Задание 1

По данной производственной функции найти средние и предельные производительности каждого ресурса, частные эластичности выпуска по каждому ресурсу, эластичность производства и предельную технологическую норму замены.

Решение:

Средние производительности:

,

.

Предельные производительности равны:

, .

Частные эластичности равны:

,

.

Эластичность производства: .

Технологическая норма замены есть:

.

Задание 2

Некоторое предприятие затрачивает а₁= 3 тыс. тонн ресурса иb₁= 30 тыс. часов труда для выпуска с₁= 68 тыс. единиц продукции. В результате расширения производства оказалось, что при затратах а₂ = 3.5 тыс. тонн ресурса выпуск возрос до с₂= 70 тыс. единиц продукции, а при увеличении трудоемкости доb­₂= 32 тыс. часов, выпуск возрос до с₃=72тыс. единиц продукции. Найти линейную производственную функцию и производственную функцию Кобба-Дугласа.

Решение:

Запишем для удобства исходные данные в виде таблицы:

x1	3	3.5	–
x2	30	–	32
y	68	70	72

Линейная функция .

Найдем параметры функции:

, .

Получаем .

Для нахождения bиспользуем первый столбец таблицы:

, откуда .

В результате линейная производственная функция имеет вид:

.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

.

Коэффициенты уравнения:

, .

Получаем .

Для нахождения bиспользуем первый столбец таблицы:

, откуда .

В результате производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

.

Задание 3

Целевая функция потребления имеет вид . Цена на первое благо равна , а на второе благо. Доход составляет D = 450. Найти:

а) оптимальный набор благ ;

б) функцию спроса по цене на первое благо ;

в) функцию спроса по доходу на первое благо ;

Решение:

1) Находим оптимальный набор благ. Задача оптимального программирования имеет вид:

.

Для ее решения выражаем из бюджетного ограничения одну переменную через другую:.

Подставляем в целевую функцию: .

Находим производную и приравниваем ее к 0:

или , откуда.

Тогда .

Таким образом, оптимальный набор благ составляет 15 и 22.5 единиц.

2) Находим теперь функцию спроса на первое благо по цене на него. Для этого в бюджетном ограничении вместо фиксированного значения вводим цену первого блага :, откуда. Подставляем в целевую функцию:

.

Находим производную и приравниваем ее к 0:

или , откуда– функция спроса на первое благо по цене.

3) Находим теперь функцию спроса на первое благо по доходу. Для этого выражаем из бюджетного ограничения одну переменную через другую:.

Подставляем в целевую функцию:

.

Находим производную и приравниваем ее к 0:

или , откуда– функция спроса на первое благо по доходу.

Задание 4

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции для 4 отраслей имеет вид:

Найти конечный продукт каждой отрасли, чистую продукцию каждой отрасли, матрицу коэффициентов прямых затрат. Какой будет конечный продукт каждой отрасли, если валовой продукт первой отрасли увеличится в 2 раза, у второй увеличится на половину, у третьей не изменится, у четвертой – уменьшится на 10 процентов.

Матрица межотраслевых материальных связей x_ijи матрица валового выпуска X_jприведены в таблице:

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли				Валовой продукт
	1	2	3	4
1	80	45	85	95	475
2	25	35	20	30	825
3	15	15	55	75	450
4	95	5	5	95	820

Решение:

1) Найдем чистую продукцию отраслей, используя формулу:

.

,

,

,

.

2) Конечный продукт отраслей:

.

,

,

,

.

3) Элементы матрицы прямых затрат определяем по правилу .

Например, ,.

В результате .

4) Новый валовой продукт .

Конечный продукт отраслей:

.

,

,

,

.