lektsii_TsOS_gruppa_RK_01 (1)

- 21 -

βi

η

αi

ξ

βi×

αi×

Рис.1.2.3. Карта нулей и полюсов ( βi× и αi× - нули и полюса, комплексносопряженные βi и αi соответственно).

В выражении передаточной функции (1.2.18) полиномы числителя и знаменателя можно представить в виде произведений:

M −1

z −i

(1 − β

z −1 ) (1 − β

z −1 )...(1 − β

z −1 )

∑

b

i

= b

2

M −1

0

1

,

i =0

N −1

z −i = (1 − α

z −1 ) (1 − α

z −1 )...(1 − α

z −1 )

1 +

∑

a

i

2

N −1

1

.

i =1

Тогда

M −1

b0 ∏ (1 − βi z −1 )

T (z) =	i =1
	N −1	z −1 )
	∏ (1 − αi		(1.2.21)
	i =1

Зная нули и полюсы, можно записать передаточную функцию.

Поскольку ai и bi вещественные, то корни уравнения числителя и

знаменателя будут либо вещественные, либо комплексносопряжённые. Если корни числителя и знаменателя только комплексно-сопряжённые, то “M–1” и “N–1” – чётные.

Пусть βi,i+1 = γ k ± j δk . Тогда

(1− βi z−1 ) (1− βi+1 z−1 )= (1− γ k z−1 − j δk z−1 ) (1− γ k z−1 + j δk z−1 )=

= (1−γk z−1 )2 +δk 2 z−2 =1− 2 γk z−1 +γk 2 z−2 +δk 2 z−2 =

=1− 2 γk z−1 + (γk 2 −δk 2 ) z−2 .

Аналогично для αi,i +1 = σi ± j ηi .

- 22 -

Тогда передаточная характеристика дискретной цепи примет

вид

M −1

b0

2

(

ʹ

z

−1

ʹʹ

z

−2 )

T (z) =

∏ 1 + bk

+ bk

k =1

N −1

,

(1.2.22)

∏2 (1 + akʹ z −1 + akʹʹ z −2 )

k =1

Где

bʹ = −2 γ

k

,

bʹʹ = γ 2 +δ 2 ,

aʹ

= −2 σ

k

,

aʹʹ = σ 2

+η 2 .

k

k

k

k

k

k

k

k

Для нерекурсивной цепи передаточная функция

в этом случае будет

иметь вид:

M −1

T (z ) = b0

∏2

(1 + biʹ z −1 + biʹʹ z −2 ).

(1.2.23)

i=1

1.2.6.Свойства передаточной функции.

1). Передаточная функция есть z-изображение импульсной

характеристики.

и Y(z) = z{h(n)}.

Пусть x(n) = u0 (n), тогда y(n) = h(n)

Так как Z-изображение u0 (n) равно 1, то

T (z)=

Y (z)

=

Y (z)

= Y (z)= z{h(n)},

т.е. T(z) = z{h(n)}

X (z)

1

и окончательно

h(n) =

1

T (z) z n−1dz.

T (z) = ∑h(n) z −n ,

∞

C∫

.

(1.2.24)

i=0

2 π

j

2. Связь передаточной характеристики с переходной

характеристикой линейной дискретной цепи.

Если

x(n)= u1 (n), то

y(n) - переходная характеристика g(n), а

H (z) = Y (z) - ее изображение.

Так как изображение единичного цифрового скачка

X (z) =

1

, то

1− z −1

Y (z)

−1

T (z)

T (z)

=

= H (z) (1− z

)

и H (z) =

X (z)

1 − z −1

.

Окончательно

1

T (z)

h(n) =

∫

z

n−1

dz ,

(1.2.25)

2 π j

1− z −1

- 23 -

∞

T (z) = (1 − z −1 ) ∑ g(n)z −1 .

(1.2.26)

n=0

3.Устойчивость линейной дискретной цепи.

Система устойчива, если все полюса, описывающие линейную дискретную систему, находятся внутри круга единичного радиуса, то

есть αi < 1.

Если передаточная функция линейной цепи представляет собой правильную дробь, то она может быть представлена в виде суммы простых дробей:

	N −1	Ai
	T (z) = ∑		−1 .	(1.2.27)
		−αi z
	i =1 1

Тогда импульсная характеристика имеет вид:

g n	N −1	αi	)n .	(1.2.28)
	∑ Ai
( ) =		(

i =1

Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является условие:

						∞
					∑			g(n)		< ∞ .	(1.2.29)
						n=0
При		αi			< 1 необходимо и достаточно, чтобы
		N −1			N −1			∞
		∑ Ai αin ≤ ∑ Ai ∑αin .
		i =1			i =1			n=0			(1.2.30)

4. Если нули и полюсы взаимно обратные: αi βi = 1, то система,

которая описывается этими нулями и полюсами является всепропускающей системой, то есть АЧХ её постоянна. Такая система называется фазовой цепью.

Пример

	T (z) =	a − z −1	β =	1	, α = a, α β =1.
		1− a z −1		a

5. По передаточной функции можно определить разностное уравнение и построить структурную схему цепи.

	M −1
T (z) =	∑bi z −i		Y (z)
	i=0	=			,
	N −1		X (z)
	1 + ∑ai z −i
	i=1

	- 24 -
M −1	N −1
X (z) ∑bi z −i = Y (z)+ Y (z) ∑ai z −i ,
i=0	i=1
M −1	N −1
Y (z) = ∑bi z−i X (z)− ∑ai z−i Y (z).
i=0	i=1	(1.2.31)
Учитывая, что	z −1{Y (z )} = y(n) и	z −1{X (z )} = x(n)

возьмём обратное Z – преобразование от правой и левой части уравнения (1.2.31). Тогда с учётом свойства линейности и задержки получим:

			m−1		N −1
			y(n) = ∑bi x(n − i) − ∑ai y(n − i).				(1.2.32)
			i=0		i=1
	Пример
	По заданной передаточной характеристике
	T (z ) =		1 + 0,5 z −1	=	Y (z )	найти реакцию y(п)
		1 + 0,2 z −1 + 0,06 z −2			X (z )

на воздействие x(n) .

Y (z )+0,2 z −1 Y (z )+0,06 z −2 Y (z ) = X (z )+0,5 z −1 X (z ), Y (z ) = X (z ) +0,5 z −1 X (z ) −0,2 z −1 Y (z ) −0,06 z −2 Y (z ).

Взяв обратное z-преобразование от обеих частей, получим

y(n ) = x(n ) +0,5 x(n −1) −0,2 y(n −1) −0,06 y(n − 2).

Структурная схема цепи примет вид

	0,5
x(n)	Z −1
	y(n)
-0,06	-0,2

Z −1

Z −1

1.2.7. Частотные характеристики линейных дискретных систем.

Передаточная функция линейной дискретной системы иногда называется системной функцией, так как она описывает все свойства системы, включая её частотные свойства.

-25 -

Влинейных аналоговых цепях частотная характеристика

получается из передаточной характеристики в операторном виде путём замены p на jω.

В линейной дискретной системе частотные характеристики

получаются путём замены z → e j ω T .

Рассмотрим реакцию цепи на цифровой гармонический сигнал

x(n) = A(ω) e j ω n T ,

перейдя к нормированной ωˆ , получим x(n) = A(ωˆ ) e j ωˆ n

Воспользуемся выражением для свёртки:

∞ ∞

y(n) = ∑ x(m) h(n − m) = ∑h(m) x(n − m).

m=0

m=0

Подставим вместо x(m) входное воздействие в виде цифрового гармонического сигнала:

∞

ˆ

ˆ

∞

ˆ

ˆ

ˆ

j ω (n−m)

=

j ω n

e

− j ω m

=

y(n)= ∑h(m) A(ω) e

∑h(m) A(ω) e

m=0

m=0

ˆ

ˆ

∞

ˆ

∞

ˆ

= T (e

ˆ

).

j ω n

− j ω m

;

− j ω n

ˆ

j ω

= A(ω) e

∑h(m) e

∑h(m) e

= T (z)

z=e j ω

m=0

m=0

ˆ

ˆ

ˆ

(1.2.33)

T (e jω ) =

T (e j ω )

e j ϕT (ω) .

где

T (e

j ωˆ

)

– модуль T z

при z

e

j ω

)

=

,

(

ϕT (ωˆ ) – аргумент функции T (e jωˆ ).

y(n ) = A(ωˆ )

T (e j ωˆ )

e j ωˆ n e j ϕT (ωˆ )

y

( )

ˆ

ˆ

T(e

)

j ϕ

ωˆ

B(ω)= A(ω)

ˆ

y(n) = B(ωˆ ) e

,

j ω

.

Амплитудно-частотная характеристика линейной дискретной

цепи будет определятся следующим выражением:

ˆ

B(ω)

T (e j ω )

=

ˆ

.

(1.2.34)

ˆ

A(ω)

ϕy (ωˆ ) = ωˆ n + ϕT (ωˆ ),

откуда фазочастотная характеристика линейной дискретной цепи

ˆ	ˆ ˆ	(1.2.35)
ϕT (ω) = ϕy	(ω)−ω n.

Выводы:

1. Реакция линейной дискретной цепи на комплексный гармонический сигнал в установившемся режиме

- 26 -

является произведением этого сигнала на передаточную

функцию, при z = e j ωˆ .

T (e j ωˆ )= T (e j ωˆ ) e j ϕT (ωˆ ) – комплексная частотная характеристика или

просто частотная характеристика линейной цепи

2.Частотная зависимость отношения действительной амплитуды реакции цепи к действительной амплитуде воздействия в установившемся режиме называется АЧХ или амплитудно-частотной характеристикой.

3.Начальная фаза реакции цепи равна сумме начальной фазы воздействия цепи и аргумента комплексной частотной характеристики.

4.Разность начальных фаз реакции цепи и воздействия носит название ФЧХ или фазо-частотной характеристикой.

τ(ωˆ ) = − ∂ϕT (ωˆ ) – групповое время запаздывания цепи.

∂ωˆ

5. Частотные характеристики ЛДЦ являются:

–непрерывными функциями частоты,

–периодическими функциями частоты ω с периодом, равным

частоте дискретизации ωд				= 2 π , так как тот же период имеет
функция					Т
e j ωˆ n = e j ω n T = e j 2 π f n T .
Поскольку T (e j ωˆ	)= Re+ j Im, то
ϕT (ω) = arctg		Im	− ФЧХ ,		T (e j ωˆ )
							= Re2 + Im2 − АЧХ .
		Re

АЧХ T (e j ωˆ ) представляет собой чётную функцию частоты, а ФЧХ ϕT (ωˆ ) – нечётную функцию частоты.

1.3. Спектры аналоговых и дискретных сигналов.

Для описания аналоговых и дискретных сигналов в частотной области используется аппарат преобразования Фурье, позволяющий получит спектральную плотность сигналов. Спектральная плотность описывает сигнал в частотной области. Спектральная плотность и сигнал связаны между собой парой преобразований Фурье.

Спектральной плотностью	X	(	j		ω	) аналогового		сигнала	x t
									( )
называют прямое преобразование Фурье
∞
X ( jω) = ∫ x(t) e− j ω t dt							.	(1.3.1)

−∞

- 27 -

Исходный сигнал можно определить по его спектральной плотности с помощью обратного преобразования Фурье:

		1		∞
	x(t) =			∫ X ( jω) e j ω t dω .	(1.3.2)
	2 π			−∞
	6.3.1. Спектры дискретных сигналов
	Рассмотрим дискретный			сигнал в виде	бесконечной

последовательности x(nT ). Очевидно, что взять преобразование Фурье от этого сигнала невозможно, т.к. площади отсчётов x(nT ) = 0 ,

поэтому введём новую функцию

∞
y(t ) = ∑x(nT ) δ (t − nT ) .	(1.3.3)

n =0

Площади отсчетов сигнала, описываемого функцией (6.3.3), конечны и от новой функции можно получить преобразование Фурье. При этом спектральная плотность нового сигнала подобна

спектральной плотности сигнала x(nT ) .

∞ ∞			∞	∞
X (j ω) = ∫ ∑ x(nT ) δ (t − nT ) e − j ω tdt = ∑ x(nT ) ∫δ (t − nT ) e − j ω tdt =
n =0	∞		n =0
0X ( jω) = ∑ x(nT ) e− j ω n T = X (e j ω T ).				0	(1.3.4)
	n=0
X ( jω) = X (e j ω T )= ∑∞		x(nT ) e− j ω n T	– прямое		преобразование
	n=0

Фурье дискретного сигнала.

X (e j ω T ) – спектр дискретного сигнала.

Спектром X (e j ω t ) дискретного сигнала x(t ) называют прямое преобразование Фурье дискретной последовательности x(nT ), где n = 0, 1, 2… Спектр дискретного сигнала получается из его

изображения, при z = e j ω T , поэтому все свойства	Z-
преобразования применимы к преобразованию Фурье.

1.3.2. Обратное преобразование Фурье дискретного сигнала

X (e j ω T )= ∑∞	x(nT ) e − j ω n T	(1.3.5)
n =0

Умножим правую и левую часть уравнения (1.3.5) на e j ω m T :

- 28 -

∞

X (e j ω T ) e j ω m T = ∑ x(nT ) e− j ω (n−m )T .

n=0

π

π

Проинтегрируем полученное выражение в пределах от −

до

по

Т

Т

ω:

π

π

T

T

∞

∫ X (e j ω T ) e j ω m T dω = ∫

∑ x (nT ) e − j ω (n −m ) T dω

−

π

−

π

n =0

T

T

Рассмотрим правую часть последнего уравнения. Её можно разделить на два слагаемых: одно – при n=m, другое – при n ≠ m:

	π				π
T				∞	T
	∫			∑ x(nT ) e − j ω (n −m ) T dω = ∫ x(nT )dω
−		π		n =0	−		π (n = m)
		T					T

Второе слагаемое правой части n ≠ m

		π
	T		∞
+			− j ω (n −m ) T				dω
		∫	∑e n	≠	m	)
			(

πn =0

−T

π

π

− j (n −m) T ω

T ∞

∞ T

∞

e

∫ ∑e − j ω (n −m) T

dω = ∑ ∫e − j

ω (n −m) T dω = ∑

− j (n −m) T

π n =0

π

n =0

π

π

n =0

− j (n −m )T

j (n −m )T

− j (n −m )π

j (n −m )π

−

∞

e

T

− e

−

T

∞

− e

=T

∑

T

= ∑ e

− j (n − m) T

− j (n − m) T

n =0

n =0

∞

− (e j (n−m) π − e− j (n−m) π )

∞

2 sin[(n − m) π]

= 0.

= ∑

=

∑

− j (n − m) T

(n − m) T

n=0

n=0

π

T

=

π

−T

=

Так как п ≠ т, то: в числителе синус от целого числа π равен 0,

знаменатель не равен 0. Поэтому всё это выражение обращается в 0. Первое слагаемое правой части при n = m

- 29 -

π

π

T

2 π

T

x(mT ) , то есть

∫ x(mT )dω = x(mT ) ω

=

−

π

−

π

T

T

T

π

T∫ X (e j ω T ) e j ω m T dω =

2 π

x(mT ) .

−

π

T

T

Окончательно получим обратное дискретное преобразование Фурье

			π
	T		T
x(mT ) =		∫ X (e j ω t ) e j ω n T dω .
	2 π				(1.3.6)

−πT

6.3.3.Свойства преобразования Фурье дискретного сигнала

1.Спектр периодичен

∞
X (e j ω t ) = ∑ x(nT ) e− j ω n T .	(1.3.7)
n=0

Из (6.3.7) следует, что спектр дискретной последовательности является периодической функцией частоты ω с периодом, равным

частоте дискретизации ωд = 2Tπ .

X (e j ω T )= X e

		2 π
j	ω +		k	T
		T
					,	(1.3.8)

								2 π
		e− j ω T = 1 e− j ω T = e j 2 π k e− j ω T			= e	− j ω−				k T
так как								T		= e− j(ω−ωд k ) T ,
где k – целое число.
Периодическими по частоте с периодом ωд						являются модуль спектра
	X (e j ω T )		и фаза – аргумент	arg X (e			j ω T		)
										. Кроме того, для
вещественных последовательностей				x(nT )	, как следует из (1.3.8),

- 30 -

X (e j ω T ) = X (e − j ω T ) ,

arg X (e j ω T )= −arg X (e − j ω T ),

т.е. модуль спектра вещественной последовательности является чётной функцией, а аргумент – нечётной функцией частоты.

2. Свойство линейности

Дискретной	последовательности	x(nT ) = a x1(n)+ b x2 (n)
соответствует спектр
	X (e jωT )= a X1(e jωT )+ b X2 (e jωT ).		(1.3.9)
3. Свойство задержки

Пусть y(nT) = x[(n − m) T]. Тогда спектр дискретного сигнала

y(nT)

Y (e j ω T )= X (e j ω T ) e− j ω T m ,

где X (e j ω T ) - спектр сигнала x(n).

Таким образом задержка дискретного сигнала на m тактов во

временной области приводит к умножению на множитель e− j ω T m в

частотной области.

4. Сдвиг на частоту ω0

Пусть задана дискретная последовательность x(n ), которой соответствует спектр X (e j ω T ). Найти y(n ), которой соответствует

спектр X (e j (ω−ω0 ) T ).

С одной стороны

		j ω T		j (ω−ω	) T	∞			− j (ω−ω	) n T
	Y (e		) = X (e			)= ∑ x(n) e
				0					0	или
						n=0
			∞			j ω0 n T
	Y (e	j ω T	) = ∑ x(n) e				e	− j ω n T		(1.3.10)
									.
	С другой стороны		n=0
			∞
	Y (e j ω n T )= ∑ y(n) e− j ω n T .									(1.3.11)
			n=0
	Сравнивая (6.3.10) и (6.3.11), получаем:
		y(n) = x(n) e j ω0 n T .								(1.3.12)

То есть сдвиг в частотной области на ω0 приводит к умножению на e j ω0 n T во временной области.