильтров представляется в виде:

M
T (z) = ∏Ti (n) ,	(6.6.31)

i=1

то структура фильтра имеет вид, изображенный на рис.6.6.8.

x(n)

T1 (z)

T2 (z)

TM (z)

y(n)

Рис.6.6.8. Каскадная структура построения БИХ – фильтров. Каждое звено этой структуры имеет порядок 1 или 2.

- 75 -

Для уменьшения шума на выходе такой цепи нули и полюсы объединяются в биквадратные звенья по принципу близости их добротности, а звенья располагаются в порядке возрастания добротности каждого звена.

3). Параллельные структуры.

Эти структуры получаются при разложении передаточной функции на сумму простейших дробей, т.е.

2M

Ai

M

T (z) = ∑

= ∑Ti (n),

(6.6.32)

1−αi z

−1

i=1

i=1

где T (z) =

A

A

b

+ b

z−1

i

+

i

=

0i

1i

,

1 −α

i

z−1

1−α

z−1

1 + a

z−1 + a

2i

z−2

i

1i

αi - i-ый полюс передаточной функции.

Вэтом случае структурная схема рекурсивного фильтра принимает вид, приведенный на рис.6.6.9.

T1 (z)

x(n) T1 (z) y(n)

TM (z)

Рис.6.6.9. Параллельная структура построения рекурсивного фильтра.