lektsii_TsOS_gruppa_RK_01 (1)

- 61 -

N −1

z −n

z =1=1,

(1.5.35)

A

∑

1

n=0

откуда получим A =

.

N

Найдем комплексную передаточную характеристику

однородного фильтра

1

N −1

1

ˆ

ˆ

ˆ

1 − e− j ω N

T (e j ω )=

∑e− j ω n

=

.

(1.5.36)

N

N

1 − e−

j ωˆ

n=0

После несложных математических преобразований

окончательно получим

ˆ

1

sin

ω N

ˆ

T (e

jωˆ

) =

2

e

− j

ω

(N −1)

2

,

(1.5.37)

N

sin

ωˆ

ˆ

2

где

sin

ω N

называется функцией Дирихле и обозначается

2

sin

ωˆ

2

Sinc (ω).

Очевидно, что на интервале 0 - π функция sin ωˆ N принимает
значение ноль многократно, а sin ωˆ		2
		только при значении ноль.
	2	Модуль выражения (1.5.37) или
T e j ωˆ	)
(
	амплитудно-частотная
	характеристика однородного фильтра
	будет определяться соотношением

ϕ (ωˆ )

π

ωˆ

ωˆ

ˆ

1

sin

ω N

T (ω) =

T (e

jωˆ

)

=

, (1.5.38)

2

N

sin

ωˆ

2

а аргумент или фазочастотная характеристика однородного фильтра примет вид

однородногофильтра.		−	ωˆ		(N −1),	sin c(ω) 0
			2
Рис.6Частотные.5.5характеристики.	ϕ(ωˆ )=	ωˆ		(N −1)± π ,		sin c(ω) 0	.(1.5.39)
	−
		2

Наклон фазочастотной характеристики везде одинаков. Общий подъем ФЧХ определяется расстоянием между нулями, набег фазы

- 62 -

между которыми немного меньше π. Частоты, на которых имеют место скачки фазы, определяются из уравнения

		ˆ	N
		ωk
				= k π , k = 0,1,2,..., K −1,		(1.5.40)
	2
				ˆ	N 2) на интервале 0 -
						π.
	где K – число нулей функции Sin(ωk

6.6.Синтез цифровых фильтров.

6.6.1.Синтез передаточной характеристики КИХ-

фильтров методом окон.

Не нарушая общности, все рассуждения и доказательства проведем на примере синтеза фильтра нижних частот, идеальная амплитудно-частотная характеристика которого приведена на рис.6.6.1,а.

ˆ		Tp (ω)
T (ω)
1		1
		0,5
		ωˆ
		ωˆ
`	ˆ	ˆ
	ω æ	ω æ

а) б)

Рис.6.6.1. Амплитудно-частотные характеристики фильтра нижних частот

(а – идеальная, б - реальная).

Эту амплитудно-частотную характеристику аналитически запишем как

1 ,		0 ≤ ω ≤ ω			,
T (ω) =	0			гр		(6.6.1)
		, ω > ωгр .
Комплексную	передаточную характеристику					идеального
фильтра можно записать в виде ряда Фурье
	T (e j ω )= ∑∞		gи (n) e− j ω n ,			(6.6.2)
		n=∞

где gи (n) - импульсная характеристика идеального фильтра.

Такая комплексная передаточная функция нереализуема, хотя в соответствии с теорией рядов Фурье можно получить любой отсчет импульсной характеристики такого фильтра

		1	2 π	ˆ		ˆ	ˆ
	(n) =		∫T (e	j ω	) e	j ω n
gи							dω .	(6.6.3)
		2 π
			0

В реальных системах импульсная характеристика ограничена. Поэтому произведём усечение импульсной характеристики и

- 63 -

ограничим её N членами, т.е. снизим порядок фильтра до N-1 = R. Тогда усеченный (не идеальный) фильтр будет описываться комплексной передаточной функцией

Tp (e jω )= ∑R		g(n) e− jωn ,		(6.6.4)
	n=0
где g(n) = gи (n) ,	0 ≤ n ≤ N −1,
0, n 0	и n N −1.
		R
Тогда	Tp (e j ω )= ∑ gи (n) e− j ω n		,	(6.6.5)

n=0

модуль которой будет иметь вид, изображенный на рис.6.6.1,б. Пульсации на краю полосы пропускания (прозрачности) имеют

величину 9 %. Величина пика не зависит от N. Эти пульсации в пределах полосы пропускания носят название явления Гиббса.

При усечении ряда Фурье:

•на частоте среза ωˆæ (точка разрыва первого рода) величина

АЧХ равна 0,5;

•в полосе пропускания и в полосе задерживания появляются

колебания, причем величина выбросов на границе разрыва не зависит от величины N и составляет 9% от максимума АЧХ.

Таким образом, используя усечённую импульсную характеристику можно построить фильтр низкой частоты, однако, во многих практических применениях явление Гиббса недопустимо и необходимо с ним бороться. Для борьбы с этим явлением используются специальные весовые функции, называемые окнами.

Ограниченная на интервале 0 ≤ n ≤ R и равная 0 вне этого интервала неотрицательная весовая функция w(n ) называется окном

и

w(n) = w(n) , 0 ≤ n ≤ R,	(6.6.6)
0 , n < 0 , n > R.

Импульсная характеристика реального КИХ-фильтра g(n) получается умножением идеальной импульсной характеристики на окно (рис.6.6.2), т.е.

g p (n) = gи (n) w(n) .	(6.6.7)
Тогда реальная комплексная передаточная функция
R
Tp (e j ω )= ∑ gи (n) w(n) e− j ω n .	(6.6.8)

n=0

- 64 -

gи (n)

0 R w(n )

gp (n) 0 R

w(n )

0 R

Рис.6.6.2.

Известно большое количество таких окон: прямоугольные, описываемые функцией Гаусса,

nГиббса, Хэмминга, функцией косинуса и т. Д. Но до сих пор нет теории, которая позволяла бы выбрать оптимальное окно. Поэтому синтез фильтра

производится путём перебора этих функций.

n	Выводы:
	1. Метод окон не позволяет установить заранее
	граничную частоту полосы задерживания, а частоту

nсреза ЧХ определяет неточно.

2.Процедура синтеза является итеративной: величина R подбирается методом последовательного приближения для каждого окна

вотдельности, пока не удовлетворятся требования,

предъявляемые к фильтру.

Типичная функция окна приведена на рис.6.6.3,а. На

рис.6.6.3,б комплексная частотная характеристика окна W (e j ωˆ ) .

w(n)	ˆ	главный лепесток
	W (e j ω )
		боковые лепестки
а)	б)

n	ˆ	ω
	k ωæ	Рис.6.6.3.
	N

Функция окна (а) и его дискретное преобразование Фурье (б). Функции W (e j ωˆ ) принимает значение 0 на частотах

					ˆ		ˆ
						=	k ωæ	i, i = 1,2,..., K ,
					ωi				(6.6.9)
			π	N			N
	где	K =			, k – зависит от конкретного окна, чем более гладкое
				ˆ
			k ωæ

окно, тем больше k и шире главный лепесток функции W (e j ωˆ ) , а

следовательно, шире переходная полоса синтезируемого фильтра, т.е.

именно главный лепесток функции W (e j ωˆ ) определяет ширину

переходной полосы.

Следует отметить, что метод окон не позволяет установить заранее граничную частоту полосы задерживания, а частоты среза

ωˆæ определяются весьма неточно.

- 65 -

Процедура синтеза фильтра является итеративной: значения N подбираются в процессе последовательных приближений для каждого окно отдельно до удовлетворения заданным требованиям.

Пример

Определить передаточную функцию ФНЧ с линейной ФЧХ, т.е.

ϕ(ωˆ ) = − L2ωˆ .

Комплексная передаточная функция такой цепи имеет вид:

								ˆ
			ˆ		ˆ	e	− j	L ω
	T (e j ω )=			T (e j ω )			2 ,
	T (e j ωˆ )		1 , 0 ≤ ωˆ ≤ ωˆ æ ,
где		=
		0 , ωˆ			< 0 , ωˆ		> ωˆ æ .

Тогда импульсная характеристика

1

2 π

ˆ

ˆ

gи

( )=

(

j ω )

e

j ω n

ˆ

n

2

π

T e

dω

∫0

1

2 π

ˆ

L

j ω n−

ˆ

gи (т)

=

e

2

или

2 π

∫0

dω

.

Очевидно, что частота лежит в интервале от 0 до частоты среза, поэтому уравнение импульсной характеристики можно переписать в другом виде:

	g(n) =	1		1
		2		2 π

ωˆæ

∫e

−ωˆæ

j ωˆ n− L

dωˆ .2

Взяв интеграл после несложных преобразований окончательно получим выражение для идеальной импульсной характеристики фильтра нижних частот:

sin[ωˆæ

L

ωˆ

n

−

]

2

gи

(n) =

æ

.

2

π

ωˆæ

L

n −

2

Так как цепь с такой импульсной характеристикой реализовать нельзя ( gи (n) бесконечна), то ее ограничивают длиной R. Это

эквивалентно умножению gи (n) на прямоугольное окно wR (n) длиной

R. Тогда импульсная характеристика реально цепи примет вид:

n − R2

- 66 -

g	p	(n) = g		и		(n) w (n) =			ωˆæ
								R	2 π
где		n = −	R			, (−	R	+1),...,0,1,..., R
		2				2

sin[ωˆæ		R
	n −		]
		2
				,

ωˆæ

.

Несмотря на свою простоту метод окон имеет ряд недостатков:

–неточно определяется частота среза;

–частота переходной полосы зависит от вида окна;

–порядок получаемого фильтра не минимален;

–не для всех окон возможно точное вычисление их частотной характеристики;

–значение отсчётов для некоторых окон считается по

приближённым формулам.

–

6.6.2. Конструирование передаточных функций КИХфильтров с оптимальной АЧХ.

В связи с тем, что метод окон обладает рядом существенных недостатков, указанных в предыдущем разделе, требуются новые методы и алгоритмы для синтеза КИХ - фильтров.

Одним из таких методов является метод синтеза КИХ - фильтров с оптимальной АЧХ. В этом случае требования к передаточной функции должны выполняться при минимальном порядке фильтра. Эти требования к АЧХ и в целом к фильтру задаются некоторой системой уравнений.

Рассмотрим этот метод на примере синтеза фильтра I-го типа (импульсная характеристика симметрична, ее длина нечетная, а порядок четный).

Запишем передаточную характеристику этого фильтра:

ˆ

R

T1(e

jωˆ

e

− j

ω R

2

bk

ˆ

R

k)]

)

=

2

∑2

(

−

или

Cos[ω

2

k

( j ω )= (

ˆ ) j ϕ(ω)

T e

ˆ

D ω

e

ˆ

(6.6.10)

,

ˆ

R 2

ˆ

R

∑2 bk

− k)]

– амплитудная характеристика

где D(ω) =

Cos[ω (

2

k =0

фильтра, причём амплитудно-частотная характеристика

ˆ

ˆ

ˆ

ПП,

D(ω),

ω

T (ω)

=

ˆ

ˆ

*

(6.6.11)

D(ω)

,

ω ПЗ.

*) ПП – полоса пропускания, ПЗ – полоса заграждения.

- 67 -

Для полосы пропускания D(ωˆ ) всегда больше нуля, для полосы

заграждения D(ωˆ ) может быть, как больше, так и меньше нуля.

Введём некоторую функцию:

R

	ˆ			ˆ	R
	2
	D1 (ω) = ∑2 bk			cosω k −			,	(6.6.12)
					2
	k =0

где bk – отсчёты импульсной характеристики.

Для простоты заменим:

R

2 bk

= dk ,

ˆ

R

k

ˆ

,

cosϕk

ω

= βk ,

, тогда

ω k −

(ω)

= M

= ϕ

( ˆ )

2

2

M

ˆ

βk

(6.6.13)

D1 (ω) = ∑dk

k =0

Постановка задачи на примере фильтра нижних частот.

Найти функцию D1 (ωˆ ), а затем АЧХ T(ωˆ ) при минимальном

порядке М при условиях, иллюстрируемых на рис.6.6.4 для фильтра нижних частот( Ω1 и Ω2 - интервалы аппроксимации.

Tp (e j ωˆ )

δ1 = α δ

	δ2 = δ	ωˆ
Ω1	Ω2
Рис.6Требуемая.6.4АЧХ.синтезируемогофильтра

Таким образом постановка задачи примет вид:

1	ˆ			ˆ	,
	− δ1 ≤ T (ω) ≤ 1 + δ1,			ω Ω1
0	ˆ	,	ˆ
	≤ T (ω) ≤ δ2		ω Ω2 ,
M − min,						(6.6.14)
dk − ?.

В такой постановке задача не решается. Необходимо переформулировать ее так, чтобы М было задано. В этом случае прибегают к итерациям, с помощью которых добиваются удовлетворения требований к фильтрам.

Переформулируем задачу.

- 68 -
При фиксированном значении М найти массив коэффициентов
{dk }, при которых выполняются следующие условия:
1 −α δ ≤ D(ωˆ ) ≤ 1 + α δ , ωˆ Ω1 ,
− δ ≤ D(ωˆ ) ≤ δ , ωˆ Ω2 ,	(6.6.15)

δ

2= δ .

δ2

αпоказывает соотношение между отклонениями от единицы в1

полосе пропускания и отклонениями от нуля в полосе заграждения. Задача (6.6.15) является одним из шагов решения задачи

(6.6.14). При условии, что известен способ её решения, она сводится к многократному повторению задачи (6.6.15).

Алгоритм решения:

1). Задаётся M,

2). Решается задача (6.6.15).

3). Если найденные коэффициенты удовлетворяют требованиям АЧХ фильтра, то задается М1 < М , если требования не выполняются,

то задается М2 > М и далее повторяется пункт 2, и так до полного

удовлетворения требований.

Рассматриваемая задача относится к классу минимаксных задач, а критерий приближения таких задач – равномерный. (метод скорейшего спуска или метод Лагранжа или метод наименьших квадратов).

Таким образом данная задача является задачей аппроксимации

функции D(ωˆ ) единицей в полосе прозрачности и нулем в полосе

задержания. Аппроксимируемую функцию ξ(ωˆ ) можно записать в

виде:

( ˆ ) =	1,	ω			1
ξ ω		ˆ	Ω
		ˆ	Ω		.	(6.6.16)
	0,	ω		2

Тогда задача формулируется следующим образом: найти

функцию D(ωˆ ) минимального порядка, при котором максимум

взвешенной ошибки аппроксимации был бы минимален, т.е.:

P(ωˆ ){ξ (ωˆ )− D(ωˆ , dk )}= min . (6.6.17)

Весовая функция P (ωˆ ) принимает значения:

P (ωˆ ) = 1 , ωˆ Ω1,

P (ωˆ ) = 21 , ωˆ Ω2 . Часто принимают P(ωˆ ) = 1.

Теорема Чебышева:

Для того, чтобы тригонометрический полином D(ωˆ ) был полиномом равномерного приближения к непрерывной функции ξ (ωˆ )

- 69 -

на всём интервале аппроксимации, т.е. на интервалах Ω1 и Ω2 ,

необходимо и достаточно, чтобы максимум модуля взвешенной ошибки достигался не менее, чем в m = M + 2 точках ωˆ1 ,ωˆ2 , …,ωˆM +2 ,

в которых знаки ошибок	( ˆ	)	на соседних частотах	были бы
	δ ωi
противоположны, т.е. δ(ωˆi ) = −δ(ωˆi+1 ). Частоты ωi , на				которых

достигаются эти значения называются частотами альтернанса.

Следствия из теоремы Чебышева:

1.Существует единственный полином D(ωˆ ) наилучшего

приближения порядка М, который обеспечивает минимум максимальной ошибки приближения.

2. Существует единственный полином	( ˆ )	наилучшего
	D ω

приближения при заданном δ . Этот полином имеет минимальный

порядок.

3.Взвешенная ошибка имеет равноволновый характер.

4.Количество частот альтернанса на единицу больше числа варьируемых параметров.

6.6.3.Синтез БИХ-фильтров методом билинейного z-

преобразования.

Т.к. КИХ-фильтры имеют всегда большие порядки, то при нежёстких требованиях к ФЧХ используются БИХ-фильтры. Существует две группы методов синтеза фильтров:

–аналитический,

–по аналоговым прототипам, когда по требованиям, заданным к цифровому фильтру, рассчитывается соответствующий ему аналоговый фильтр (прототип), а затем осуществляется переход из р -области в z – область.

Аналитические методы используются редко.

Рассмотрим вторую группу методов. Здесь известны два метода:

-метод инвариантности импульсной характеристики прототипа (не гарантирует получения нужной АЧХ),

-билинейного Z – преобразования (не гарантирует сохранения импульсной характеристики).

Вэтом случае требования, предъявляемые к цифровым фильтрам, переносятся на аналоговый фильтр, а затем с помощью перехода из «р» области в «z» область синтезируется цифровой фильтр. Наибольшее распространение получил метод билинейного z- преобразования.

Прямое Z – преобразование, используемое при методе инвариантности импульсной характеристики, искажает частотную характеристику в силу периодичности Z - преобразования.

- 70 -

Билинейное Z – преобразование обеспечивает однозначное отображение р – плоскости в Z – плоскость.

Переменная р связана с z:

		2 1					− z −1
		p = T							.		(6.6.18)
					1		+ z −1
	2			1			− z −1
Если		= γ , то p = γ								.	(6.6.19)
	T					1	+ z −1
	Решая уравнение (6.6.18) относительно z получим:
		z =	γ	+ p							(6.6.20).
			γ	− p

Если известна передаточная функция аналогового фильтра T (p), то

заменой p по формуле (6.6.18) переходим к передаточной функции T (z ) цифрового фильтра.

T ( p)		p=γ	1−z−1	= T (z).	(6.6.21)
		1+z−1

Свойства билинейного z-преобразования.

1)	Если p = C + jΩ, то ось	j Ω плоскости p однозначно
	отображается в окружность единичного радиуса
	плоскости z. Для	точек, лежащих на оси
	ординат p = j Ω , в плоскости z все эти точки лежат на

единичной окружности.

2)Для точек, лежащих на оси ординат плоскости р(С=0),

z =

γ + j Ω

= A e j B ,

γ − j Ω

Ω

Ω

Ω

2

2

A =

γ

+ Ω

=1, B = arctg

+ arctg

= 2 arctg

,:

γ

2

2

γ

+ Ω

γ

γ

а) при Ω = 0

A = 1

ϕ = 0

,

,

б) при Ω → ±∞

A = 1, ϕ = ±π ,

Левая полуплоскость р отображается внутрь единичного круга Z - области. Правая полуплоскость р отображается вне единичного круга Z – области.

γ + C + j Ω

(γ +C)2 + Ω2

Если C ≠ 0 , то z =

A

. Тогда r =

Z

=

=

.

γ − C − j Ω

(γ −C)2 + Ω2

B