4. Оптимальное распределение инвестиций

Требуется распределить имеющиеся В единиц средств среди n предприятий, доход от которых в зависимости от количества вложенных средствопределяется матрицей (nn) приведенной в таблице 1, так, чтобы суммарный доход со всех предприятий был бы максимальным.

Таблица 1

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
	…	…	…		…	…
…	…	…	…	…	…	…
			…	…	…

Запишем математическую модель задачи.

Определить ,удовлетворяющий условиям

и обеспечивающий максимум целевой функции

Очевидно, эта задача может быть решена простым перебором всех возможных вариантов распределения В единиц средств по n предприятиям, например на сетевой модели. Однако решим ее более эффективным методом, который заключается в замене сложной многовариантной задачи многократным решением простых задач с малым количеством исследуемых вариантов.

С этой целью разобьем процесс оптимизации на n шагов и будем на каждом k-м шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а только предприятий с k -го по n -е. При этом естественно считать, что в остальные предприятия (с первого по k- 1)-е тоже вкладываются средства, и поэтому на инвестирование предприятий с k -го по n -е остаются не все средства, а некоторая меньшая сумма . Эта величина и будет являться переменной состояния системы. Переменной управления наk -м шаге назовем величину , средств, вкладываемых вk -е предприятие. В качестве функции Беллмана на k -м шаге можно выбрать макcимально возможный доход, который можно получить с предприятий с k -го по n -е при условии, что на их инвестирование осталось средств. Очевидно, что при вложении в k -е предприятие , средств будет получена прибыль, а система к (k+1)-му шагу перейдет в состояние , и, следовательно, на инвестирование предприятий с (k+1)-го до n -го останется средств.

Таким образом, на первом шаге условной оптимизации при k= n функция Беллмана представляет собой прибыль только с n -го предприятия. При этом на его инвестирование может остаться количество средств , .Чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия, можно вложить в него все эти средства, т.е. и .

На каждом последующем шаге для вычисления функции Беллмана необходимо использовать результаты предыдущего шага. Пусть на k -м шаге для инвестирования предприятий с k -го по n -е осталось , средств (). Тогда от вложения в k -е предприятие _, средств будет получена прибыль , а на инвестирование остальных предприятий (с k -го по n -е) останется средств. Максимально возможный доход, который может быть получен с предприятий (сk -го по n -е), будет равен:

Максимум этого выражения достигается на некотором значении , которое является оптимальным управлением наk -м шаге для состояния системы , действуя таким образом, можно определить функции Беллмана и оптимальные управления до шагаk = 1.

Значение функции Беллмана представляет собой максимально возможный доход со всех предприятий, а значение на котором достигается максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вложенных в первое предприятие. Далее на этапе безусловной оптимизации для всех последующих шагов вычисляется величина и оптимальным управлением наk -м шаге является то значение , которое обеспечивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы_.

Пример. На развитие трех предприятий выделено 5 млн. руб. Известна эффективность капитальных вложений в каждое предприятие, заданная значением нелинейной функции представленной в таблице 2. Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход.

Для упрощения расчетов предполагаем, что распределение средств осуществляется в целых числах млн. руб.

Таблица 2.

0	0	0	0
1	2,2	2	2,8
2	3	3,2	5,4
3	4,1	4,8	6,4
4	5,2	6,2	6,6
5	5,9	6,4	6,9

Решение.